關于高中數學模型的探索與研究

摘?要：在高中數學中，根據所用到的數學知識和方法的特征，大致可以分為：1. 函數模型，2. 線性規劃模型，3. 解析幾何模型，4. 數列模型，5. 排列組合模型，6. 統計概率模型。在現實生活中，很多應用性的問題需要用數學模型去解決。問題的解答需要三個步驟來實現：一是分析數據或相關圖形特征，二是建立恰當的數學模型，三是根據建立的數學模型解答實際問題。本文將通過一些范例來探究高中數學中常見的數學模型。

關鍵詞：高中數學;數學模型;現實生活

在當今教育教學中，素質教育日益深入，數學建模成為轉知識為能力的橋梁和紐帶。用建立“數學模型”的思想方法以解決實際問題已經成為高中數學這門學科的時尚潮流，深受學生的歡迎和喜愛。

一、 函數模型

在實際生活中，常常隱含著量與量之間的變化關系，通過仔細分析變量的內涵，建立變量之間的函數關系式，利用導數知識、不等式知識等求出極值或最值，如利潤、運費、產量、用料等問題，都可以考慮建立函數模型來解決。

例1?如圖，某地有三家電子廠，矩形ABCD的兩個頂點A，B和CD的中點P處為三家電子廠的位置，AB=20km，BC=10km。當地政府規劃在該矩形范圍內（含邊界）且與A，B等距離的一點O處，建設一座污水處理廠來處理這三家電子廠的污水，并在AO、BO、PO位置鋪設三條排污管道。怎樣選擇污水處理廠的位置，才能使得鋪設的污水管道的總長度最短？

二、 線性規劃模型

在實際問題中，常常遇到安排統籌、合理分配、最優化問題，都可以考慮建立線性規劃模型來解決。

例2?某工廠生產甲種零件和乙種零件，已知生產甲零件1只需要耗A原材料1千克、B原材料2千克;生產乙零件1只需要耗A原材料2千克、B原材料1千克，每只甲零件的利潤為300元，每只乙零件的利潤為400元，該工廠計劃生產這兩種零件中，要求每天消耗A、B原材料都小于或等于12千克，通過生產計劃的合理安排，每天應生產甲、乙兩種零件各多少只時，該工廠獲得的總利潤最大？

三、 解析幾何模型

對于建筑工程、力學、天文、光學、軌跡等實際問題，常常可以抽象為解析幾何模型來解決。

例3?已知相距2km的兩地A、B在某荒漠上，現準備在該荒漠上圍成一片植物園，植物園的圖形是以AB為一條對角線的平行四邊形，根據規劃，該植物園圍欄總長度為8km，問該植物園的最大面積能達到多少？

解：平行四邊形相鄰兩邊長之和為4km，根據橢圓的定義，平行四邊形另外兩頂點C、D在以A、B為焦點的橢圓上。以線段AB所在直線為x軸，以線段AB的中點為原點建立如圖所示的直角坐標系，則AC+BC=4，即2a=4，a=2，c=1，∴b=3，得橢圓方程為：x24+y23=1。

由于點C、D在橢圓上運動，故當點C、D在y軸上時，（S△ABCmax=3，該植物園的最大面積為23km2。

四、 數列模型

在實際問題中，像增長率、銀行信貸、養老保險、工資問題等問題，可以考慮建立數列模型解決。

例4?剛剛大學畢業參加工作的小劉，想在當地購買一套價值32萬的商品房，首付為7萬，其余向銀行按揭20年，采取分期付款方式，已知月利率為0.483%，問：小劉每月應向銀行付款多少元？（精確到1元，參考數據：1.00483240≈3.1785）

答：小劉每月應向銀行付款1762元。

五、 排列組合模型

排列組合在實際生活中也應用很廣泛，比如抽獎問題、排隊、選派任務、比賽場次等問題，可以考慮用排列組合模型解決。

例5?把5本不同的書本擺成一排，若書本A與書本B相鄰，且書本A與書本C不相鄰，則不同的擺法有多少種？

解：將書本A與B捆綁在一起，然后與其他三種書本進行全排列，共有A22A44種方法，將書本A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種書本進行全排列，共有A22A33種方法，故符合題意的擺法共有A22-A33=36（種）。

例6?有4名優秀教師甲、乙、丙、丁被派到A、B、C三所不同學校去支教，要求每所學校至少派到一名教師，那么不同的選派方式共有多少種？

解：如果A學校分到2名教師，則有C24×A22=12種，同理B學校分到2名教師有12種，C學校分到2名教師有12種，共有12×3=36（種）不同的選派方式。

六、 統計概率模型

在現實中，經常會碰到一些有關把握程度、可能性、選擇性等問題，可以考慮用統計概率模型解決。

例7?在2年保修期內，汽車會受維修費等因素的影響，某汽車制造廠生產A、B兩種品牌汽車，生產每輛汽車的利潤與該汽車首次出現故障的時間有關，現從該廠已售出的兩種品牌汽車中各隨機抽取50輛，統計數據如下：

問：如果該廠生產的汽車都能售出，記生產一輛A品牌汽車和B品牌汽車的利潤分別為x1、x2，由于該廠資金有限，只能生產其中一種品牌的汽車，如果從經濟效益的角度考慮，該廠應生產哪種品牌的汽車？

解：依題意得，x1的分布列為

因為E（x1>E（x2，所以應生產A品牌汽車。

綜上諸例，在數學教學中，根據學生所學知識，教師可以經常組織學生進行一些數學建模活動，以提高學生學習數學的熱情，還需培養學生較好的閱讀能力、理解能力，靈活運用數學符號語言去解決實際問題。通過數學建模活動，學生能夠感受到數學是一門實用性很強且有趣的學科，對提高學生數學素養有很大的幫助。

作者簡介：范立東，廣東省梅州市，廣東梅縣東山中學。