從一題多解到多題一解
——以一類翻折求空間兩直線夾角范圍問題為例

(浙江省杭州外國語學校 310023)

劉 煒 (浙江特殊教育職業學院 310023)

最新版的高中數學新課標中要求教師在教學中要提升學生的數學學科核心素養，即引導學生能從數學的角度看問題,培養學生有條理地進行理性思維、嚴密求證、邏輯推理和清晰準確地表達的意識與能力，強調高中數學課程要以學生發展為本，落實立德樹人的根本任務，培養和提高學生的數學核心素養.在數學教學中，“一題多解”是教師常用的方法，通過多角度、多層次地對一道題目進行分析，使學生將數學新舊知識融會貫通，對提高學生觀察問題、分析問題、解決問題的能力同樣起著重要作用. 但是筆者發現，在實際教學中有的教師純粹為了一題多解而多解，多解的目的還只是單純為了這道題目能夠解決，沒有實現從關注知識本身到關注學生的思維方式轉變，讓人有“只見樹木不見森林”之感.本文以一類翻折求空間兩直線夾角范圍問題為例，談談如何站在更高的角度實現從一題多解到多題一解，從而提高學生的數學素養，達到學科育人的目的.

圖1

說明 沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，在這個過程中，二面角D′-CA-B的平面角是一個變量，可以尋求直線AC與BD′所成角的余弦值與這個二面角平面角之間的關系，因此需要先作出二面角D′-CA-B的平面角.

許多學生會無從下手，不知道如何尋找直線與直線所成角的余弦的最大值.事實上本題也可建立空間直角坐標系，利用空間向量來解決.

圖2

解法2取線段AC的中點O，以OB所在直線為x軸，以OA所在直線為x軸，以平面ABCD的垂線為z軸，建立如圖2所示的空間直角坐標系.

例1雖然是用兩種解法解決了，屬于一題多解，但是還沒有從本質上弄清這道題目的本質.事實上，作DO⊥AC,沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，形成了一個以圓O為底，分別以AD，CD為母線的兩個圓錐，其中點D′在圓O上運動.作BE∥AC,則直線AC與BD′所成角也就是直線BE與BD′所成角,即是∠D′BE．當點D′在圓O上運動到點N時，直線BE與BD′所成角最小，此時的余弦值最大,此時所成角是∠NBE.問題就轉化成了求圓錐旋轉軸與動直線所成角的問題.接下來，我們就一起看這一類可以轉化為與圓錐有關的動直線夾角的問題.

1 圓錐旋轉軸與動直線所成角

先在上面分析的基礎上，求解例1.

圖3

解法3作OF⊥BE，觀察圖象知平面ABEC為圓錐的一個軸截面，點A，B，F，E，C，O，M，N，D都在這個軸截面上．

根據辯證唯物論的基本要求，客觀分析我國現階段農業生產的重要資源條件和現實需求，發現水資源條件、種植資源條件、勞動力資源條件與現有的水資源開發利用方式和經濟發展方式已經越來越不相適應，現實的灌溉物質條件和發展需求已經悄然發生了改變，這些先天的物質條件或者改變了的物質條件從來沒有像現在這樣嚴重影響著農業生產的發展，進而也極大地影響著灌溉方式的選擇，只有客觀認識這些影響灌溉的重要物質條件，并以此為基礎自覺能動地選擇適宜的灌溉方式，才能實現科學的、可持續的發展方式。

2 圓錐母線間所成角

A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直

B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直

C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直

D．對任意位置，三對直線“AC與BD”“AB與CD”“AD與BC”均不垂直

圖4

解在矩形ABCD中，作AO⊥BD于點O，將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折的過程中，形成了兩個同底的圓錐，BA，DA分別為兩個圓錐的母線，圓錐的底面為以AO為半徑的圓.

當點A在圓O的圓周上運動時，記為點A1．由BA∥CD,知異面直線A1B與直線CD所成的角即是直線A1B與直線AB所成的角.由圓錐的性質知，當A1點運動到E點時，A1B與直線AB所成的角達到最大.

圖5

同理，由BC∥AD，知異面直線A1D與直線BC所成的角即是直線A1D與直線AD所成的角.由圓錐的性質知，當A1點運動到E點時，A1D與直線AD所成的角達到最大.

圖6

例3如圖6，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=θ，M為AB的中點．將△ACM沿著CM翻折至△A′CM，使得A′M⊥MB，則θ的取值可能為__________．(填上所有正確結論的序號)

解如圖7,作AO⊥CM交CM的延長線于點O，將△ACM沿著CM翻折至△A′CM，AM繞MO旋轉，形成一個圓錐的側面，MA為圓錐的母線，圓錐的底面為以AO為半徑的圓.

圖7

3 圓錐母線與底面圓半徑所成角

例4如圖8，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，線段AD,BD的中點分別為E,F.現將△ABD沿對角線BD翻折，求異面直線BE與CF所成角的取值范圍.

圖8 圖9

本題的解法非常多，很好地考查了空間線線角的求法.可以采用特殊值法，找兩個極端情形，也可以利用余弦定理來做.此外，還可以采用向量基底思想，或者建立坐標系，用向量的坐標計算來解決等.

4 圓錐母線與圓錐截面所成角

本題學生的出錯率非常高，究其原因是學生對圖形的結構不清晰.實際上,當一條直線與一個平面的斜線所成角為定值時，直線與平面的交點軌跡是一個橢圓.在這個動態變化過程中，若學生能發現這個規律，則問題的解答會變得比較簡單.