“學解”重于“解”

池紅梅

摘要：數學教育，讓學生學習如何解決問題重于讓學生解決問題，因為前者才能給學生真正“帶得走”、能終身受益的東西。對于怎樣引導學生“學解”，賁友林老師執教的《“雞兔同籠”問題》一課給我們的啟發有：通過學習單讓學生充分地“先學”，優先選擇“學困生”匯報，從學生作品入手讀懂學生，用連續追問驅動學生步步思考，關注“學優生”的學習提升。

關鍵詞：解決問題思想方法學生主體《“雞兔同籠”問題》

“解”是指解決問題，得到最終正確的結果。而“學解”是指學習如何解決問題，即學習解決問題的思路、策略和思想、方法等。當下的數學教育，無論從“四基”的角度看，還是從“四能”的角度看，無論從三維目標的角度看，還是從核心素養的角度看，顯然都有“學解”重于“解”。因為讓學生“學解”，才能給學生真正“帶得走”、能終身受益的東西，才是教育最終的目的、旨趣——一如懷特海、米山國藏所言。

那么，如何讓學生“學解”呢？筆者有幸聽了賁友林老師執教的《“雞兔同籠”問題》一課，受到了不少啟發。

一、通過學習單讓學生充分地“先學”

前置學習單由于將一些學習內容和活動前置，既能節約課堂時間，又有利于教師了解學情，所以備受教師們的推崇。這節課，賁老師也安排了前置學習單，具體內容如下頁圖1所示。

這份學習單的設計非常巧妙：

（一）解題之前先做選擇

基于當下的社會和家庭教育環境，對于“雞兔同籠”這個問題，會有一部分學生在課外提前學習過。那么，如何更好地了解學生的認知水平？賁老師設計了關于“我會做這道題”和“我感覺我不太會做這道題”的選擇。看似只是個小細節，實則能為后面的課堂調整與推進埋下很好的伏筆。因為它讓教師不僅能看到學生的解題結果，而且能想象出學生的解題過程，更能通過學生的選擇，分析出哪些學生是已經學過的、哪些學生是從零開始的。

（二）解題之后再做思考

完成題目后，賁老師還讓學生進一步給出解題過程中的體會和疑問，并思考“雞和兔會關在一個籠子里嗎？”以及“為什么要學習‘雞兔同籠問題？”，然后再編一道類似的問題。由此，引導學生在反思中積累基本的數學活動經驗，提煉解決一類問題的方法，并提出自己的疑問;進一步思考問題的數學本質和模型意義;將方法和模型遷移應用到其他問題情境。賁老師提出的每一個問題或要求，都指向學生的高階思維能力，指向“學解”。

二、優先選擇“學困生”匯報

課上，賁老師特別指出：“在收上來的學習單里，有兩份是空白的，讓人感到非常遺憾。無論如何，都可以嘗試著寫下自己的思考。”從這個細節能夠看到，賁老師關注每一位學生，并且注重從情感上對學生進行鼓勵，因為這是學生“學解”的基礎。

然后，賁老師將學習單中選擇“會做”的學生隨機編號為1—17，選擇“不太會做”的學生隨機編號為18—44。征得學生的同意后，賁老師決定先讓“不太會做”的學生來匯報自己的學習成果。而在與聽課教師互動的基礎上，賁老師選擇了29號學生。于是，賁老師將29號學生的作品投影到大屏幕上，如圖2所示。

分析數據可以看出，全班38.6%左右的學生是“會做”的，61.4%左右的學生是“不太會做”的，說明學生總體的學習起點不太高。因此，賁老師更關注那些“不太會做”的學生，讓他們真學習，有變化，所以先讓他們匯報，重點幫助他們“學解”。

看到29號學生的作品后，筆者大吃一驚。這是一位典型的“學困生”，他對“雞兔同籠”問題的理解存在很大的障礙。經過一番涂涂改改，他在學習單左上方留下了最后的答案：5×4+5+1=26。一般上公開課的教師，都不太會選擇這樣的作品來匯報交流。然而，就是這樣的一個選擇，成了后面課堂上的最大亮點，讓筆者對如何引導學生“學解”有了深刻的認識，也體會到賁老師的用心良苦。

三、從學生作品入手讀懂學生

（教師投影出示29號學生的作品后，全班學生一片嘩然并小聲議論起來。）

師（對29號學生）×××，我想剛才大家的聲音是想提醒你下次寫得認真一點，好吧。（對全班）但是，老師在他的作品里看到他是有想法的。你看到了嗎？掌聲有請×××和我們分享他的想法。

生（29號學生上臺，手拿話筒）我就是想的……嗯……反正……我就是想的多少、怎么加起來可以湊成26……

師（對29號學生）大聲一點說，我覺得你說得非常好，用筆指著說。

生（29號學生比較猶豫）我就是想的怎么湊起來可以等于26。

師（對全班）他的發言說到了一個字——

生（全班）湊。

師（對全班）你覺得這是不是方法？（稍停）有人說是，有人說不是。

……

引導學生“學解”，首先要讀懂學生的“解”。雖然29號學生的學習單比較亂，也不正確，但是賁老師仍然通過仔細分析，看到了29號學生是有一定想法的，并且一直處于不斷嘗試與調整的狀態。所以，賁老師鼓勵29號學生大膽說出自己的想法，并且逼出了有價值的東西——作為初學者，對于“雞兔同籠”問題，“湊”不就是很好的解題方法嗎？不就是假設策略的通俗化表達嗎？這讓暫時找不到答案的“學困生”找到了學習的信心。

四、用連續追問驅動學生步步思考

接下來，賁老師用一連串的追問，引導29號學生對自己的錯誤答案“5×4+5+1=26”一步步展開思考，從而獲得正確的思考方法，并最終正確地解決問題。在這個將近15分鐘的過程中，賁老師對29號學生（以及全班）提出了如下問題：

1.他說要湊成26，為什么不湊成28、24、22呢？

2.對啊，因為題目上說了是26。那你接著說你是怎么湊的？

3.嗯，你怎么會用5乘4呢？

4.這個4能解釋嗎？那個5又是什么意思呢？

5.我覺得你很好，你之前說5是5只雞，這會兒發現不對，應該是5只兔，因為5只兔乘1只兔有4條腿才有道理。乘下來是20，20是什么意思呢？

6.有5只兔，剩下的就是雞。你想一下雞應該是多少？

7.回頭看題目，你看到腿有26條，還看到什么？你看，這兔有5個頭，那雞是多少？

8.學習就是不斷嘗試、調整我們的想法。你之前說雞是1，你覺得哪兒不對？

9.你聽懂同學們的意思了嗎？我們要驗證一下，頭是9個，還要看腿是不是有26條，會算嗎？兔有多少條腿？雞有多少條腿？

10.你聽懂這位同學的意思了嗎？我覺得他這里考慮得很好：28條腿多了，所以減少1只雞，這樣腿就夠了，可是頭卻不夠了，只剩8了。看來這樣改還不行，那你有辦法改嗎？如果你能改，你就說。如果實在改不了，沒關系，可以請同學幫忙。

11.（29號學生思考許久，嘗試性地說，可以把兔減少1只，雞增加1只）你能把這個答案寫下來嗎？

12.（29號學生完成板書，如圖3）這個16表示什么意思？10呢？

13.算算腿一共多少條，寫在旁邊。現在你發現了什么？

14.不能只看腿，還要看什么？

15.現在你可以向全班宣布，我湊出來了……對嗎？

16.他的方法是什么？

17.（教師板書“湊”）你們覺得×××同學怎么樣？

引導學生“學解”，其次要對學生不好的“解”進行追問，幫助學生“撥亂反正”。賁老師的每一個追問都包含著智慧。首先，指向意義理解。對看起來是錯誤的算式，賁老師不斷追問每個數字、每個運算符號的意義，從而讓學生推翻自我，重新建構。其次，指向學法指導。比如，“你怎么會用5乘4呢？”引導學生思考自己列式的意義;“回頭看題目，你看到腿有26條，還看到什么？”引導學生讀取題目中的信息;“學習就是不斷嘗試、調整我們的想法。你之前說雞是1，你覺得哪兒不對？”引導學生注意驗證所得結果是否符合條件;“28條腿多了，所以減少1只雞，這樣腿就夠了，可是頭卻不夠了，只剩8了。看來這樣改還不行，那你有辦法改嗎？”引導學生體會“湊”的精髓是嘗試、調整。這些問題都是在教給學生學習的方法，也就是引導學生一步步“學解”。這不也正符合“雞兔同籠”問題“假設—驗證—調整”的解題思路嗎？

此外，賁老師的問題還具有開放性，更多的并不是給定答案的是非、判斷問，而是“還可以怎么思考？”“還可以怎樣改進？”等探究、導向問，可以充分激活學生的思維，使得答案的獲得不在問題本身，而在對問題的思考。

五、關注“學優生”的學習提升

29號學生完成匯報后，賁老師讓“會做”的學生進行分享。2號學生用的是“正規”的假設法：

先假設全部是雞，腿有9×2=18（條）。

然后，26-18=8（條），8÷2=4（只），9-4=5（只）。

答：兔有4只，雞有5只。

賁老師注意到，這名學生解法中的后三步缺少理由，于是要求他解釋。在解釋8÷2=4（只）時，2號學生暴露出理解不到位的情況，其他學生表示沒有聽懂。在賁老師不停地引導和“逼迫”下，他才終于結合雞和兔的示意圖講解清楚了：假設全是雞時，只有18條腿，還差8條腿，于是給一些雞再添上2條腿，讓它們“變成”兔子;而只要給4只雞添上2條腿，就是26條腿了，可知兔子是4只，于是雞有5只。

可見，“學優生”有時雖然能正確地“解”，但也需要“學”：說清楚背后的“理”，充分體會解題的“法”。引導學生“學解”，還要對學生“標準”的“解”進行追問，幫助學生獲得提升。

最后，需要指出的是，因為時間關系，本節課，賁老師沒有來得及組織學生匯報交流學習單中解題之后的思考。這是一個小小的遺憾。