離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)探索與實(shí)踐

摘 要：針對(duì)離散數(shù)學(xué)課程具有概念抽象、內(nèi)容廣泛、知識(shí)點(diǎn)分散、邏輯性強(qiáng)、理論性強(qiáng)等特點(diǎn)，結(jié)合離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)現(xiàn)狀及學(xué)生的實(shí)際情況，優(yōu)選教學(xué)內(nèi)容，提出了“三個(gè)加強(qiáng)”的教學(xué)方法，并闡述了實(shí)際教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：離散數(shù)學(xué);課堂教學(xué);教學(xué)效果

隨著信息時(shí)代的到來，工業(yè)革命時(shí)代以微積分為代表的連續(xù)數(shù)學(xué)占主流的地位已經(jīng)發(fā)生了變化，離散數(shù)學(xué)的重要性逐漸被人們認(rèn)識(shí)。一方面，在構(gòu)建各種計(jì)算模型的過程中，首先需要將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)換成離散的存儲(chǔ)和表示方法，這樣才能被計(jì)算機(jī)“理解”和“接受”，進(jìn)而才能進(jìn)行處理操作;另一方面，離散數(shù)學(xué)離不開集合論、圖論等數(shù)學(xué)知識(shí)，所以離散數(shù)學(xué)是“計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”，是構(gòu)筑在數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)之間的橋梁，是計(jì)算機(jī)和軟件相關(guān)專業(yè)的基礎(chǔ)必修課，甚至也被人們稱為是“計(jì)算思維的體操”。

1 離散數(shù)學(xué)課程的教學(xué)現(xiàn)狀及教材分析

離散數(shù)學(xué)是信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的一門重要課程，具有嚴(yán)謹(jǐn)、系統(tǒng)的理論體系。離散數(shù)學(xué)課程的主要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力，所以該課程以概念多而抽象、定理多而枯燥、理論知識(shí)強(qiáng)而豐富為其特點(diǎn)，要求學(xué)生具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維。在學(xué)生看來，離散數(shù)學(xué)是非常難以學(xué)懂的一門課程。

我院為信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)學(xué)生將離散數(shù)學(xué)課程安排在大學(xué)二年級(jí)第一學(xué)期，共48學(xué)時(shí)，選用的教材是高等教育出版社屈婉玲、耿素云和張立昂出版的《離散數(shù)學(xué)》第2版。全書分為六大部分，分別是數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、組合數(shù)學(xué)、圖論、初等數(shù)論，共19章[1]。根據(jù)本專業(yè)的培養(yǎng)目標(biāo)和其他課程開設(shè)的時(shí)間，基于離散數(shù)學(xué)課程的分配學(xué)時(shí)以及學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)情況，我們將數(shù)理邏輯、集合論、圖論這三個(gè)部分作為教學(xué)內(nèi)容。

2 教學(xué)方法的探索與實(shí)踐

2.1 加強(qiáng)實(shí)例化教學(xué)，將抽象內(nèi)容具體化，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解

在離散數(shù)學(xué)這門課程講解中，有很多的概念、知識(shí)點(diǎn)，需要結(jié)合實(shí)例幫助學(xué)生理解。例如在講到蘊(yùn)含式p→q的取值情況時(shí)，學(xué)生不大明白當(dāng)前件為真時(shí)，后件無論是真還是假，蘊(yùn)含式都為真。其實(shí)這是一種“善意的規(guī)定”，在生活中，張三對(duì)李四說：“如果我去圖書館，一定幫你借那本書。”張三因?yàn)槊騽e的原因，沒能去成圖書館，李四認(rèn)為張三的話是對(duì)的，只是他沒能去成圖書館而已。通過這樣的講解，不僅使學(xué)生容易理解，也傳遞給他們“人之初，性本善”的做人理念。再比如講到排中律時(shí)，A∨A1，就反映了一個(gè)真理：在同一個(gè)思維過程中，兩個(gè)相互否定的思想必有一個(gè)為真。同樣的道理，等值式A∧A0即矛盾律又反映了另外一個(gè)哲學(xué)思想：在同一個(gè)思維過程中，兩個(gè)相互否定的思想不能同時(shí)為真。又如在講一階語言時(shí)，函數(shù)和謂詞是兩個(gè)容易混淆的概念，實(shí)際上，函數(shù)是用來表示個(gè)體常項(xiàng)和個(gè)體變項(xiàng)。如謂詞P（x）：x是教授，函數(shù)f（x）：x的父親，個(gè)體常項(xiàng)a表示張三，那么P（f（a））則表示“張三的父親是教授”，在這里引入的函數(shù)f（x）只是為了表示更復(fù)雜的個(gè)體變項(xiàng)。通過具體的例子，使學(xué)生將函數(shù)和謂詞正確區(qū)分。這樣種種的輔助解釋，會(huì)讓學(xué)生覺得學(xué)習(xí)不再枯燥，也很有用，學(xué)習(xí)起來也很輕松[2]。

2.2 提出學(xué)生感興趣的問題，加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

面對(duì)離散數(shù)學(xué)這門極具抽象性和理論性的課程，教師如果能選擇一些學(xué)生感興趣的問題，來吸引學(xué)生主動(dòng)去思考問題，進(jìn)而理解和掌握新知識(shí)，教學(xué)效果將事半功倍。

以一階邏輯引入為例，首先提出蘇格拉底三段論，即“凡是人都要死的，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死的”。由于在命題邏輯中，只能用p、q、r分別表示“人都要死的”，“蘇格拉底是人”，“蘇格拉底是要死的”3個(gè)命題，上述推理可表成（p∧q）→r，顯然這個(gè)命題公式不是重言式，所以不能判斷該推理的正確性。在這一推理中，各命題之間的邏輯關(guān)系不是體現(xiàn)在簡單命題之間，而是體現(xiàn)在命題結(jié)構(gòu)的更深層次，由于在命題邏輯中不能很好地描述“凡”字，即對(duì)蘇格拉底三段論命題邏輯是無能為力的，這正是命題邏輯的局限性。所以需要引入量詞，才能對(duì)簡單命題進(jìn)一步分析或者對(duì)命題進(jìn)行細(xì)化，才能更好地反映現(xiàn)實(shí)世界中人們所使用的推理模式，這樣的引入一方面使學(xué)生有了興趣，另一方面也體現(xiàn)出離散數(shù)學(xué)這門課程的實(shí)用性。

2.3 開展以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的教育模式，加強(qiáng)學(xué)生的主體地位

為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情與創(chuàng)新意識(shí)，教師應(yīng)選擇靈活多樣的授課方式，建立“以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)”的教育方式。比如在講解新課之前，教師可以事先指導(dǎo)個(gè)別學(xué)生，帶領(lǐng)他們提前學(xué)習(xí)，掌握重點(diǎn)和難點(diǎn)。在課堂上，教師可以與這幾位學(xué)生分工完成新課的講解。例如，在講到關(guān)系的五種性質(zhì)成立的充分必要條件時(shí)，由于每一種性質(zhì)都有其充要條件，僅僅由教師一人完成推導(dǎo)證明是非常枯燥的。因此，教師首先引導(dǎo)學(xué)生如何完成證明即給予他們思路，其次可以采用分組討論并交給學(xué)生站在講臺(tái)上來完成。筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，這樣的教學(xué)安排改變了傳統(tǒng)的“教師講、學(xué)生聽”的模式，明顯的是，學(xué)生很積極很愿意作為講解者的身份完成這部分的學(xué)習(xí)，教學(xué)效果不言而喻。除此之外，教師也應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)其他的同學(xué)，讓他們?cè)诤竺娴膶W(xué)習(xí)中把握機(jī)會(huì)，多上講臺(tái)展示自己，充分發(fā)揮自己作為學(xué)習(xí)者的主體地位。

3 結(jié)語

實(shí)際教學(xué)效果表明，雖然離散數(shù)學(xué)是一門理論性、抽象性都比較強(qiáng)的課程，但是只要教師能夠很深刻地理解概念、定理，很系統(tǒng)地掌握各個(gè)部分之間的聯(lián)系，能夠有效結(jié)合具體實(shí)例，將抽象內(nèi)容具體化，能夠提出學(xué)生感興趣的問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時(shí)能夠開展以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)的教育模式，學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的積極性、學(xué)習(xí)效果以及他們的思維能力和專業(yè)素質(zhì)等一定會(huì)有提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]屈婉玲，耿素云，張立昂.離散數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]徐志敏.問題驅(qū)動(dòng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)方法研究[J].德州學(xué)院學(xué)報(bào)，2014（4）：13-15，24.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11371293，11501419）;渭南市2019年度重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（2019ZDYF-JCYJ-118）;渭南師范學(xué)院教育科學(xué)項(xiàng)目（2017JYKX004）;渭南師范學(xué)院教改項(xiàng)目（JG201701）

作者簡介：屈改珠（1978-），女，漢族，陜西蒲城縣人，博士，副教授，研究方向：微分方程。