定理教學要唱好“五步曲”

王發成 張碩 張強

關鍵詞：高中數學;優課展評;思維教育

中圖分類號：G633.6? ? 文獻標識碼：B? ? 文章編號：1009-010X（2020）14-0054-03

2019年12月，由北京、天津和河北省數學會聯合舉辦、石家莊市第一中學承辦的“京津冀”高中數學高級教師優質課展評與觀摩活動，異彩紛呈，深受專家評審組好評。下面，筆者匯總專家組意見和建議，結合具體課例做簡單點評，以期拋磚引玉，供同行們參考。

一、現場展示課的主要亮點

本次活動的展示課共涉及到兩個課題，分別是人教A版必修5中“1.1.1正弦定理”和“1.1.2余弦定理”。每個課題均安排有14位高級教師，分別借用石家莊市第一中學同層次不同班級的學生現場做課。從整體上看，筆者認為有以下幾個亮點：

1.從教學過程看，基本采用“問題驅動”方式開展教學。課堂中，多位老師以定理的“發現→證明→應用”為主線，從發展思維的角度，設計成逐層遞進的“階梯式”問題，將知識點鑲嵌于“探究”中，沿著學生的認知軌道展開教學。

2.從教學方法看，基本采用“自主、合作、探究”方式。課堂中，能夠基于“生本教育”理念，貫徹“先學后教”、“以學定教”、“因學評教”等原則，實施課前自主學習、課上合作學習、課后智慧學習，討論交流已經成為教學常態。

3.從教學思路看，層次分明、循序漸進、環環相扣。在定理推導與證明過程中，能夠注重基本數學思想、方法的滲透與運用，如特殊化、一般化、類比、數形結合等，思維發展脈絡清晰。這使得整節課的架構更加枝繁葉茂，豐滿有力。

4.從信息化視角看，注重信息技術與數學課程的深度融合。這是“互聯網+”視角下，教師素養的良好體現，符合智能化時代對教師的要求，有利于提高教學的實效性。

二、值得注意并深入研討的問題

正弦定理隸屬命題教學范疇。教學過程中，首先是將命題還原為一個具體問題，然后以這個具體問題為邏輯起點，沿著“導入、證明、解釋、整合、應用”的基本套路組織展開學習活動，其本質是“弱化抽象關系”。重點評析兩個環節：

（一）導入環節——關注學生的認知基礎和思維起點

奧蘇貝爾說過：“教育學的一切原理可以歸結為一句話，即我們要弄清學生已經知道了什么，并把它作為教學的起點。”例如，關于正弦定理，教師首先要清楚“學生的認知基礎是什么？”

基礎一：初中解直角三角形和證明三角形全等的相關知識。

基礎二：平面向量的運算。從新教材的邏輯體系上看，更加凸顯向量在教材中的主體地位，突出向量的工具性及其應用的系統性。事實上，運用向量運算推到正余弦定理，是向量知識應用的典型范例。向量法的關鍵是從三角形這個“閉環回路”中，聯想到式子：。若“移項平方”，可推出余弦定理;若引入一個與某邊垂直的單位向量，求數量積，就推出了正弦定理。這個式子學生容易想到，也是正余弦定理向量證明的共同切入點，也能體現出思維方法的一致性。

正弦定理是單元起始課，要用好“章頭圖”，建議用簡短的引言讓學生明白學習本章知識的目的和意義。同時，為學生構建起一個較為完整的知識愿景，既見樹木又見森林。

例如，在初中階段，學生對直角三角形進行了定量研究，如勾股定理、銳角三角函數等。關于一般三角形，只是對內角和、面積等少量知識進行了定量分析，更多的是定性研究邊角關系，得到了SSS、SAS、ASA、AAS等判定三角形全等的方法，讓學生明白了一個基本事實：即“給定三角形的三個角、三條邊中的某些元素，這個三角形就是唯一確定的。”

到高中階段，學生要對一般三角形進行定量分析，也就是解三角形。對應著三角形全等判定，就出現了需要定量研究的4個基本問題：

（1）已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形;

（2）已知兩角和其中一角的對邊，解三角形;

（3）已知兩邊及其夾角，解三角形;

（4）已知三邊，解三角形。

“導入”是首要環節，關系到能否用最短時間激發出學生的求知欲，使學生盡快進入深度思維。有教師提出“科學家如何測量地月距離？日地距離？”并播放視頻，展示“金星凌日”現象，介紹我國的“天琴計劃”。這種視頻導入法具有較強的視覺沖擊力，且內容豐富，學生不僅知道“定理的學習是有用的”，而且能從中得到快樂體驗，記憶深刻且全面。但時間不宜過長，注意前后呼應。教材上采用“命題發現”式，遵循由特殊到一般、由簡入繁的認知規律。

首先，是在學生熟悉的直角三角形中，利用銳角三角函數，得出邊角之間的正弦關系，即數學表達式。但對于偏離“預設”程序的其它“發現”，如學生得出邊角間的余弦關系，即：cosA=，cosB=，從而，不要直接舍棄。建議用簡短的語句智慧處理，如“這里雖得到了一個類似正弦定理的數學表達式，但它不具備正弦定理那種完美的結構特征，也不能推廣到一般三角形中去應用，故而沒有研究價值。”目的是保護學生的探究意識，讓課堂煥發出“動態的活力”，但注意這個過程不要復雜化。

其次，是將上面的式子推廣到任意三角形中，驗證是否仍然成立。但是，在所有三角形驗證是不可能的，這就引出“分類驗證”。這里，需要停頓一下，留點時間讓學生去初步感知定理完美的結構特征，初步感受其中所蘊含的對稱美、和諧美。隨著教學展開，要不斷地解釋、剖析和強化定理的本質屬性。例如，有的教師讓學生動手畫出三角形，實際測量它的三邊和三角，通過計算進行實驗驗證;也有教師用幾何畫板驗證，直觀感知，完善猜想。

（二）證明環節——正視學生的能力基礎和思維方式

定理教學的核心是發展思維，關鍵環節是“推導與證明”。一般地，要注意三個問題：一是理清證明思路，認真剖析切入點和主線，歸納步驟;二是揭示其中蘊含的數學思想方法，指導學生親歷證明過程，積累活動經驗，這比掌握一個結論更為重要;三是對某些重要定理或公式，宜從多個視角，采用多種方法推理或證明。教學主線要清楚，環節要做到清晰而自然，要將數學知識的學術形態轉化為學生學習形態。無論是呈現定理背景，還是解釋數學表達式、剖析定理本質，都要做出學生更易接受與理解的活動設計。

例如，關于正弦定理，學生一般會有四種較為典型的思路：

1.幾何法：如圖1，在一般三角形（分銳角或鈍角三角形兩種類型）中，驗證正弦定理的關鍵是添加輔助線——作三角形的高，拆分為兩個等高的直角三角形，體現的是劃歸思想。但是，在展示學生思維品質的現狀時，我們有的教師駐足時間不夠。例如，“為什么要做高？你是如何想到的？”“你是如何想到的證明思路？”等等，這是提升元認知能力的問句，是在挖掘學生思維結果的潛在價值，這里會生成出新的教學資源，應該成為定理教學重點關注的地方，教師要給學生提供足夠多的思考時間和足夠大的思維空間。

2.借助三角形面積公式證得結論：

2S△ABC=bcsinA=casinB=absinC;

3.如圖2，通過做三角形的外接圓，將任意三角形問題轉化為直角三角形問題：

a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC;

4.向量法：如圖3，用向量法證明的關鍵是作單位向量與向量垂直，再利用數量積運算：即可.

分析：定理教學重點是推理與證明的思維過程。幾何法是以邏輯推理為工具進行演繹證明，而向量法是利用向量運算解決問題，兩種方法實質上是對立統一的，不可偏倚。讓學生從不同的數學角度看問題，經歷多種方法的推導過程，有利于學生掌握不同屬性的知識體系和不同的工具，有利于學生從不同角度錘煉思維品質和能力。另外，表征出角的正弦后，教師怎樣對學生的思維過程進行監控？如何才能得到簡潔而自然的證法？怎樣對不同證明方法進行篩選和優化？教師要指導學生學會推廣與引申、比較與鑒別，并自動將新學定理“同化”或“順應”到自己的知識體系中來。

總之，定理教學既要關注教學環節的銜接、例題的配備、教學任務能否順利完成這些基本環節，更要關注數學核心素養，引領學生走進艱難困苦的證明過程中來，最佳方法是在證明過程兩旁分別書寫出“基本步驟”和“數學思想與方法”，讓學生深度體驗問題解決的程序性和探究過程的策略性。高水平教學不僅要讓學生知其然，知其所以然，還要研究“何由以知其所以然”，還學生學習主人之地位，還數學思維教育之本色。