接著想下去……

范韋莉

摘要：數學學科的育人價值主要體現于數學的理性精神以及蘊含其中的數學方法、數學思想。王凌老師教學《找規律》一課時，將學習活動鑲嵌于“發現問題—提出問題—分析問題—解決問題”的過程之中，引導學生養成“接著想下去”的數學思維，掌握由“例”到“類”的數學方法，獲得“將具體的數學知識都忘掉以后剩下的”數學思想。

關鍵詞：小學數學數學思維數學方法數學思想《找規律》

近日，筆者有幸聆聽了特級教師王凌教學六年級學生《找規律》一課。這節課的設計源于蘇教版小學數學五年級下冊《解決問題的策略》單元的例2“計算12+14+18+116”，即借助幾何直觀將一類分數連加式題進行轉化。本節課，王老師試圖通過這道題引導學生發現什么？傳達給聽課教師什么教學理念？筆者帶著這樣的問題走進了課堂，聽后深受啟發，感悟頗多。

一、教學過程

（一）什么是規律——由表象到本質的進階

上課伊始，王老師詢問學生有無這樣的體會：“有時候，在作業或考試中總會遇到一些老師曾在課堂上講過，甚至重點強調過的題目，但是自己還是做不出來;又或是本來會的題目，過了一段時間或者稍微變了一下，就不會做了……”顯然，這個話題引起了學生的共鳴，幾乎所有學生都表示自己有過這樣的經歷。對此，王老師指出：“目前，大多數同學學習時只關注知識，未考慮方法，也就是我們在學習某些內容的時候，看上去是會的，其實只是會了一道題，而并不知曉解決一類問題的方法，所以盡管做了很多道題，但并不表示我們真的懂了。”學生聽了王老師的分析后深以為然，自然生發出對本節課學習的期待——從學生渴望的眼神中可以感受到，他們迫切地想改善自己的學習方式。

接著，王老師揭示：“本節課的主題是‘找規律，而剛才提到的‘方法就是本節課所要找的‘規律。”為了幫助學生弄清楚到底需要找出怎樣的規律，王老師提供了以下兩組例子：

例1（1）男生20人，女生24人，男生、女生一共多少人？

（2）山羊15只，綿羊23只，山羊、綿羊一共多少只？

例2（1）每塊燒餅2元，買4塊需要多少元？

（2）每本練習本3元，買10本需要多少元？

學生看到這兩組問題后，都笑了。這些題對他們來說，顯然太簡單了：第一組題，只要把兩個數量合并起來，即用加法，就能輕松得到答案;第二組題，都可以用“單價×數量=總價”來表示。王老師就是想通過這樣簡單的例子讓學生知道，發現了一類問題內在穩定的結構，也就發現了這類問題的規律。

那么，如何發現這種內在穩定的結構呢？王老師啟發學生：“常用的方法是多舉一些例子，通過比較發現這些例子的共性;掌握一定的方法后，再通過相應的方法學習新的知識，這樣才能舉一反三。”

（二）怎樣找規律——由一道到一類的遷移

1.例題重現，感受“接著想下去”。

王老師在屏幕上出示文首例題，提問：“你們是怎樣解決這道題目的？”大部分學生回答“通分”，也有學生隱約想起之前是借助數形結合來分析的。王老師相機出示圖1。學生都回憶起這道題是通過轉化，即用1-116得到結果的，并一致認為這是解決同類問題較好的方式。

王老師看到學生自信滿滿，并不急于表態，而是指出：“會做一道題，并不代表會做一類題。檢查自己有沒有真正掌握，我們還可以在舉例子上做文章，即舉具有類似結構的例子。”學生躍躍欲試，舉出12+14+18+116+132、12+14+18+116+132+164等算式。王老師先肯定了學生使用的舉例法是一種常用方法，也就是“接著想下去”，然后啟發學生，“接著想下去”既可以往后想，還可以往前想，并引發學生思考：“如果往前面補數，應該補幾？再往前補呢？”

2.再次嘗試，主動建模明理。

王老師出示：16+8+4+2+1+12+14+18+116。學生獨立完成。絕大多數學生將整數部分進行了相加，對后面的分數部分按照之前的方法進行計算。王老師讓學生想想是否還有其他的方法。很快，有學生提出整數部分也可以按照之前的方法處理，即把一個大正方形看作32，用32-1同樣可以算出整數部分。這位學生的想法引發了全班的思考。

稍后，有學生自告奮勇上臺講解：“這道算式可以轉化成32-116，并且可以用圖解釋這樣做的道理。”王老師相機出示圖2。該學生接著說道：“這道題的結構與上一題一樣，后一個數總是前一個數的一半——在這里，大正方形表示32，32是由2個16構成的，依次得到8、4、2、1、12……這個圖越畫越小，但是我們可以‘接著想下去，最后的空白處肯定是算式中的最后一個數116，所以用32-116即可求出結果。”在這期間，全班學生都很安靜。無疑，這位學生高水平的解決方案推動全班進入了比較積極的認知狀態。

3.溝通聯系，遷移方法。

王老師繼續出示：13+16+112+124。這次，學生沒有急于動筆，而是仔細地觀察這個算式的特征，嘗試找到與剛才那些題目的共性。當發現這個算式的內在結構還是后一個數是前一個數的一半時，學生立刻將其轉化成23-124，得出結果，并畫圖表示計算過程。

接著，王老師將三個算式放在一起，引發學生回顧與討論剛才的學習過程。有的學生感慨數形結合可以幫助他們更好地做題，有的學生則指出用圖建立模型來解釋原理是一個重要的技巧，還有的學生體會到：只要滿足一個規律，就能產生很多道題，而發現這個規律，能解決一類問題……

4.學以致用，舉一反三。

這類計算問題，教學一般到這兒就告一段落了，而王老師卻繼續提出了這樣一個任務：“請編一道可以用剛才發現的規律解答的計算題，自己先算一算，再考考你的同桌。”

展示時，第一位學生出的題是：0.8+0.4+0.2+0.1-120+140+180。他覺得此題的特色是不僅符合剛才的規律，還有加減混合，小數部分用1.6-0.1，分數部分用110-180，然后相減得到結果。第二位學生出的題是：32+16+8+4+2+1+0.5+0.25+18+116。他把整數、小數、分數綜合到了一道算式里，但是結構還是跟剛才的一樣，用64-116即可得到結果。

（三）為什么找規律——由方法到思想的跨越

1.找結構。

王老師出示：“10張紙牌整齊地排成一行，按順序編號為1到10。第一次拿走所有奇數位置上的紙牌，第二次從剩余紙牌中拿走所有奇數位置上的紙牌……以此類推，最后剩下的一張紙牌的編號是多少？”學生很容易通過一次一次地劃去奇數位置上紙牌的方法得到結果是8。

王老師引發學生深入思考：“這道題的數據比較小，只有10張牌，但如果‘接著想下去，有100張牌、1000張牌，剛才的操作還能快速解決問題嗎？回憶剛才的學習過程，思考還需要怎么做，才能表示我們真的掌握了這一類題目。”學生陷入沉思，很長一段時間沒有人回答。王老師提示：“通過舉例子來找一類問題的規律時，要尤為重視解題的過程，如果沒有過程，就很難發現變化，而我們要找的規律往往隱含在變化之中——劃去奇數位置的數后，留下的數有什么規律嗎？”學生通過觀察很容易發現：第一次留下的都是偶數，也就是 2的倍數，第二次留下的是4的倍數，第三次留下的是8的倍數;如果數據變大，可以“接著想下去”，可能會留下16的倍數、32的倍數……接著，王老師引導學生將數據逐漸變大來驗證猜想，從而一步一步找到這類問題穩定的結構，發現規律。

2.用結構。

王老師出示：“200個學生排成一行，從左到右依次編號為1到200;然后從左到右‘1、2報數，報‘1的人離開隊伍;剩下的人繼續從左到右‘1、2報數，仍是報‘1的人離開隊伍，直到隊伍中剩下一個人為止。問：最后留下的人編號是多少？”學生審題后，自發將此題與上面的紙牌題目進行聯系與對比，判斷出兩道題目雖然題干不同，但是實質相同，屬于同一規律的數學問題，因此可以簡化解題過程，即最后留下的人編號應是128的倍數——只有128。

王老師繼續出示：“在平鋪的紙上畫50條直線，最多會形成多少個交點？”通過學生的交流、匯報，我們欣喜地看到了之前學習的成效：這里的數據較大，但可以“接著想下去”，往前想，從只畫1條線開始想起;要想交點最多，每次增加的直線就要盡可能和前面的直線都相交;在記錄數據時，要把過程保留下來;列表和有條理地記錄有助于理解正在做的事，以及為什么這樣做……

二、教學啟示

數學學科的育人價值主要體現于數學的理性精神以及蘊含其中的數學方法、數學思想。仔細品味與揣摩這節課，無論問題設計，還是任務實施，抑或方法指導，都使人心明眼亮、回味無窮。王老師將學習活動鑲嵌于“發現問題—提出問題—分析問題—解決問題”的過程之中，引導學生養成“接著想下去”的數學思維，掌握由“例”到“類”的數學方法，獲得“將具體的數學知識都忘掉以后剩下的”數學思想。

（一）著力于數學思維的養成——把數學“教懂”

鄭毓信教授指出：“數學學習的一個主要價值就是有利于人們思維方式的改進，并能使人們逐步學會更清晰、更合理、更深入地思考問題，它能為學生提供唯有在數學學科的學習中才有可能建立的獨特的發現方式和思考路徑。”由此，小學數學教學中，教師要引導學生透析解決問題的思維過程，在學會解決問題方法的同時“懂得”解決問題的思維方式。

這節課中，王老師選取的例題極具典型性。實際教學時，不少教師為了讓學生更加熟練地掌握解題方法，將這類式題總結為1減去最后一個數，并要求學生記住這個結論，以應對類似的計算問題。這顯然是對學生思維的一種局限。所以課上，我們看到，即使六年級的學生回過頭來做五年級的題目，他們也并不真正理解其中的內涵，表現出來的就是記憶的模糊和斷斷續續。對此，王老師設計了四個教學層次，幫助學生轉變思維方式，理解這類式題的內在規律：首先，喚醒學生原有的經驗，引導學生把圖形和算式聯系起來觀察、思考;其次，提供與例題結構相同但有條件變化的練習，幫助學生優化算法，豐潤認知過程，真正領會其中的規律;接著，繼續呈現類似的計算任務，培養學生根據具體情境做出判斷與決策的能力;最后，讓學生自主編制具有類似規律的題目，促進學生深度思考，實現“知其然，也知其所以然”。

（二）著力于數學方法的掌握——把數學“教活”

人們常說，授人以魚，不如授人以漁。具體來說，就是教會學生自主探究問題、解決問題的數學方法，掌握相關數學問題的解決思路。所謂把數學“教活”，就是希望學生在遇到類似的數學問題時，能舉一反三，觸類旁通，由“例”到“類”。

縱觀整節課，我們看到，學生在解決問題時迫切需要一些具體的、可操作的方法，而王老師也一直在有意識地加強常用方法的指導。如：接著想下去，從簡單的想起，從一道題變為三道題、五道題，列表記錄過程等。在過程中，王老師還有意識地引導學生給同學講解答題過程，讓他們用自己的理解教授他人——這是“學習金字塔”理論中最有效的學習方式。

（三）著力于數學思想的滲透——把數學“教深”

數學思想是“方法的方法”，具有普遍的適用性，是學生分析和解決問題的能力、創新精神和實踐能力的基礎。學生頭腦中的數學思想是在學習過程中形成且逐漸發展的。在這個過程中，學生的已有經驗、積極主動的體驗以及與他人的互動，是獲得數學思想的基本條件。

這節課中，王老師多次在不同的環節潤物細無聲地滲透不同的數學思想，如抽象、歸納、模型等，成為學生需要感悟、也有所感悟的主體。其中，模型思想的滲透可以說是貫穿全課的。首先，王老師引領學生通過研究題目的類型結構，建構相應的數學模型，掌握一類問題的解題方法;然后，力求讓學生通過個體的思考、探究以及與老師和同學的交流，體會模型建構（發現一類問題的規律）的方法——一般要經過提出問題、進行猜想、嘗試解決、舉例驗證、歸納概括等步驟，最終獲得“將具體的數學知識都忘掉以后剩下的東西”。

*本文系江蘇省中小學教學研究立項課題“支持兒童數學創意學習的實踐研究”（編號：2017JK12L011）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1] 鄭毓信.數學的文化價值何在、何為——語文課反照下的數學教學[J].人民教育，2007（6）.

[2] 王永春.小學數學思想方法解讀及教學案例[M].上海：華東師范大學出版社，2017.備課貼士