基于高中數學核心素養的課堂案例
——概率與密碼

廣東省汕頭市實驗學校 許銘婷

一、背景

高中數學課標修訂組給出了對數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析等數學核心素養的要求，教師應該注重提升自身數學素養，關注數學教學實踐與數學核心素養的有機結合，在課堂教學中滲透數學核心素養。

二、“概率與密碼”的教學案例

（一）教學內容解析

本節課設計思路圍繞概率章節的核心內容展開。第一部分是介紹凱撒密碼，破譯者可通過列舉法破譯密碼；第二部分是凱撒密碼的進化Ⅰ，用隨機順序的字母表替換正常順序的字母表，破譯者需用頻率分析法破譯；第三部分是學習凱撒密碼的進化Ⅱ：用隨機數加成密碼，這種情況下的凱撒密碼難以被破譯。

（二）教學目標解析

1.三維目標

知識與技能：掌握概率與密碼的關系，了解頻率分析法在密碼破譯過程中的應用。

過程與方法：了解凱撒密碼的發展歷程，在破譯密碼的過程中感受合作探究的學習方法以及古典概型在密碼中的運用。

情感、態度與價值觀：以凱撒密碼的完善過程為主線，體驗發現問題并用數學問題解決的樂趣，體會數學的應用價值。

2.核心素養

邏輯推理：在凱撒密碼及其完善歷程的情境中，通過對其條件與結論的分析，培養學生發現提出并解決數學問題的能力。

數學建模：在概率的其他應用過程中，培養學生發現問題并轉化為數學問題的能力。

數學分析：引導學生選擇合適的概率模型，解決問題。

3.教學過程

【環節1】 情景引入

播放諜戰片的片段，學生角色代入，開始了一段以概率知識為主線的密碼破譯與完善的對決。

1132 慢病毒介導的 shRNA 干擾大鼠施萬細胞 RSC96 MYH14 基因的表達 胡 皓，孟 威，劉安堂，汪 匯，朱曉海，江 華，錢玉鑫

【設計意圖：以學生喜歡的諜戰片片段引入數學課堂的學習，能有效抓住學生學習的興奮點，調動學生學習的積極性，激發學生愛國情懷】

【環節2】 探究新知

（1）凱撒密碼

問題1：凱撒密碼是偏移后得到的，你有什么辦法破譯呢？凱撒密碼加密的過程中一共有多少種情況？

學生活動：你截獲了一個信息為“zh zloo vwduw wkh iljkw dw hohyhq r’forfn rq zhgqhvgdb”的密文，已知偏移量是3，請問這個密碼所代表的信息是什么？

【設計意圖：凱撒密碼的加密過程可以看作是一個古典概型，它所包含的基本事件的總數即是密碼與密文對應的種數。體會密碼破譯過程，體會一次破譯密碼的概率】

（2）凱撒密碼的進化Ⅰ

凱撒密碼的擁護者對凱撒密碼進行了一個簡單的改進：用一個隨機順序排列的字母表來代替正常順序的字母表。

問題2 ：請問通過這種簡單的代換方法，共產生了多少種字母表？有什么意義？結合我們所學的概率知識，有什么辦法能破譯密碼的升級版呢？根據平常對英語字母的直觀感受，估計哪個字母出現得最多？

【設計意圖：改進后的凱撒密碼所包含的基本事件的總數大大增加，一次破譯密碼的概率大大減小，因此無法用列舉法解決問題，從而引入頻率分析法。同時，通過實驗讓學生感受如何將知識學以致用】

（3）凱撒密碼的進化Ⅱ

凱撒密碼的擁護者們使用了概率武器（隨機數表法設計凱撒密碼）來反擊，它是這樣進行的：要發送的密碼為：We will start the fight at eleven o’clock on Wednesday。我 們 獲 得 了 一 次密碼本，組成這個密碼本的偽隨機數為12，16，5，7，21，19，15，13，4，14，11，……。加 密 過 程 為：W+12=I，E+16=U，W+5=B，I+7=P，L+21=G， ……。 全 句 的 密 文 為：“Iu bpge hgefe dxc……”這種加密使得每個字母出現的頻率幾乎相等。

問題3：請你思考，用分析頻率來破譯密碼可能嗎？為什么？

學生活動：組成密碼本的隨機序列為：（隨機數表第19行第1列）：16，08，15，04，14，09，12，07，14，16，19，20，15，11，13，……，已知截取的密文是“Y TDZS VMAV”，請你來破譯。

【設計意圖：引導學生思考凱撒密碼的進化版Ⅱ中所含的基本事件的總數，體會隨機數表法設計后基本事件總數爆炸式增長的過程】

4.歸納小結

凱撒密碼的發展歷程：（1）凱撒密碼；（2）凱撒密碼的進化Ⅰ；（3）凱撒密碼的進化Ⅱ。

5.拓展探究

請以小組為單位討論已查找到的資料，說出概率在其他方面的應用，分析其所用到的概率的相關知識。

三、新型課堂設計給我們的啟發

本節課是不用于日常教學的一節課，在新型課堂下，始終以數學核心素養為目的的一節課，它呈現出以下特點：

1.創新教學模式，轉變師生角色

課堂上既有師生互動，也有小組合作，更為可貴的是，這種活動一直延伸到課外，學生要自行查找資料并總結概率在其他方面的應用，讓學生通過自主探索與合作交流來學習數學，極大地增加了學生學習數學的積極性，鍛煉了學生數學建模思維。

2.數學融于生活，關注人文內涵

其一，教學內容極具感染力，如凱撒密碼，在破譯過程中能激起學生的學習熱情。其二，關注數學文化，凱撒密碼向學生展示的并不是簡單的史料材料，而是讓學生親身體驗與探索，同時也體現了一種人文關懷，設計的作業與實際緊密聯系，在數學課堂中教會學生感恩。