能力與素養下高三微專題復習教學策略
——以正切為背景的三角形中最值問題為例*

(江蘇省如皋中學 226500)

1 背景

1.1 高三二輪復習的現狀

經過高三一輪復習，學生已經掌握了基本知識與基本方法，建構了知識網絡與方法體系．在二輪復習時，不少學生認為只要多做題，讓自己見多識廣、熟能生巧就夠了，從而每天陷入題海，機械地模仿和復制，做了大量的重復勞動，其結果是遇到問題仍然不會思考，不善于探究解決問題的思路，分析問題和解決問題的能力未能得到提高，二輪復習收效甚微．

另一方面，教師主導下的二輪復習往往是題量多、方法多，表面看課堂容量大，但事實上是忽視了學生數學思維的訓練，熱熱鬧鬧的課堂上常常是幾個優等生的“表演”或是教師的“獨角戲”．

1.2 新課程背景下高考的特點

在新課程背景下，高中數學突出了對學生數學核心素養和數學能力的考查．高考命題依據普通高中數學課程標準，考查中學數學的基礎知識和方法，考查學生依據基礎知識、基本技能分析和解決問題的能力，考查數學本質，真正選拔出會學習、理解數學的學生．

1.3 筆者的觀點

(1)高三二輪復習選擇適當的微專題進行復習，突出目的性和針對性

微專題選擇的特點：切口小、思路寬、占用課時少．選題時可以從教材出發，通過一道題，由基本知識、基本方法逐步深入，挖掘數學本質，探究思想方法，引申出一類題；可以從學生解題過程中的典型錯誤入手，通過典型問題的解決來探究數學的思路；可以從高考的重點和難點知識板塊入手．

(2)教師的教學方式

重在引導、提煉，教師不再是課堂上的主角．課堂上教師通過引導，讓學生自己揭開問題的面紗，讓學生由“獲取”轉化為“建構”，“感性”上升為“理性”，使學生領悟數學思想與方法，形成數學思維品質與數學能力．

(3)學生的學習方式

重在自己探索、發現和歸納總結．學生自己經歷特定的數學活動，即動耳傾聽、動眼觀察、動手操作、動口交流、動腦思考，掌握了數學的本質后自己能編寫題目，提出問題、分析并解決問題．

本文通過高三微專題案例“以正切為背景的三角形中的最值問題”來具體闡述筆者的觀點．

2 教學片斷

引例在斜△ABC中，求證：tanA+ tanB+ tanC=tanAtanBtanC．

2.1 解決問題—提出問題—解決問題

設計意圖以教材的習題為引例，讓學生感覺親切，增強學生的學習積極性．求解過程利用三角形中內角和為π的等量關系和兩角和的正切公式探求得tanA,tanB,tanC三者的等量關系式，并且要求學生進一步熟悉三角形中三個角的正切關系式．

師：在銳角△ABC中，已知sinC=4 cosA·cosB，請將此條件轉化為三角形內角的正切關系，并求tanAtanB的最大值．

設計意圖鞏固三角形內角的正弦、余弦轉化為角的正切的基本思路，回顧二元最值問題的求解基本方法，提醒學生在解題過程中要關注細節(銳角三角形)，注意求最值時等號成立的條件．

師：能否探求與tanA, tanB, tanC三者相關的表達式的最值問題？

生3：求tanA+tanB+tanC的最小值．

(請學生探索求解思路,不具體求解)

設計意圖讓學生明確求三角形內角A,B,C的正切表達式的最值的基本思路是消元：一是轉化為一元函數求最值(利用函數單調性)；二是轉化為二元問題，通過基本不等式求最值．

師：三角形中，除了研究角的正切值，還可以研究角的正弦和余弦值，試求sin2A+sin2B的最大值．

圖1

師：剛才的已知條件都是用數表示的，那么從形入手，該如何轉化呢？如圖1，在銳角△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，且AD:DB=3:1，求(1)tanA+tanB+tanC的最小值；(2)sin2A+sin2B的最大值．

設計說明一是讓學生自主探究發現，已知條件可以轉化為3tanA=tanB，上述問題同樣轉化為一個內角的正切函數求最值問題.二是呈現解決問題的兩種常用思路，從數切入，利用三角形中的邊角等量關系轉化為正切的表達式；從形切入，利用直角三角形中的邊角等量關系，轉化為三角形中角的正切關系式．

師：在三角形中研究的對象除了角的函數值，還有哪些值得研究的量？

生6：三角形的邊、周長、面積等．

師：在△ABC中，已知tanB=3tanA，則三角形的面積有沒有最值？

(學生自主探究)

生7：沒有最值．因為僅僅有角的關系式，三角形之間是相似關系，只能確定三角形的形狀，不能確定三角形的邊、面積、周長等的大?。?/p>

師：非常好！那么能否再增加條件，探尋三角形的面積的最值呢？

生8：確定一條邊．例如，在△ABC中，已知tanB=3tanA，且b=1，求三角形面積的最值．

(學生自主研究，總結學生的思路)

圖2 圖3

設計說明一是將三角形內角的正切關系式等價轉化為邊的關系式有三種常用策略：策略一,化切為弦(邊角關系的轉化)；策略二，構造直角三角形(化斜為直)；策略三，建系(斜率，點的軌跡).二是求目標表達式的最值問題一般有下列常用的三種方法：策略一，減元，消元轉化為一元 函數的最值(利用函數的單調性)；策略二，整體 代換，二元問題結合基本不等式；策略三，數形結合，探尋已知條件的軌跡和目標的幾何意義求最值．

師：在△ABC中，已知tanB=3tanA，三角形面積沒有最值．剛剛增加的條件是b=1，能否選擇增加另外的邊長，求三角形面積的最值？

師：非常好！在△ABC中，已知tanB=3tanA，且b=1，則三角形面積的存在最大值．在此條件下，三角形的周長是否存在最大值呢？

設計說明告訴學生此處只作定性研究，不展開具體的解題過程，突出求二元最值的方法即三角換元、消元判別式法等，求最值要檢驗等號能否取到．三角形中的邊與角的互化有多種途徑：從形入手構造直角三角形；從數入手，利用正弦、余弦定理；從建立坐標系入手，求出動點的軌跡和目標的幾何意義．

2.2 條件和目標的“化妝”

師：剛剛研究的問題題設條件非常直白．在△ABC中，已知tanB=3tanA，你能否換一個角度，將已知條件“化個妝”，即換一種形式表示？

生16：“tanB=3tanA”轉化為“2a2+c2=2b2”．

生17：“tanB=3tanA”轉化為“2sin2A+sin2C=2sin2B”．

生18：將“tanB=3tanA”轉化為“在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，AD∶DB=3∶1”．

師：這些都是剛剛研究的結果．可否再利用正弦、余弦定理將題設條件“化個濃妝”？

生19：利用a2=b2+c2-2bc·cosA，代入 2a2+c2=2b2，得3c=4b·cosA．

師：夠“濃”啊！

生20：從sinBcosA=3sinAcosB入手， 得sinBcosA+ sinAcosB= 3sinAcosB+sinA· cosB，則sinC=4sinAcosB，或者c=4a·cosB．

(學生自主探究)

2.3 自主編題

師：剛才研究的方法是將已知和目標換一種表示，可以組合成若干個問題，還可以將已知與目標互換等編出更多的新題(相對于學生而言)．

(2)在△ABC中，a2+2abcosC=3b2，則tanAtanBtanC的最小值為__________．

師：“濃妝淡抹總相宜”，不管條件“長成”什么樣，有了這一節課的學習，在茫茫題海中總能一眼讀懂你！這就是數學的魅力所在！

設計說明本堂課由課本一道習題，通過拓展引申為一類題，即已知三角形角的函數值與邊的關系，確定三角形的形狀，求角的函數值，求邊長、面積和周長的取值范圍等．所有問題的求解都歸結到正弦、余弦定理及兩角和與差的正切公式，通過對研究問題的思路和方法的總結歸納，提升了學生分析問題、解決問題和提出問題的能力，增強了學生發展數學素養的意識．

3 教學思考

3.1 高三微專題復習教學設計的關鍵要素

(1)教學設計的目的

“高三微專題”是指圍繞高三復習中的重點、難點、易錯點、弱點和題型類型而精心設計的、以鞏固具備相關性的基礎知識與基本思想方法為目的的一類專項研究，這是一類能夠在1—2節課(每一節課45分鐘)內專門解決問題的小專題．它能促進學生深度學習，易于讓學生從根本上認識學科的本源，通過這些微專題的復習進一步提升學生解決問題的能力，發展學生的核心素養．

(2)教學設計的幾種類型

設計依據：一是圍繞教材的主干內容、重點和難點、易錯點等；二是學生學習中的重點及熱點問題；三是高考試題各類型題的特征；四是常用解題方法和數學思想方法等．

(3)教學設計的基石：知識與方法框圖

本節課的學習讓學生通過對關鍵詞的解讀和問題的解決，理解相應的知識與方法結構，建構知識網絡，掌握基本方法，并能在知識交匯處進行綜合提升．本節課的基礎知識和基本思想方法框圖如圖4所示．

圖4

3.2 高三微專題復習中數學核心素養的培養與落實

核心素養的培養與落實體現在教師的教與學生的學這兩個重要環節．

·教師的教

教師要藏慧裝愚，引導與追問同上陣．

(1)教師要能從一節節數學課的教學中跳出來，整體把握數學課程，突出課程中的教學主線．數學課程目標要求教學中關注數學的學習方式，關注數學核心素養的六要素，通過觀察、實踐、思考、推理、互動等數學活動，引導學生動手實踐、自主探索、合作交流，從不同角度解決問題、感悟解決問題的策略與方法．教學中要突出在活動中思考，感受知識的價值，領會知識的本質，體驗基本方法的應用．

(2)課堂教學中自始至終創設機會讓學生深度思考．本堂課僅直接給出了一個引例，其他的環節中，如研究問題的思路、解決問題的方法及總結提煉等，教師都是旁觀者，所有機會都給了學生，讓學生獨立思考，再交流互動、質疑，再展示．教師通過追問暴露學生的思維過程，每當一個活動或一個問題的解決后，教師只是提醒學生“哪個條件暗示你這樣想？”“你為什么這樣想？”“是聯想到哪個問題或結論暗示你這樣想？”“還有別的解法嗎？”“解決這一問題最容易想到的方法是哪一種？”“運算是否還可以再優化？”等等．

(3)課堂注重提高學生選擇思維能力和發展學生提出問題素養．傳統教學對于提高學生解決問題的能力已經達到一定的高度，忽視的是學生自主發現問題能力的提升．本堂課通過將已知條件和目標的“化妝”，探索研究問題的產生過程，揭示解決問題的方法的形成過程，讓學生明白問題的源頭和產生的過程，培養學生的提出問題、發現問題的能力，發展學生數學抽象的素養；通過一題多解、多題一解及各種求解方法優化的過程，發展學生數學選擇思維能力．

·學生的學

學生手腦并用，能力與素養共提升．

(1)學生是發展數學核心素養的主體．在課堂上通過各項活動，讓學生自主探究、展示、點評、完善，再發現問題、提出新問題等．學生經歷解決問題—提出問題—再提出問題—建構思路—解決問題的過程，在初步感覺、體驗感知、思考感悟的過程中，學生的直觀想象、數學運算和數據分析等素養得到真正發展．

(2)自主探究是發展學生數學素養的關鍵手段．本節課從已知條件、所求目標入手，探索研究問題的方法，探尋問題的本質．如解決了只有三個角度的正切值有關問題后并沒有直接拋出新問題，而是引導學生探究三角形的元素——角、邊、周長、面積等，增加哪些元素、探索哪些元素的問題，從數的角度，轉化為邊和角的正切值解決，從形的角度，轉化為軌跡和曲線的問題來解決．最后，用本節課的研究方法去探尋以正切為背景的三角形中的最值問題，進一步拓展為其他背景下的三角形、多邊形的最值問題．