適度開放 發展素養
——以“直線與圓”專題復習課為例

(江蘇省揚州市江都區教育局教研室 225200)

1 問題提出

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱“新課標”)提出：通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗(以下簡稱“四基”)；提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(以下簡稱“四能”)．在學習數學和應用數學的過程中，學生能發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養．[1]鑒于此，近年來“核心素養”已成為教育界關注的熱點．核心素養是一種內在的修為，它是數學知識、方法、能力經過長期的積淀，最終內化于人的言行中．作為一名教研人員，最感興趣的是如何在教學中改變我們的教學行為才能朝著培養核心素養的方向穩步前進，不偏離、不動搖．筆者在參加高三教學視導中聽了一節高三一輪“直線與圓”專題復習課，課堂開放度較高，學生自主探究、討論、思考、操作空間充分.通過適度開放式教學，一方面幫助學生梳理了“四基”，另一方面激發了學生的學習興趣，在潛移默化中提升了學生的“四能”并發展了素養．現將該課的實踐與思考分享給同行．

2 基本情況

授課對象揚州市江都區大橋高級中學高三物生班(借班上課)，學生基礎中等．

教學目標

(1)掌握直線與圓的位置關系中的基本問題；(2)掌握一類在直線與圓中的定點、定值及范圍最值問題；(3)通過適度開放式教學，提升學生“四能”，發展學生素養．

教學重點掌握直線與圓中蘊含的“四基”及“三動三有”問題．

教學難點引導學生自主發現與提出問題，并能分析和解決問題．

3 教學過程

3.1 淺度開放

例題已知圓C：x2+(y-4)2=4和點P(2,1).

圖1

師：你能在以上條件下提出什么問題？小組內部可以相互討論．

(學生之間立即展開討論，氣氛較為熱烈)

生1：過點P的直線與圓C有幾種位置關系？

師：你認為有哪幾種？

生1：相交、相離、相切．

師：怎么得出來的？

生1：可以轉動過點P的直線，易知有三種位置關系．

師：這位同學是通過“形”直接得出的.我們一般通過什么方法去判斷直線與圓的位置關系？

生1：判斷d與r的大小關系，d>r時相離，d

師：很好！這是通過幾何方法判斷的.還有別的方法嗎？

(教師隨機點了另一名學生)

生2：將直線方程代入圓的方程中，消去一個變量后產生關于另一變量的一元二次方程，利用判別式加以判斷．

師：這就是一般的代數方法，體現了方程思想.我們還能夠提出什么問題呢？

(教師板書：直線與圓的位置關系的判斷方法有：(1)幾何法；(2)代數法——方程思想)

生3：過點P的直線與圓C相交時,可以求該直線的斜率范圍；若相交時弦長為定值的話，可以進一步求出直線方程．

生4：過點P的直線與圓C相切時可以求直線方程，并且相切時還可以求切線長．

(教師板書：(1)相交→弦長、斜率范圍； (2)相切→切線方程、切線長)

(教師巡視，分別在兩大組中隨機找了兩位學生的解法投影并做了點評)

師：解決直線與圓相交和相切問題時你認為最為關鍵的是什么量？

生5：最關鍵的是弦心距．

師：為什么？

生5：只要求出弦心距，就能構造關于斜率的方程，從而求出直線的斜率來．

(教師在黑板上板書：直線與圓相交、相切問題的關鍵量——弦心距)

點評通過以上的開放教學，學生主動積極回憶了平時做過的直線與圓的基本題型.學生自主發現、提出問題與自主分析、解決問題，一方面梳理了這部分的基礎知識、基本方法及思想，另一方面也初步提升了學生發現與提出問題的能力，這實際上就是簡單的數學建模能力．

3.2 中度開放

師：如果把點P放在直線x- 2y= 0上，并令其運動起來，你又能提出什么樣的問題？小組內部可以相互討論．

(學生之間立即展開討論，氣氛較為熱烈，停留時間較長)

圖2

生6：把點P和圓心C連結起來，隨著點P的運動PC也在動，可以求出PC的最小值．

生7：過點P的直線與圓C相切時，求切線長的最小值．

生8：過點P的直線與圓C相切時，設切點為A，B，可以求出四邊形CBPA面積的最值．

生9：在上述前提下還可以求出AB長度的范圍．

教師板書：

(1)點P動→PC動；

(2)點P動→PA動；

(3)點P動→四邊形CBPA面積動；

(4)點P動→AB動.

師：隨著點P的運動，還有什么量在變化？

生10：∠ACB也在變化，四邊形CBPA的周長也在變化．

師：很好！我們選擇其中的兩個問題來解決．請第1、3小組完成問題(3)，第2、4小組完成問題(4)．

圖3

(學生動手操作，教師巡視，分別在兩大組中找了兩位學生的解法進行了投影)

(投影的同時，教師請相應的學生到講臺前講解了自己的解法)

師：投影2與3利用了兩種不同的方法得出了AN的長度.投影3的解法中還可以解決我們剛才提出的什么問題？

生11：∠ACB的范圍．

師：很好！以上的展示中，面積、AB長度及角度的變化本質上是什么變化引起的？

生：點P運動后引起的CP長度的變化．

師：漂亮！我們發現點P運動后產生了很多的范圍及最值問題，即“動中有界”．

(教師板書：動中有界)

點評由定到動，通過學生的相互討論和探究，發現隨著點P的運動產生了很多的變量，如角度、長度、面積、周長等，有了變量就自然產生了最值和范圍問題．通過這樣的開放，讓學生感悟到平時做過的不少題型就是這般產生的．從中既讓學生體會到“自主命題”帶來的愉悅，又達到了梳理題型及方法的目的，更好地揭示這類問題的本質，最終發展了學生的數學建模、數學運算、直觀想象等核心素養．

3.3 深度開放

師：在上述問題中，隨著點P運動帶來很多量的變化，其中有沒有定的量呢？大家相互討論下．

(學生討論熱情高漲，停頓較長時間)

生12：直線AB恒過一個定點．

師：為什么？

生12：設點P(2t,t)，點C,B,P,A共圓，線段AB可以看成該圓和已知圓所產生的公共弦，兩圓方程相減得到直線AB的方程中含有參數t，直線AB恒過一個定點．

師：很好！還有其他定量嗎？

生13：點C，B，P，A共圓，該圓也恒過定點．

師：為什么？

生14：該圓方程為x(x-2t)+(y-4)(y-t)=0，整理該方程后不難發現其恒過定點．

(教師板書：(1)直線AB過定點；(2)四點共圓——過定點)

師：很棒！請大家解決以上兩個定點問題．

(學生操作，教師巡視，找出典型解法投影后再請相應學生自主講解，教師在關鍵處點評)

師：前面我們發現了“動中有界”，而上面的研究表明，動中還有什么？

生15：動中有定．

師：不錯！總結得很到位．

圖4

(教師板書：動中有定)

師：取AB的中點設為N，隨著點P的運動，點N的運動有何規律？

師：非常漂亮！通過上面的研究說明了動中還有什么？

生17：動中有軌跡．

師：簡稱“動中有跡”.宇宙間的很多運動變化是有軌跡的，如我國發射的第一顆人造地球衛星的運行軌道、地球的運行軌道等都是有規律的，它們運行的軌跡是什么？

生18：橢圓．

師：很好！既然點N的變化有一定規律，你還能提出什么新的問題嗎？大家可以相互討論．

生19：(1)求NP的最小值.

師：請第1、4兩組完成問題(1)，第2、3兩組完成問題(2)．

(學生動手操作，教師巡視，找出兩大組中的典型解法投影并請相應學生自主講解)

師：上面的兩個問題本質是一個問題，都是研究圓上的動點與直線上動點之間的距離最值問題，再次驗證了“動中有界”．

點評學生通過相互討論，探究發現“動中有定”“動中有跡”，進一步提出新的問題，再次驗證了“動中有界”．教師由該問題拓展到更廣闊的領域里研究天體的運動軌跡，即時滲透了適量的數學文化．讓學生自主提出、自主解決、自主講解，教師適當點評，教師充當了“導演”的角色，整個教學過程讓學生有足夠的自由思考權利和空間，有效地激發了學生的思維潛能，提高了學習興趣，增強了學習信心，充分凸顯了學生的主體地位．

鞏固提升在平面直角坐標系xOy中，已知點P(-1，0)，Q(2，1)，直線l：ax+by+c=0，其中實數a，b，c成等差數列，若點P在直線l上的射影為點H，求線段QH的取值范圍.

(停頓片刻，隨機請一位學生到黑板上板演，教師進行了點評)

師：世間的很多運動變化都有規律可循，我們如果能用數學的眼光去觀察、用數學的思維去思考、 用數學的語言去表述，就一定能發現其中的奧妙所在．

點評上題中直線l的運動體現了“動中有定”，點H的運動體現了“動中有跡”，線段QH的取值范圍體現了“動中有界”.通過以上問題的設置再次讓學生感悟到上述的“三動三有”，讓學生對這類問題的求解策略得到進一步的鞏固與提升，同時又從本節課的學習延伸到生活中的運動變化規律，啟示學生學習數學的終極目標．

4 教學反思

2017版新課標的課程目標指出：通過高中數學課程的學習，學生能提高學習數學的興趣，增強學好數學的自信心，養成良好的數學學習習慣，發展自主學習的能力；樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神；不斷提高實踐能力，提升創新意識；認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值．[1]本課是高三期中考前的一節專題復習課．學生已經有一定的知識和解題方法的儲備，在此基礎上設置了從一個“定”的開放過渡到一個“動”的開放，在“動”中探尋其變化規律；從“淺度開放”到“中度開放”最后到“深度開放”，整個過程層層遞進，思維逐步升級；從學生的自主提出問題、解決問題、講解問題和教師外延拓展等方面充分體現了以上課程目標．這節課的教學設置可謂精致、精彩、精當，作為復習課的模式可作一定的推廣．

開放式教學要能做到收放自如，就需要把握好一個度，否則很有可能成為天馬行空的課堂．這需要教師在預設問題時，要在學生已有的認知水平基礎上精準設置，讓預設和生成能在一定可控范圍內進行．試想，這節課如果學生沒有一定的知識和方法的儲備，就可能達不到預想的效果．當然，學生提出的問題大多是平時做過或見過的一些題型，很難提出更具挑戰性、創新的問題，這就需要教師把這種“適度開放”變成一種常態，滲透到日常教學中，從而潛移默化地提升學生的“四能”．教學中教師可以根據不同的生源，在合理的鋪墊基礎上進行“適度開放”，讓課堂出現更多即時的生成資源，如此方能讓課堂充滿更多的生機和智慧．