橫看成嶺側成峰 遠近高低各不同
——一道2019年南通市中考試題解法賞析

(江蘇省南通市通州區教師發展中心 226300)

數學解題方法中有一種常見方法稱為構造法，是指當解決某些數學問題使用通常方法按照定向思維難以解決時，根據條件和結論的特征，從新的角度用新的觀點去觀察、分析、理解對象，牢牢抓住條件與結論之間的內在聯系，運用問題的數據、外形、坐標等特征，以題中的已知條件為原材料，以已知數學關系式或定理為工具，在題中構造出滿足條件或結論的數學對象，從而使原問題中隱含的關系和性質在新構造的數學對象中清晰地呈現出來，進而借助該數學對象方便快捷地解決問題.這種方法的解題過程中思維的創造性活動的特點是“構造”，即為了解決某個數學問題，我們通過聯想和化歸，人為地構造基本圖形、方程、函數模型等以幫助解決原來的問題.本文以一道2019年南通市中考題為例，介紹有關構造思想的應用，以饗讀者.

1 回首但看年來事——原題再現

試題(2019年南通市中考試題)如圖1，矩形ABCD中，AB=2，AD=4．點E，F分別在AD，BC上，點A與點C關于EF所在的直線對稱，P是邊DC上的一動點．

圖1

(1)連結AF，CE，求證四邊形AFCE是菱形；

(3)連結BP交EF于點M，當∠EMP=45°時，求CP的長．

2 青山嫵媚景不同——試題分析

本題(1)(2)兩問是常見問題，考查學生有關直線型基礎知識，命題難度屬于要求中的容易題范疇，此處不作贅述．第(3)問屬于命題難度要求中的難題范疇，命題從學生最熟悉的45°角出發，給學生足夠的思路和方法選擇余地，意在讓學生依據最熟悉的條件展開合理的聯想，探求解題的思路，最大限度地考查學生綜合運用聯想、推理、優選等方法解決數學問題的能力，以實現思維上的“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”.筆者參加了本題的閱卷工作，發現第(3)題的解答方法較多，正如唐朝一位叫樂休的禪師曾經作過的一首詩：“幾見春來幾見冬，又值歲慶轉運中.回首但看年來事，青山嫵媚景不同.”

3 微微風簇浪，散作滿河星——解法欣賞

3.1 水底日為天上日——構造全等三角形

圖2

圖3

點評看到45°角，聯想等腰直角三角形，但圖形中沒有現成的等腰直角三角形.于是，嘗試構造等腰直角三角形，再依托兩條相等的直角邊添加水平線和鉛垂線，構造“K字型”全等三角形，化歸思想蘊含其中.傳說宋代大臣寇準和楊大連合作過這樣一幅對聯：“水底日為天上日，眼前人為面前人.”“水底日為天上日”是平面鏡成像現象，在數學上這不就是“全等形”的意境嗎！

3.2 眼前人為面前人——構造相似三角形

圖4

點評由一個45°角，再添加一個45°角，聯想構造一對“母子型相似三角形”.從數學視角看，寇準和楊大連的對聯下聯“眼前人為面前人”是凸透鏡成像，在數學上具有“相似形”的意境.

3.3 寄言榮枯者，反復殊未已——構造兩對相似三角形

圖5

圖6

點評方法4首先通過PC∥AB發現 △ABQ∽△CPQ，同時又發現在△ABQ中，∠AQB，∠BAQ和AB邊都確定，即“角角邊”確定，所以△ABQ一定可解，從而作高BH，再構建△ABH∽△ACB，實現問題的解決.方法5構建△PNC∽△CBA，△ABQ∽△CQP，實現問題解決.方法4和方法5都是通過兩次相似尋找解決問題的途徑，正如白居易《讀史五首》所言：“寄言榮枯者，反復殊未已.”

3.4 玉人何處教吹簫——構造方程、函數

圖7

圖8

點評方法6通過構造方程、方法7通過建立直角坐標系，得到直線方程，構造方程組，實現問題解決.唐朝杜牧《寄揚州韓綽判官》：“青山隱隱水迢迢，秋盡江南草未凋.二十四橋明月夜，玉人何處教吹簫？”杜牧在明月夜中聞簫聲從二十四橋傳至，卻不知玉人在何處教吹簫而發問，恰似數學中給出方程式而未解.因此，在數學上寓為“解方程”.

3.5 會當凌絕頂， 一覽眾山小——構造兩角和的正切

圖9 圖10

點評這里巧妙作圖，構造出兩角和的正切公式，毫無突兀之感.在數學解題中，只有掌握了正確的數學思想、解題策略、思維方法，全面、客觀、正確地觀察問題并認識問題且達到一定高度，才能透過數學問題的現象看到本質，而不會被事物的假象迷惑.登山，就是要沖上頂峰，只有當你站在頂峰時才會真切地感受到“會當凌絕頂，一覽眾山小”的意境之美．聯想到解數學題也是如此，只有當你達到運用“數學思想方法”“數學解題策略”達到登峰造極的境界時，你才能真正領悟到什么叫“會當凌絕頂，一覽眾山小”.

最高的詩是數學，最高的數學和最高的詩一樣，充滿了想像，充滿了智慧，也充滿了靈感與激情，更充滿了創新與挑戰.數學教學的魅力不僅在于一個個天衣無縫、無法推翻的性質、公式、定理、推理,還在于數學與文學、哲學、美學的完美融合.“昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路”——讓學生經歷過才能體會到解決數學難題的艱辛.“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處”——難題成功解決后才能品嘗到什么是解數學題的喜悅.我們要讓學生在數學解題中涌動詩的靈性，洋溢詩的浪漫，彌漫詩的芳香，勃發詩的激情，流淌詩的旋律，演繹詩的精彩.與詩共舞,讓數學課堂飄溢人文詩香,是促進學生深度學習、提升學生品性和修養的有效途徑.讓我們的數學課堂與經典同行、與圣賢為友、與詩歌共舞,教師要成為這樣的“點燈人”，正如清代查慎行的《舟夜書所見》描述的那樣，“月黑見漁燈，孤光一點螢.微微風簇浪，散作滿河星.”