激活思維 創新思考 追求高效
——例談高考數學選擇題和填空題速解策略

(江蘇省邳州市第二中學 221300)

縱觀近年高考數學選擇題和填空題，一個明顯的特征是在重視考查“雙基”的同時，能夠把多樣的數學思想方法置于平凡、簡潔的數學問題之中，絕大多數題目都可以用通性通法直接求解，但也有許多題目需要激活思維、創新思考，挖掘其特殊內涵，才能夠又快又準地得到答案，從而為后續的答題贏得寶貴時間．本文以全國各地高考數學試卷中比較典型的選擇題和填空題為例，談談這兩大題型的速解策略．

1 特殊化思維策略

一般性寓于特殊性之中，特殊問題又往往比一般性的問題簡單易解.因此，我們面對一個抽象或復雜的數學問題時，不妨先考慮其特例，這就是數學中常說的特殊化思維策略．“特殊化思維”是高考數學選擇題、填空題的一種常用解題策略，其實質是把一般情形轉化為特殊情形，把抽象問題轉化為具體問題，把復雜問題轉化為簡單問題，實現快速、準確求解的目的．用特殊化思維策略解高考數學選擇題和填空題有如下幾種常用的方法.

1.1 取特殊數值

例1(2007·江蘇卷)若對于任意的實數x，有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3，則a2的值為( )．

A．3 B．6 C．9 D．12

分析 可對實數x取四個具體數值，代入已知等式中得到方程組，即可求出a2的值；也可以先對等式兩邊求導，減少參數，再對x取特殊值求出a2．

解法1當x分別取2,1,0,-1時，得a0=8，a1-a2+a3=7，a1-2a2+4a3=4，a1-3a2+9a3=3．從而解得a2=6，選B．

解法2等式兩端對x求導，得3x2=a1+2a2(x- 2) + 3a3(x- 2)2．再一次求導，得6x=2a2+6a3(x-2)．令x= 2，得2a2= 12，a2= 6，選B．

點評求導數、取特值、建方程是解本題比較簡捷的方法．本題也可以將等式右邊展開整理，然后對照等式兩邊的系數得到方程組求解，這是解本題的一般性思路，但此思路運算較繁瑣．

1.2 選特殊函數

例2(2007·江西卷)設函數f(x)是R上以5為周期的可導偶函數，則曲線y=f(x)在x=5處的切線的斜率為( )．

分析 已知的是一個抽象函數，若直接計算比較復雜、思維量較大，我們可以選擇一個滿足題設的具體函數，然后根據導數的幾何意義來求解．

點評本題考查函數的基本性質、求導運算和導數的幾何意義．通過一個符合題設的特殊函數，使問題變得簡單、具體，容易求解．

1.3 用特殊方程

分析 如果按照已知直接運算，由于含有參數，所以會很麻煩.不妨取一個具體的雙曲線(特例)來解決．

點評本題主要考查雙曲線和拋物線的定義，以及能利用相關的幾何知識解決問題的能力．

1.4 設特殊數列

A．2 B．3 C．4 D．5

分析 根據已知的比例式，我們可以選定滿足比例式的特殊例子來研究問題．

點評本題主要考查等差數列的定義和有關性質，掌握通項與前n項之間的關系是解題的關鍵．

1.5 作特殊圖形

分析 最后一個條件告訴我們線段垂直的關系，再由前面兩個條件(線段長度關系)，我們很容易作出符合條件的特殊圖形，通過這個特殊圖形進行計算就很簡單了．

點評本題通過已知條件也能夠推出圖形應該是我們所作的特殊圖形，但是推導很麻煩，而作特殊圖形的方法能很輕松地計算出結果，體現了特殊化這一思想方法的特有功效．

1.6 尋特殊點

圖3

分析 顯然本題中無論頂點B在橢圓的什么位置，只要與A,C構成三角形，那么所求式子的值一定為定值．因此可以對動點B取一個特殊位置(如取橢圓與y軸交點)來計算．

點評利用動點B的一個特殊位置使問題易于思考，過程簡捷，運算量小．本題如果用常規方法求解，需要利用正弦定理將比值化成三角形邊長的比，再利用橢圓的定義、性質求出結果，這種方法思路復雜、運算量大．

1.7 找極端位置

例7(2007·浙江卷)設m為實數，若{(x,y)|x-2y+5≥0,3-x≥0,mx+y≥0}?{(x,y)|x2+y2≤25，則m的取值范圍是__________．

圖4

分析 如圖4，已知的區域是圓x2+y2=25內一個動態三角形，這個三角形區域的范圍是由動直線mx+y=0決定的.因此我們可以找出這條動直線運動變化的兩個極端位置，求出對應的m值，即可寫得其取值范圍．

點評通過圖形找出動直線運動的極端位置，求出動直線到達極端位置(或趨近極端位置)時參變量的值，從而寫出參變量的取值范圍．極端位置法是探求參變量取值范圍常用的一種快捷方法．

2 數形結合策略

“數缺形時少直觀，形缺數時難入微．”以形助數，給抽象的問題以形象化的原型，從而給人們以形象思維的啟示；反過來，以數助形，則給直觀問題以數理推證和精確刻劃．數形結合思想實際上就是把代數式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述有機地結合起來，相互轉化，實現形象思維和抽象思維的優勢互補．一方面，借助于圖形的性質使許多抽象概念和關系直觀而形象，以利于探索解題途徑；另一方面，幾何問題代數化，通過數理推證、數量刻劃，獲得一般化結論．

2.1 以形助數

例8(2007·山東卷)與直線x+y-2=0和曲線x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半徑最小的圓的標準方程是__________．

分析 根據題意，我們可以作出直線和圓的圖形.觀察圖形可知，直線與圓都關于直線y=x對稱，于是不難得出直線y=x與直線和圓的兩個交點構成的線段長就是所求圓的直徑．

圖5

點評根據已知條件作出圖形，能夠很直觀地看出未知與已知之間的關系，減少了思維障礙．

2.2 以數輔形

例9(2007·全國卷Ⅰ)一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側棱上．已知正三棱柱的底面邊長為2，則該三角形的斜邊長為__________．

分析題設是一個動三角形，增加了求解的困難，如果用傳統的立體幾何方法求解，難度很大，需要有較強的空間想象能力和運算能力．我們可以建立坐標系，設出某些點的坐標，運用圖形中的幾何關系和向量之間的聯系，將幾何問題轉化為代數問題加以解決，既簡單又快捷．

圖6

點評對幾何中的問題，通過建立空間直角坐標系，把幾何關系轉化為數的運算，通過數的運算來解決幾何問題．這種把幾何問題代數化去解決的數形結合思維策略是“以數輔形”的經典范例．

2.3 作出圖象

例12(2007·江蘇卷)設函數f(x)定義在實數集上，它的圖象關于直線x=1對稱，且當x≥1時，f(x)=3x-1，則有( )．

圖7

分析 根據已知條件作出函數的大致圖象，再根據圖象的特征作出判斷．

解將函數y=3x(x≥1)的圖象向下平移1個單位得函數f(x)=3x-1(x≥1)的圖象，再根據圖象關于x=1對稱，即可畫出函數f(x)的全部圖象(圖7)．從圖象中容易看出，應選B．

點評從已知條件出發作出函數圖象草圖，觀察比較縱坐標，使問題輕松地獲得解決，體現了圖象的妙用和“以形助數”的強大威力．