平面與平面平行的判定方法總結(jié)及證明策略

楊亮

摘 要：平面與平面平行的判定是人教A版高中數(shù)學(xué)必修2第二章2.2.2的一節(jié)內(nèi)容，與直線與平面平行得判定一樣，也是可以用定義來做判斷，不過比較麻煩，所以自然要去探索諸多嚴(yán)格的判定平面與平面平行的方法，并用文字語言、符號語言來準(zhǔn)確描述這些判定方法，整理了他們的常見證明方法，我認(rèn)為這樣更有利于我們的授課，也能開闊學(xué)生們的視野，鍛煉學(xué)生的思維，提高學(xué)生們的直觀想象、邏輯推理能力。

關(guān)鍵詞：平面;平面平行;策略

一、定義法

平面與平面平行的定義是，如果兩平面沒有公共點(diǎn)，那么兩平面平行，定義完全可以作為判定方法來用，但是無法嚴(yán)格的證明，也就是說想證明兩個平面沒有公共點(diǎn)，需要證明其中一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一平面，我們不可能把其中一個平面內(nèi)所有直線都取出逐一證明其平行另一平面，這是不現(xiàn)實的，所以定義法只能說是一種判定方法，不能成為證明方法.

二、平面與平面平行的判定定理法

探求兩個平面平行的條件，要緊緊把握住轉(zhuǎn)化思想，明確方向，應(yīng)該確定主要思想為降維度，也就是把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行來研究.于是我們最先發(fā)現(xiàn)的應(yīng)該是α內(nèi)有兩條相交直線與β平行，才能保證α∥β，于是我們總結(jié)出了第二種平面與平面平行的判定的方法：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行，符號語言：

在有關(guān)平行關(guān)系的證明中，常用反證法或同一法，下面是嚴(yán)格的證明過程：

該定理若不借助其他命題很難直接證明，筆者在研究了歐幾里得證法改進(jìn)版給出了下面的直接證明方法：

在命題“和同一直線垂直的兩個平面平行”成立的前提下，如圖設(shè)AC=α，AE=b，過點(diǎn)A作AB⊥β垂足為點(diǎn)B，∴AB，AC確定的平面與平面β的交線為BD，∵AC∥β由線面平行的性質(zhì)定理可得AC∥BD，同理可得AE∥BF，∴AB⊥AC，AB⊥AE∴AB⊥α∴α∥β.

隨著時間推移，歐氏證明銷聲匿跡了， 上面的改進(jìn)的歐氏證明方法還保持一定數(shù)量，而反證法則異軍突起，為絕大多數(shù)教科書所釆用的主要證明方法，筆者給出以下的四種間接證明法的思路，供大家參考.

反證法證明1：假設(shè)α與β不平行，則α∩β，則直線a，b與直線l必定相交或平行，若直線a，b與直線l都相交，則直線 a，b與平面α都相交與已知矛盾.若直線a，b中有一條與α直線l相交，另外一條b與l平行，則直線α與平面α相交，與已知矛盾.

綜上，定理得證.

這個判定定理實質(zhì)上就是用兩組線面平行推導(dǎo)出平面與平面平行，之所以把“如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行”作為判定定理，是因為這個定理實現(xiàn)了面面平行轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的直線與平面平行的判定！學(xué)生理解起來會容易一些，這個定理也體現(xiàn)了“空間問題平面化”的思想.應(yīng)用時要注意兩點(diǎn)（1）有兩條直線平行于同一平面;（2）這兩條直線必須相交.

三、平面與平面平行的判定定理推論法

把這種證明方法稱為平與平面平行的判定定理的推論，下面是嚴(yán)格的證明過程：

因為這個推論實質(zhì)上是用兩組線線平行推導(dǎo)出平面與平面平行，它的證明思路比較判定定理會更直接一點(diǎn)，所以學(xué)生更喜歡用這個推論來證明兩個平面平行.

四、和同一直線垂直的兩個平面平行的判定方法

1、結(jié)合空間垂直的特點(diǎn)，我們還能得到第四種判定方法：如果兩個平面垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行，符號語言：? ? ? ? ? ，下面是嚴(yán)格的證明過程：

2、該判定方法也可以有一個推論：如果兩個平面的垂線平行，那么這兩個平面平行.（可理解為法向量平行的平面平行）這個推論的證明可以由線面垂直的性質(zhì)可知兩條平行線與兩個平面都垂直，由上面得判定方法證明可知面面平行.

五、平面平行的傳遞性判定法

空間里，直線的平行有傳遞性，那么平面得平行也有傳遞性：如果兩個平面平行于同一平面，那么這兩個平面平行，符號語言：

下面是嚴(yán)格的證明過程：

證明：不妨設(shè)平面

到此可以總結(jié)一下，證明面面平行，要么證明兩組線面平行，要么證明兩組線線平行，要么證明這兩個平面都和同一條直線垂直，要么證明這兩個平面都和同一個平面平行。若這四種方法都行不通，則不妨嘗試一下反證法.

參考文獻(xiàn)：

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