基于整體建構的運算知“法”與明“理”的深度融合

摘 要：運算能力并不等同于計算技能。小學階段的整數乘法中，口算，豎式計算之間蘊含著相同的數學思想“先分后合”。為了讓學生體會多位數乘法相同的算法、算理和數學思想，文章通過新舊對比，口算，豎式計算的比對，國內算法與國外格子算法對比。在多角度、多維度的對比中多次體會，以其幫助學生掌握整數乘法計算的方法，理解計算的道理，打通整數乘法間的知識脈絡。

關鍵詞：運算能力;計算技能;數學思想;先分后合

一、 課前思考

說運算，自然離不開計算技能。但運算能力并不等同于計算技能。小學階段的整數乘法中，對于口算，豎式計算之間有什么必然的聯系？多位數乘法的計算方法和算理有什么相同之處？如何讓學生在掌握計算技能的同時，明白計算的意義及計算的道理？怎樣的課堂教學有助于學生理解整數乘法計算中相同的數學思想？怎樣的設計才能更好的打通整數乘法間的知識脈絡？文章將結合人教版《三位數乘兩位數的筆算》從整體建構的角度談談計算課教學的一些思與行。

二、 教學策略

（一）教學目標

1. 掌握“三位數乘兩位數”筆算的計算方法，理解、體會“三位數乘兩位數”與“兩位數乘兩位數”及“多位數乘多位數”之間的聯系。

2. 經歷“三位數乘兩位數”筆算的計算過程，在口算與筆算，“三位數乘兩位數”與“兩位數乘兩位數”的對比過程中明法悟理，體會知識之間的內在聯系，領悟相同的數學思想——先分后合。

3. 借助運算活動，在操作、對比、思考、辨析中培養學生豐富的數學思維能力，發展學生的運算素養。

（二）教學重點

掌握“三位數乘兩位數”的筆算方法，體會整數乘法計算中分與合的思想。

（三）教學難點

在操作、觀察、對比、辨析中溝通知識的內在聯系，形成新的知識生長點。

（四）教學過程

1. 復習舊知 回憶計算中的“分”與“合”思想

師：今天我們要繼續學習有關乘法的知識。想想看，之前，我們學過哪些乘法的知識？

師：45×12怎樣計算？

生：先把12分成10和2，用2乘45得90，再用1個十乘45得45個十，也就是450，最后把兩部分合起來得540。

小結：是的，我們把第二個因數分成幾個十和幾個一，用幾個十和幾個一分別與第一個因數相乘，再把它們的積合起來。也就是“先分后合”。（板書：先分后合）

【思考】復習舊知，回憶“兩位數乘兩位數”的豎式計算方法，喚醒腦中關于計算中“分”與“合”思想，這樣的導入為學習“三位數乘兩位數”計算做好鋪墊。

2. 借助生活情境 再次體會新知中的“分”與“合”思想

（1）出示書47頁的例題，引導學生分析題意并列出算式145×12=。

（2）結合算式145×12，學生嘗試估算，確定該算式的值的取值范圍。

（3）學生獨立嘗試計算，說理。體會口算式與豎式計算中的“分”與“合”。

師：145×12等于多少？我們可以怎樣計算？

生1：可以先算2小時走的路程：145×2=290（千米），再算10小時走的路程：145×10=1450（千米），然后把兩部分合起來290+1450=1740（千米）。

生2：我們還可以把它變成三位數乘一位數計算，145×2=290，145×1=145，290+1450=1740。

師：你的計算中，290我看到了，可是1450在哪呢？

生2：先算出的是290個1，就是290，再算的是1個十乘145，所以是145個十，就是1450，最后用290+1450=1740。

師：兩位同學都把12小時分成10小時和2小時，分別計算出行駛的路程，再把它們的積合起來，先分后合。把新知化成舊知解決，真好。還有不同的方法嗎？

生3：可以直接豎式計算。先用個位的2乘145得290，再用十位的1去乘145，得1450。

師：剛才這位同學說，第二層得到的是1450，可老師怎么看到的是145呢？

生4：用十位的1乘5得到的是5個十，5寫在十位上。這里的145，表示的是145個十。

師：豎式中的290、1450分別表示什么？

生5：290是2×145，表示2小時行的路程;1450是10×145，表示10小時走的路程;最后的把兩部分的積合起來，1740表示12小時行的路程。

師：三位數乘兩位數，豎式計算時，我們是怎樣想的？

小結：把第二個因數分成幾個十和幾個一，用幾個十和幾個一分別乘第一個因數，最后再把它們的積合起來。

【思考】借助生活情境，引導學生用多種方法計算145×12并說出每一步計算所表示的意義。在口算、豎式計算，三位數乘一位數豎式計算、三位數乘兩位數的豎式計算中再次體會“分”與“合”思想。

3. 多維度對比，深刻理解計算中的“分”與“合”思想

（1）橫向對比，理解“分”與“合”思想。

師：對比這三位同學的算法，你有什么發現？

生1：三種方法都是把12分成10和2，先用2乘145，再用10乘145，最后再把它們的積合起來。

生2：它們都是先分后合。

小結：不管是口算，還是豎式計算，我們都是把第二個因數分成幾個十和幾個一，分別與第一個因數相乘，再把它們的積合起來。都是“先分后合”。

（2）縱向對比，體會“分”與“合”思想。

①溝通“兩位數乘兩位數”與“三位數乘兩位數”的聯系。

師：對比“兩位數乘兩位數”和“三位數乘兩位數”，你又有什么發現？

生：它們都是把第二個因數分成幾個十和幾個一，分別乘第一個因數，都是“先分后合”。

②溝通整數乘法之間的聯系。

師：“兩位數乘兩位數”及“三位數乘兩位數”的計算我們都會了，如果老師把145×12變成1145×12，你會怎樣計算？說說你的想法。

生1：也是把第二個因數的12分成10和2，先算2×1145，再算10×1145，最后把兩部分合起來。

師：如果是11145×12呢？我們又該怎樣計算？

生2：我們把12=1個十+2個一，先算2×11145，再算10×11145，最后把它們的積合起來。

師：認真觀察這兩個算式，你又有什么發現？

小結：都是把第二個因數分成幾個一和幾個十，用幾個一和幾個十分別與第一個因數相乘，最后再把它們的積合起來。都是先分后合。

師：如果第一個因數的位數越來越多，變成六位數乘兩位數、七位數乘兩位……我們可以怎樣計算？

生：不管是幾位數乘兩位數，都是把兩位數分成幾個十和幾個一，分別與另一個多位數相乘，最后再把它們的積合起來。

師：看來，在數的變化中，它們也有不變的東西。那就是它們計算的方法和道理都是一樣的，都是“先分后合”呢。

（3）中外對比，感悟計算的“分”與“合”思想。

①學生觀看微課，認識“格子乘法”。

②溝通中外計算的相同點。

師：從微課中，你知道了什么？

師：是的，意大利的“格子算法”和我們的豎式計算一樣，也是體現先分后合呢。

【思考】在橫向對比中體會口算、豎式計算相同的意義、算理及勾聯。在縱向對比，溝通整數乘法間相同的計算方法及計算道理。通過橫向、縱向對比，打通知識脈絡。體會、感悟整數乘法計算中“分”與“合”的思想。

三、 整體建構 深刻領悟計算中的“分”與“合”思想

師：三年級時，我們學習“兩位數乘兩位數”用的是先分后合。今天我們學習“三位數乘兩位數”用的也是先分后合。那如果以后的整數乘法中遇到更多的位數相乘，如“三位數乘三位數”或“四位數乘三位數”……時，我們又該怎樣思考呢？

生1：不管是幾位數乘幾位數，我們都可以把第二個因數分成幾個一，幾個十，幾個百……用幾個一，幾個十，幾個百……分別與第一個因數相乘，最后再把它們的積合起來。

生2：都可以用先分后合的方法計算。

師：整數乘法的計算教材只安排到四年級，五年級的教材不再安排學習，這樣安排的原因就在于“不管是幾位數乘幾位數”的計算，它們計算的方法和道理都是一樣的，都是先分后合。

【思考】回憶“兩位數乘兩位數”與“三位數乘兩位數”相同的計算方法，共同的計算思想——先分后合，猜想“多位數乘多位數”計算方法。整數乘法的計算在“昨天——今天——明天”中建立聯系。知識、方法、數學思想在前后溝通、整體建構中形成。

課后思考：

《三位數乘兩位數》這一課，筆者把重點放在“分”與“合”的數學思想方法的指導上，旨在整體建構的基礎上，讓學生體會、感悟整數乘法之間相同的算法、算理及數學思想。

（一）多層次教學，體會“分”與“合”數學思想

運算能力不等同于計算技能，學生在運算中既要明法悟理，也要理解、掌握運算中蘊含的數學思想方法。筆者在教學實踐時，先復習“兩位數乘兩位數”的筆算方法，勾起學生對筆算乘法中“分”與“合”的思想的回憶;再學習新知“三位數乘兩位數”的計算，再次體會“分與合”思想方法;而后對口算與筆算，新知、舊知和后知之間進行對比，深刻理解、領會“分與合”的思想方法;最后，借助微課，認識“格子乘法”，對比國內、國外的計算方法，再次領悟“分與合”的思想方法……在這樣的多層次教學實踐中，組織學生思考、辨析，多次體會整數乘法相同的本質屬性，溝通知識內在聯系，提升學生的思維能力。

（二）多維度對比，打通知識內在聯系

“三位數乘兩位數”是整數乘法的終結篇，在教學中，我們除了要讓學生掌握本課的知識外，還應該思考要讓學生習得什么？整數乘法間有什么內在的本質聯系？教學中，在新知“三位數乘兩位數”的計算教學中，先引導學生用多種方法計算，并對這幾種計算方法（口算、筆算）進行橫向對比;而后對“三位數乘兩位數”“兩位數乘兩位數”及“多位數乘多位數”筆算方法的縱向對比;借助微課，對國內算法（口算與筆算）與國外算法（格子乘法）對比。在這種橫向、縱向，國內、國外的多維度對比中，體會到一樣的計算方法、數學思想。知識、算法在橫向、縱向比較中勾聯;算理、思想在整體建構中明晰。

作者簡介：王榮香，一級教師，福建省三明市，福建省三明市大田縣第二實驗小學。

基金項目：福建省三明市基礎教育科學研究2019市級課題“基于‘深度學習的小學數學計算教學研究”（課題批準編號：JYKT—19056）階段研究成果。