淺談向量在立體幾何中的應用

摘 要：眾所周知，立體幾何在高中數(shù)學中有著舉足輕重的地位，它對于學生邏輯思維和空間想象能力的培養(yǎng)和提高有著重要意義。利用空間向量可以解決所有的空間角與距離問題，并用代數(shù)的立式的形式對幾何問題進行深入研究，并彌補了學生空間想象力的不足。文中簡要地論述了高中立體幾何教學中的困惑，并探討了向量在高中立體幾何中的重要作用，最后結(jié)合實例，感受向量在解題中的優(yōu)勢所在，旨在提升我國高中立體幾何的教學水平。

關(guān)鍵詞：向量;立體幾何;應用

和傳統(tǒng)的幾何法相比，向量法的運用能夠讓學生在解答立體幾何問題時變得更加快速、便捷，具有直觀、計算簡單、以及不容易出錯的特點。除此之外，向量作為高中數(shù)學中的重要組成部分，它能夠采用數(shù)形結(jié)合以及坐標運算的方式快速解答各類幾何問題，而且無需增加輔助線，讓學生的答題過程變得更加輕松、高效。

一、向量在立體幾何中的重要作用

向量能夠把不同直線或者線段之間的幾何關(guān)系運用直觀的方式表現(xiàn)出來。由于向量的內(nèi)容較為單一而且學習難度大，所以學生在進行向量學習的過程中要具有“數(shù)形結(jié)合”的思維意識，運用代數(shù)的方式來對幾何圖形進行描述。

（一）提高學生的運算水平

作為常用的代數(shù)對象，向量能夠被運用到多種的運算模式中并且容易掌握，在提高學生解題效率和運算速度的過程中，還可以將原本復雜多變、解題難度大的幾何問題用代數(shù)運算的方式進行直觀地展示。

（二）具有重要的思維價值

向量既可以代數(shù)運算，又能夠被運用到與度量相關(guān)的幾何類問題，因此具有數(shù)形結(jié)合的特點。通過對向量的學習和運用，可以顯著提高學生數(shù)學的學習興趣，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)固態(tài)化的數(shù)學思維模式，提高自身的數(shù)學思維水平和空間理解能力。

二、向量法的解題方式與步驟

（一）向量法的解題方式

運用向量法解決立體幾何問題主要有兩種方式：即運用向量進行直接代數(shù)計算和利用向量坐標計算。在通常情況下是以坐標計算為主，因為這種計算方式所需要的計算技巧較少并且學生更容易理解和運用。值得注意的是，如果要解答的幾何圖形中確立坐標的難度系數(shù)較大，那么就可運用向量代數(shù)式的方法來進行解決。而后者解題時需要的解題時間較長而且解題的技巧更加復雜，對于學生的空間思維和邏輯運用能力也有著較高的要求。

（二）向量法的解題步驟

首先，在幾何圖形中構(gòu)建空間直角坐標系。在這個過程中要盡量采用圖形中已有的過同一點的兩兩垂直的線，若是未有三線也要想辦法找出兩線垂直的部分，接下來作出第三條線與之垂直;其次，把解題過程中將會使用到的坐標準記錄下來。這個過程十分重要，一定要做到細致、認真，如果這一步?jīng)]有處理好就會導致全題皆錯的情況出現(xiàn);再次，把解題過程中會使用到的向量坐標完整地記錄下來，要運用終點坐標減去起始坐標;最后，利用記錄下的坐標并運用代數(shù)計算的方式解決問題，這個過程中要保障公式的正確性，運算過程也要做到認真。

三、向量在立體幾何中的具體應用

按照傳統(tǒng)高中立體幾何的教學模式來看，解決立體幾何問題最為常用的方就是運用綜合推理的方式。雖然這種方式可以在較快的時間內(nèi)計算出結(jié)果，但是對于學生的空間想象和邏輯思維能力有一定的要求，既沒有規(guī)律可以總結(jié)而且還有著較高的思維難度。而把向量引入到立體幾何教學中，不但可以為解決高中立體幾何問題帶來了全新的思維模式和解決方法，而且還能夠運用“數(shù)形結(jié)合”的方式，直觀、具體地把立體幾何里的“形”轉(zhuǎn)變成為“數(shù)”來進行解決。

（一）線面計算

如圖1所示：平行六面體ABCD-A1B1C1D1中的底面ABCD是邊長為1的菱形，CC1=a，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60。求證：（1）CC1⊥BD;（2）當a為何值時，直線A1C會與平面C1BD垂直？請證明。（3）在（2）條件下，CA1的長度是多少？

（二）面面垂直運用

在高中的立體幾何教學中，空間角部分的內(nèi)容是整個立體幾何教學的重點內(nèi)容，而其中的兩異面直線所形成的角更是其中的難點。如果運用傳統(tǒng)的方式解決此類型的題目則會花費大量的時間，而且解題過程會變得復雜。而采用向量的數(shù)量積解決此類型的問題則效率更快，解題思過程也更加直觀。

（1）求證：平面ADM⊥ABCM;

（2）是否存在滿足BE=tBD（0

證明：（1）∵長方形ABCD里，AB=2AD=22，M是DC的中點，

三、結(jié)語

綜上所述，在高中立體幾何中運用向量法進行作答，既能夠為廣大高中生提供靈活的答題思路，還可以幫助學生擺脫傳統(tǒng)立體幾何的答題模式，能夠運用直觀的方式把立體幾何問題中與“形”相關(guān)的問題轉(zhuǎn)變成“數(shù)”模式，對于提高學生和答題準確性和答題效率具有重要意義。

參考文獻：

[1]祝輝.空間向量在立體幾何中的應用[J].上海中學數(shù)學，000（3）：41-43.

[2]黃亦飛.淺談高中數(shù)學空間向量在立體幾何中的應用[J].中華少年，2016（23）：171-172.

作者簡介：陸俊玲（1982-），女，安徽金寨人，本科，高中教師，研究方向：高中數(shù)學。