例談高考拋物線解答題的解題方法與策略

(江蘇省錫山高級中學 214174)

縱觀近年來高考解析幾何解答題考查的內容，不難發現，全國卷橢圓與拋物線交替考查，而江蘇卷(文、理合卷)一直考查橢圓(偶爾考查圓)，已形成定勢．從2021年起江蘇高考數學將參加全國統一命題考試,不再單獨命題．這就意味著江蘇高考數學解析幾何解答題一直連續考查橢圓的定勢將結束．從2021年起參加高考的考生，對于解析幾何解答題，不能再單一青睞橢圓，應將拋物線與橢圓并重．本文以近五年高考題為例，分類例析高考解析幾何解答題對拋物線的考查，揭示解題方法與策略，供大家在教學中參考．

1 近五年來全國卷及江蘇卷解析幾何解答題考查內容的統計與分析

1.1 近五年來全國卷及江蘇卷解析幾何解答題考查內容的統計

20152016201720182019全國卷Ⅰ拋物線圓與橢圓文:拋物線理:橢圓橢圓拋物線全國卷Ⅱ橢圓橢圓拋物線橢圓拋物線全國卷Ⅲ—拋物線拋物線橢圓拋物線江蘇卷橢圓圓橢圓橢圓橢圓

1.2 近五年來全國卷及江蘇卷解析幾何解答題考查內容的分析

從統計情況看，近五年來全國六種(實際可算三種)試卷考查橢圓7次、拋物線8次，呈現拋物線與橢圓交替考查的態勢．如2018年，三種試卷全考橢圓，2019年全考拋物線．江蘇卷(文理合卷)五年中，一次考查圓，其余全是考查橢圓．

2 解析幾何解答題考查拋物線內容的分類例析

近五年來全國卷考查拋物線的試題主要考查拋物線的定義、幾何性質、直線與拋物線的位置關系的綜合應用．試題考查的問題主要有以下幾個方面：弦長問題、定點與面積問題、最值或參數范圍問題、軌跡問題、探索性問題、拋物線與圓的綜合問題．下面以近年高考試題為例，分類例析解答拋物線問題的常用方法與策略．

2.1 弦長問題

(1)若AF+BF=4，求l的方程；

評注本題考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的綜合應用．涉及平面向量、弦長的求解方法．解題策略是將已知條件轉化為坐標關系，聯立方程組，利用根與系數的關系構造等量關系． 拋物線焦點弦的問題常常可利用拋物線的定義．

2.2 定點與面積問題

(1)證明：直線AB過定點；

2.3 最值或范圍問題

圖1

例3(2019浙江卷)如圖1，已知點F(1,0)為拋物線y2=2px(p>0)的焦點，過F的直線交拋物線于A,B兩點，點C在拋物線上，使得△ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q，且Q在點F的右側．記△AFG, △CQG的面積分別為S1,S2．

(1)求p的值及拋物線的準線方程；

2.4 軌跡與證明問題

例4(2016全國卷Ⅲ)已知拋物線C:y2=2x的焦點為點F，平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點，交C的準線于P,Q兩點．

(1)若點F在線段AB上，R是PQ的中點，證明AR∥FQ；

(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程．

評注本題主要考查拋物線的幾何性質、兩條直線的位置關系等基礎知識，同時考查邏輯推理能力和運算能力．解答證明問題的一般策略是用代數的方法證明幾何量之間的關系；軌跡問題常用直接法，即建系、設點、列式、化簡、驗證．如本題第(2)問，求軌跡中要驗證AB與x軸垂直時的情況，完善軌跡方程．

2.5 探索性問題

(1)當k=0時，分別求拋物線C在點M和N處的切線方程；

(2)y軸上是否存在點P，使得當k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由．

(2)存在符合題意的點，證明如下.

評注本題主要考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的位置關系及邏輯推理能力．探索性問題一般分為探究條件、探究結論兩種．若探究條件，則可先假設條件成立，再驗證結論是否成立，成立即存在，否則不存在；若探究結論，則應先求出結論的表達式，再針對其表達式進行討論，往往涉及對參數的討論．第(2)題是探究條件問題，其解題策略是先假設點P存在，求出點P(0,-a)，再驗證結論成立，從而肯定點P存在．

2.6 拋物線與圓的綜合

例6(2018全國卷Ⅱ)設拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點，AB=8．

(1)求l的方程；

(2)求過點A,B且與拋物線C的準線相切的圓的方程．

因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144．

評注本題主要考查拋物線的幾何性質、直線與圓的方程及邏輯推理能力、數學運算能力．涉及焦點弦長的問題常可用拋物線的定義轉化為坐標關系(焦半徑)，求曲線方程常用待定系數法．對于圓的問題要注意圓的幾何性質的運用，如半徑、弦心距，半弦長構成直角三角形．

高考解析幾何解答題，無論是考橢圓還是考拋物線，其考查的實質都是利用曲線的方程研究曲線的幾何性質，即用代數的方法解決幾何圖形的問題．用代數的方法研究幾何圖形的性質是解析幾何的基本思想方法，因此在解析幾何教學中要始終圍繞這一基本思想方法組織教學.