應用函數與方程思想，培養數學解題能力

姚紅陽

【摘 要】 解題能力是學生數學能力的重要組成部分，是學生綜合素養的體現。在初中數學教學中，教師應以培養學生解題能力為切入點，不斷激活學生的學習熱情，提升學生的數學學習水平。筆者在教學中，注重滲透數學思想方法，既為學生系統學習數學理清了脈絡，更發展了學生的數學能力。本文就初中數學教學中應用函數與方程思想，培養數學解題能力談談粗淺的認識。

【關鍵詞】 初中數學;函數與方程思想;解題能力

函數與方程思想是初中時代的重要思想，對學生的解題能力有著不可磨滅的作用。新的課程標準對教師和學生提出了更大的挑戰，簡單的數學知識考查已完全無法滿足現在的要求。同時，掌握了這一基本的數學思想，對學生其它方面的解題也有很大的作用。本文將從三個方面詳細闡述如何應用函數與方程思想，培養學生的解題能力。

一、求代數式，簡捷快速

根據函數與方程中的韋達定理，可以將二次方程很復雜的兩個解轉化成整式形式。由此，求代數式時可以反向求解，進而快速并正確解題。這就要求教師向學生展示正確用法，同時讓學生及時總結，才能真正掌握。

九年級上冊第22章第3節學習了實際問題與二次函數，當時大家對二次函數的圖像和性質有了比較深刻的理解。為了讓學生熟練應用函數與方程思想，我便出了一道綜合性比較強的題，供學生思考：已知a=2-，b=2+，求（3a2-12a+4）（2b2-8b+13）的值。由于是剛學完二次函數，所以有的同學在努力根據二次函數的思想進行求解;而另一部分同學則是在硬將a和b的值代入方程式中求解。顯然，如此復雜的式子，代入值計算的錯誤率是很高的，而且根本沒有必要將其列為訓練能力的重點。最后，有同學通過韋達定理快速解出了正確答案，我便讓他進行了板書演示與講解：由a+b=4，ab=1可得，a和b分別為x2-4x+1=0的2個根，那么a2-4a+1=0與b2-4b+1=0是成立的;接下來可以得出3a2-12a+4=3（a2-4a+1）+1=1以及2b2-8b+13=2（b2-4b+1）+11=11，最后（3a2-12a+4）（2b2-8b+13）=1×11=11。

事實證明，通過不斷嘗試與思考，學生是完全有能力將函數與方程思想應用在求解代數式中的。在這個過程中，教師一定要給予相應的指導和肯定，將用法演示給暫時沒有理解的同學，同時進行變式訓練，才能保證學生真正理解并應用。

二、解應用題，打開思路

不僅是計算題，函數與方程思想在應用題中也有很大的作用。通過二次函數的性質以及一元二次方程的求解，學生可以求出滿足題目要求的最佳方案。這也為學生的理性化解題提供了新的思路，讓學生掌握方向。

在九年級上冊第22章“二次函數”的復習題中，有一道涉及兩個未知條件的應用題對學生產生了一定的困擾：公司用甲、乙兩個工廠同時生產960個零件;已知甲單獨完成比乙單獨完成多20天，每天乙比甲多生產8個;甲日加工費為800元，乙日加工費為1200元;求生產這批零件公司所付費用。表面上，題干與最終所求問題關系并不大，涉及的量也太多。但事實上，通過步步抽離，這道題的本質其實就是一元二次方程的列出與求解。從問題出發，要求公司所付費用，實際上是求甲、乙兩公司共生產了多少天。根據已知條件，設甲廠每天生產x件新產品，那么乙廠每天生產（x+8）件，由甲單獨完成比乙單獨完成多20天可得-=20，化簡后得x2+8x-384=0;求得兩個解為16和-24，-24舍去，因此，結果為甲廠每天生產16個，乙廠24個，那么生產天數為960÷（16+24）=24，費用=（800+1200）×24=4800元。

很顯然，解應用題的過程中，同學們總會被繁瑣的條件煩擾，從而導致學生的思緒誤入歧途。這時候就需要教師引導學生，從題目出發，找到突破口，最后根據已知條件設未知數、列方程并求解，就一定能找到思路。

三、圖形計算，多元轉換

代數與幾何本就是相輔相成的。如大家所熟悉的勾股定理等，事實上很多圖形最終的形狀都與邊角的數值是相關的。因此，在求解圖形問題時，同樣可以根據條件，應用函數與方程思想解題。

在九年級下冊第27章，大家學習了圖形的相似。由于之前已經學習過二次函數，因此我們師生都發現，很多題目中，應用函數與方程思想會比僅僅只利用相似三角形方便得多。比如：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3;D為BC邊上一點，直線DE⊥BC與D，交AB與E，CF∥AB交直線DE于F;令CD=x，求當x為何值時，四邊形EACF為菱形。解題前，首先根據題中已知條件DE⊥BC與∠ACB=90°可得AC∥EF;加上CF∥AB，可知四邊形EACF為平行四邊形。前面這一部分是很簡單的條件歸納，要使得平行四邊形EACF為菱形，還需滿足鄰邊相等，即AC=CF=2。由于AC∥ED，因此△ACB∽△EDB，那么=，得ED=（3-x），DF=。最終，根據勾股定理可知CD2+DF2=CF2，即x2+（x）2=22，解之得x=。因此，最終答案為：當x為時，四邊形EACF為菱形。

由此可知，如果僅憑三角形以及平行四邊形自身的性質，很難將題目解決。但是如果加上函數與方程，就可以將勾股定理以及平行四邊形中其他關于數值的條件很好地利用起來，實現問題的轉換。

函數與方程并不是一個獨立的、簡單的知識點，而是可以滲透到任意范圍內的數學方法與思想。因此，掌握了函數與方程思想，對學生解題能力的提升大有裨益。同時，廣大師生在解題過程中還可自行總結，不斷完善其用法，從而更加深刻地理解并更加熟練地應用函數與方程思想，進而得到解題能力的提升。

【參考文獻】

[1]鄒麗麗.函數與方程思想在高中數學解題中的應用[J].高中數理化，2014（22）.

[2]閔云霞.淺析函數與方程思想在解題中的應用[J].數學學習與研究，2016（22）.