高等數學中無窮小的解讀

張穎超

摘 要：作者在《高等數學》教學過程中，發現很多同學對一些概念理解不透徹或者存在誤解，本文對鄰域，無窮小和高階無窮小做了解釋，希望為同學們解惑。

關鍵詞：鄰域;無窮小;高階無窮小

Abstract： in the teaching process of " Advanced Mathematics"， the author found that many students do not understand some concepts thoroughly or have misunderstanding， this paper explains the neighborhood， infinitesimal and higher order infinitesimal， hoping to solve the confusion for students.

Keywords： neighborhood; An infinitesimal. Higher order infinitesimal

高等數學建立在初等數學基礎之上，結構嚴謹，對于學生的邏輯思維以及運算能力有較高的要求，是各理工學科的基礎。筆者在《高等數學》課程的教學過程中，發現學生對于一些概念要么理解不透徹，要么后期的運用過程中出現誤解。在此，本文對高等數學教學中的幾個概念加以解讀，希望為同學們解惑。

一.鄰域

定義1[1]：以點a為中心的任何開區間為點a的鄰域，記為 U（a）。設δ是任一正數，則開區間（a-δ，a+δ）就是點a的一個鄰域，這個鄰域稱為a的δ鄰域，記為U（a，δ）。

從鄰域的定義可以看出，所謂鄰域就是以a為中心的開區間，而a的δ鄰域就是以a為中心δ為半徑的開區間，δ可以是任何正數。

但是在后期的應用過程中，同學們可能產生一個誤解：認為a的δ鄰域中的δ是小于1的。從而導致對高數中其他概念產生誤解。

二、無窮小

定義2[2]：如果函數f（x）當x→x0（或者x→∞）時的極限是零，那么稱函數f（x）為當x→x0（或者x→∞）時的無窮小。特別的，以零為極限的數列{xn}稱為n→∞時的無窮小。

從定義上看，無窮小是一個過程：隨著x→x0時，f（x）的極限是零，即f（x）是→x0時的無窮小。注意，不能說f（x）是無窮小。

關于無窮小，同學們容易糾結的地方有兩個：第一，無窮小和很小的數;第二，無窮小和零的關系。

首先，無窮小和很小的數。通過剛才的分析我們可以看出，無窮小是一個過程，是函數f（x）隨著x→x0逐漸趨近于零的過程。而很小的數，無論這個數多么小也是一個具體的數。

三、高階無窮小

在教學過程中，總是聽到有人問，高階無窮小是0還是函數？其實高階無窮小既不是0也不是函數，他是兩個無窮小量的比較。在同一個變化過程中的兩個無窮小，雖然同時都趨向于零，但是它們趨向于零的快慢程度有時卻不一樣，甚至差別很大。

上述解釋很多同學都能理解，但是還是有部分同學容易陷入誤區，比如下面例題

但是，從圖形上看，在x<1時，對于相同的變化幅度，x2是比x3變化大;換言之，x2變化速度比x3快，這樣，x2應該是x3的高階無窮小，這不是和定義矛盾嗎？

解答，例題1的說法，其實還是對高階無窮小的定義沒有理解。

高階無窮小中變化速度不是指變化的量，而是指相對于自身所變化的比例。比如當x從 變為 時，x2從 變為 ，縮小為原來的 ，x3從 變為 ，縮小為原來的 ，x3變化的量小，但變化的比例大，所以認為它收斂于0的速度更快。

以上就是作者在教學過程中遇到的眾多概念中的幾個，學生對這幾個概念或者存在疑惑，或者理解有誤，因此作者在此整理，希望為同學解惑。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系編.高等數學[M].第六版：高教出版社出版。

[2]孫洪波.高等數學[M].第二版：中國鐵道出版社