解出“深度”，構出“創新”

【摘要】本文以人教版數學三年級上冊“周長”這一單元的一道例題為例，論述進行習題二次開發的途徑，認為教師應從知識建構、學生思維、教學方法三個層面解讀習題，根據學生的實際情況對習題進行整合、創編，總結二次開發習題的價值及方法，以此助推學生的“深度學習”，提高教學質量。

【關鍵詞】小學數學 習題 二次開發

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）05A-0073-03

教材的習題編寫往往強調內容與梯度的普適性，缺乏切合校本實際、生本實際的針對性。教師必須具備深度解讀習題的能力，既能準確分析習題的編寫意圖，挖掘習題背后隱藏的知識信息、解題策略，又能根據學生的實際情況對習題進行整合、創編，進行二次開發。筆者以人教版三年級上冊“周長”這一單元的第10題為例，對習題的二次開發進行探討。

一、“三維”解讀習題

教師要從知識建構、學生現有的思維水平、采用怎樣的教學方法來支撐教學三大維度對習題進行深度解讀。只有根據知識體系的建構對習題進行增補刪減、整合，使題型豐富多變、有梯度、有內涵，才能實現真正的深度解讀，引導學生進行深度學習，提高教學質量。

（一）從知識建構層面解讀習題

皮亞杰的知識建構理論認為：兒童是在與周圍環境相互作用的過程中，逐步建構知識體系，從而使自身認知結構得到發展。由此可知，學生是知識加工的主體，是知識的建構者。教師要讓學生把當前所學的知識與已有經驗產生聯系，從學習內容、學習方法、如何學習等方面去思考、去探索發現，最終完成知識的建構。

首先，對習題內容進行分析：知識性質、知識結構，所蘊含的規律、思想方法，以及知識之間的內在聯系。經過分析發現：這是一道解決周長的問題，目標圖形由兩個正方形組合而成，需要用到正方形的周長公式。

習題中的組合圖形可以由“拼一拼”得到，也可以由“剪一剪”產生。根據學生已有學習經驗，可以將此題設計成開放題，讓學生通過操作活動，排除“形狀”“面積”對“周長”的干擾，從多個維度去建構“周長”這一概念，使學生對“周長”概念有一個清晰完整的認知。

（二）從學生思維層面解讀習題

小學生的思維以具體形象思維為主，他們在認識較復雜的圖形和理解較抽象的數學概念時有一定的困難。受已有思維經驗的影響，學生計算周長習慣于將各條邊相加，而當不知道某些邊的長度時，這就成了學生思維的“盲點”。三年級學生的思維停留在表層，思維的深刻性和嚴密性不夠，對“周長”的認知容易受“面積”“形狀”的干擾。因此，教師要從學生思維角度出發，多層面設計習題。

由此，筆者將此題改編。筆者先出示兩個正方形，讓學生自由拼組，學生呈現了多種拼法。接著開展三個層面的操作活動：第一層，“拼一拼”，學生通過“拼一拼”環節感知面積不變，但周長卻變短了;第二層，“剪一剪”，學生通過“剪一剪”環節感知面積變小了周長不一定變小，周長可能不變，也可能變長;第三層，“撕一撕”，“撕一撕”這個環節將教材里比較經典的題型進行整合，與學生的形象思維進行無縫對接，讓學生形象感知“面積”與圖形“周長”沒有必然聯系。

（三）從教學方法層面解讀習題

合理的教學方法應該把課堂還給學生、把學習主動權還給學生，教師應精心設計習題，培養學生合作探究能力。通過前面的學習，學生腦海里已經初步形成了“周長”的概念。然而，概念的形成不是一蹴而就的，學生只有在多種活動過程中不斷辨析，不斷排除干擾因素，才能對“周長”的概念有一個精確的建構。

針對習題的特征以及學生的特點優化教法，筆者擬給學生創設一個操作體驗的情境，使學生在具體操作情境中建構“周長”概念。因此，筆者采用操作體驗、合作探究法，將此題創編成可操作的一組題型，讓學生通過“拼一拼”“剪一剪”“撕一撕”三個操作活動，不斷積累思維經驗、強化對概念的理解，逐步深化對“周長”概念的建構。

二、“三法”重構習題

有“深度”的課堂是具有高思維的課堂，能引領學生深度探究、深度思考、深度學習，這也是當前課程改革追尋的方向。將習題進行重構、“二次開發”，目的是讓習題為學生“量身定做”，讓學生的思維與習題無縫對接。

（一）拼一拼——改造原題，先分后整

學生很容易受思維定勢的干擾，看到兩個正方形的周長就直接相加。為了降低學生學習的難度，有效對接學生的思維，筆者將原題進行改造，教學流程如下。

片段一：周長一共是多少？

這個環節既復習正方形周長公式，又為下一環節的教學埋下伏筆。

接著筆者追問：如果把兩個正方形拼在一起，周長又是多少呢？

片段二：操作驗證，周長變了嗎？

如果說猜想是創新的靈魂，那么驗證則是創新的核心，通過驗證可以證明或否定猜想;在驗證中明真理，揭露事物的本質，建構新知，以此引發學生深度學習，推動學生思維的發展。

師：把兩個正方形拼在一起，你發現了什么？

生1：周長變短了。

（教師讓學生自由選擇圖形進行驗證）

生1：我是用數方格的方法，所以我選了第一個圖形，周長是30厘米。

師：你為什么不選后面兩幅圖？

生1：后面兩幅圖有些邊沒有滿一格，不好數。

生2：我把每一條邊加起來，第一個圖形6+6+6+3+3+3+（6-3）=30厘米。

師：那第二個圖形的周長呢？

生2：后面兩幅圖有些邊的長度不知道，所以我算不出來。

生3：我選第一幅圖，6×4=24厘米，3×4=12厘米，24+12=36厘米，36-3-3=30厘米。

師：你為什么要減去兩個3？

生3：因為重疊部分有兩個3，重疊部分不是周長應該減掉。

（學生通過討論交流很快得知，后面兩個圖形的周長只要用兩個正方形的周長之和減去兩條重疊的邊就可以得出來了，答案也是30厘米）

師：通過剛才的拼一拼，我們發現兩個圖形拼在一起，周長會有什么變化？

生4：周長變短了。

學生在計算第一個圖形的周長的過程中積累了一些經驗，原先對兩個圖形組合后的周長較為模糊，此時已漸漸明晰起來了，借助拼一拼的活動，懂得了求組合圖形的周長要減去重疊的邊。

片段三：“平移”后的周長怎么求？

師：求這三個圖形的周長還有不同的方法嗎？請同學們拿出小棒，我們首先來擺一擺第一個圖形。移一移邊，看看你又有什么發現？

（學生操作）

師：現在你又有什么發現？

（學生發現，將原來的小正方形的邊移一移之后，整個圖形就變成了一個長方形）

師：“平移”之后，周長又該怎么求呢？

生5：把邊移出去之后，就變成了一個長方形了，我們只要求長方形的周長就可以了。（9+6）×2=30厘米。

通過移一移，學生感受到了“平移”的思想，會用平移法解決組合圖形周長的求解問題，掃除了思維的“盲點”，從而拓寬了學生的解題思路。

（二）剪一剪——“合情”推理，變整為缺

學生通過“拼一拼”發現，“拼一拼”后的圖形周長都比原來的周長小。然而，我們的教學不能到此為止，還需繼續向前邁進。教師可以給學生挖一個“坑”，讓學生跳進去，接著讓學生開展合作探究，讓學生自己從“坑”中爬出來。

師：拼一拼，圖形周長變短了。如果在一個長方形上剪去1個小正方形，周長會怎么樣呢？

生1：變短了。因為，拼一拼邊重疊了，剪一剪，邊被剪掉了，周長也就變短了。

顯然，受“拼一拼”的影響，學生進行了“合情推理”：邊被剪掉了，周長肯定變短了。由此可知，學生對周長概念理解還是比較模糊的，受“面積”的干擾，他們以為面積減少周長也應該減少。

師：請同學們從學具袋中拿出長方形方格紙剪一剪，可以減去1個小正方形，也可以減去2個、3個……

學生作品如下。

師：看看這些同學剪的形狀，你有什么想說的？

生2：①②③④⑤的周長和原來的一樣，⑥⑦的周長和原來的不一樣。

學生根據上題“移一移”的經驗，用平移法很快找到周長不變的圖形，又通過平移圖形⑥⑦發現多出了兩條邊，所以周長變了。學生通過討論交流又發現了規律，原來在長方形四個角上減去小正方形，不管減幾個周長都不變。

（三）撕一撕——由此及彼，從直到曲

通過以上兩個環節的學習，學生腦海中的“周長”的概念已經變得越來越清晰了。然而，學生對一個概念的掌握需要經過多次強化、反復辨析。

師：我們之前進行的拼一拼、剪一剪活動，涉及的邊都是直的。如果邊是彎曲的，周長又會怎樣變化呢？你有什么辦法能變出彎彎的邊？

生1：我們可以撕一撕，撕出一條彎彎的邊。

有代表性的學生作品如下。

師：想一想，哪一部分的周長長？

生2：圖形①②中的A和B的周長相等。

生3：圖形③④中的A、B兩部分的周長不一樣。

學生經過觀察交流發現，中間這條彎彎的邊是公共邊。如果這條公共邊的兩端是從長方形的一個角到它的對角的，這樣分成的兩部分的周長就一樣長;否則，就要結合具體情況，用一一比對的方法進行判斷。

三、“三省”體會反思

曾子說：“吾日三省吾身。”教師的教學也該如此，時常“三省”自己的教學方可知得與失。“三省”省什么呢？教學現象包羅萬象，筆者著重從價值、方法、原則三方面對“重構”習題后的教學進行反思。

（一）“二次開發”習題的價值

習題是數學教材的有機組成部分，是提升學生思維品質的重要載體。合適的練習，對于學生理解、掌握數學知識是必不可缺的。同時，解答習題的過程也是數學學習的反思過程，可以起到糾正錯誤、深化理解、鞏固知識、提升能力的作用。但并不是所有的習題都編寫得很完美，在實際教學中，教師要針對習題的特征、結合學生的學習情況，敢于向習題挑戰，勇于重構習題。例如，“形狀”“面積”很容易給學生理解“周長”的概念帶來干擾。通過對書上習題進行重構和逐層深入教學，猶如給“周長”剝去了一層又一層迷幻的外衣，凸顯了“周長”的本質屬性。

（二）“二次開發”習題的方法

1.化靜為動

這里的“化靜為動”是指通過對習題的重組、改造，使習題變得靈活生動，富有一定的思維含量，充滿挑戰性和趣味性。

例如此題原本是一道計算周長的問題，通過二次加工改造，此題演變成了一道具有開放性的操作題。課堂上，筆者引領學生通過“拼一拼”“剪一剪”“撕一撕”三個層面的活動去探究周長問題，讓原本靜止的知識變得靈動，給原本抽象的概念賦予具體可感的動態操作，使學生在寓教于樂中深度學習，在手腦并用中清晰建立“周長”的概念。本課例的探究與實踐取得了很好的教學效果，達到了“育人于無形，成長卻有跡”的教學目的。

2.歸并整合

“歸并整合”就是將知識進行整合，將方法進行歸并。首先，教師要親自對習題進行思考、解答，了解習題的難易程度以及知識間的相互聯系;接著分析習題編排的目的性、知識嵌入的層次性，以及習題所蘊含的數學思想方法，根據學生的思維特點對習題進行整合、歸并、創編、拓展，對習題進行二次開發，以此助推學生的“深度學習”，提高教學質量。

例如從一個長方形里剪去小正方形，滲透如下知識點：減掉了幾個小正方形，周長不會減少，可能增加也可能不變;不是剪得越多周長就越長;“周長”和“面積”沒有必然的聯系。針對這些知識點，筆者將知識進行整合，合并設計成一道題：拿出長方形方格紙剪一剪，可以減去1個小正方形，也可以減去2個、3個……雖然整合成了一道題操作題，但開放了學生的思維，讓習題更富有思維內涵與練習價值。

3.巧設陷阱

教師可以根據學生認知的片面性或思維缺陷在習題中設置陷阱，暴露學生的錯誤思維。教師巧設習題陷阱給學生挖一個“坑”，讓學生落入“坑”后通過自我“解救”（探究），從“坑”中爬出來。學生一方面，吃一塹長一智，另一方面，提升學生的分析問題能力、邏輯推理能力以及思辨能力。

例如，“拼一拼”因為邊重疊，圖形周長變短了。筆者再次將此題進行改編：如果在一個長方形上剪去1個小正方形，周長會怎么樣呢？學生在原有知識基礎上遷移方法，誤認為：剪一剪，邊被剪掉了，周長也就變短了。接著，學生通過自我探究得出正確的結論：在一個長方形上剪去1個小正方形，周長可能不變、可能變長，但不會減少。

沒有解構就沒有希望，沒有重構就沒有創新。有創新的習題才具備一定的知識內涵、思維含量，才能引發學生深度學習，進而鞏固新知，達成教學目標。

作者簡介：沈建芳（1975— ），浙江杭州人，大學本科學歷，高級教師，研究方向：數學教學研究，教育管理。

（責編 劉小瑗）