鋪設(shè)探究之路 彰顯育人之道
——“完全平方公式”教學(xué)實錄與反思*

(江蘇省宿遷市實驗學(xué)校 223800)

1 基本情況

1.1 授課對象

學(xué)生來自連云港新海實驗中學(xué)蒼梧校區(qū)，基礎(chǔ)較好，有一定的自主學(xué)習(xí)能力、運算能力、分析問題能力及獨立思考能力．

1.2 學(xué)情分析

七年級學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力、數(shù)學(xué)化能力有限，理解完全平方公式的幾何解釋、推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點還有一定的難度．所以教學(xué)中應(yīng)盡可能多地讓學(xué)生動手操作、互動交流，突出完全平方公式的探索過程，讓學(xué)生自主探索出完全平方公式的基本形式并用語言表述其結(jié)構(gòu)特征，進一步發(fā)展學(xué)生的推理能力、合作交流能力和數(shù)學(xué)化能力．

1.3 教材分析

所用教材為《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)七年級下冊》(蘇科版)．其具體內(nèi)容為第9章第4節(jié)乘法公式第一課時“完全平方公式”.完全平方公式是初中代數(shù)中的重要內(nèi)容，它是學(xué)生在已經(jīng)掌握單項式乘法、多項式乘法等的基礎(chǔ)上的進一步抽象與提煉，是多項式乘法中的特殊情形．本節(jié)課通過學(xué)生自主思考、合作交流、展示評價等學(xué)習(xí)方式，利用計算圖形面積導(dǎo)出完全平方公式，并利用多項式乘法法則進行推導(dǎo)，進而理解和運用完全平方公式，對以后學(xué)習(xí)因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理及圖形面積計算都有舉足輕重的作用．此外，在教學(xué)過程中力圖向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合、換元、化歸、特殊與一般等思想方法，有助于學(xué)生更好地理解和領(lǐng)悟公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，為熟練運用公式進行代數(shù)式的化簡、求值、恒等式變形打好堅實基礎(chǔ)，更好地發(fā)展學(xué)生的運算能力及抽象建模能力．

教學(xué)目標(biāo) (1)探索并推導(dǎo)完全平方公式，能運用公式進行簡單的計算；(2)通過圖形面積的計算，感受乘法公式的直觀解釋；(3)經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想以及知識間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展符號感和推理能力．

教學(xué)重點 引導(dǎo)學(xué)生通過自主探索和合作討論，推導(dǎo)出完全平方公式并能運用公式進行計算．

教學(xué)難點 公式的直觀解釋及公式特征的把握．

2 教學(xué)過程

2.1 情境引學(xué)，啟發(fā)探究

師：在有理數(shù)這一章我們學(xué)習(xí)過乘方運算，請同學(xué)們想一想2012是多少呢？(邊說邊在黑板上寫出2012= ？)

教師稍作停頓后，請一名學(xué)生說出結(jié)果．(教師板書)

生：2012=40 401．

師：這位同學(xué)很快得出了答案，那你是怎么得到的呢？

生：我是用計算器按出來的．(有的學(xué)生笑了起來)

有的學(xué)生說根據(jù)乘方的意義，用豎式計算出來的；還有的學(xué)生說根據(jù)多項式乘法計算，即2012= (200 + 1)2= (200 + 1)(200 + 1) = 40 401．

師：同學(xué)們表現(xiàn)得很好，說出了不同的方法．是否還有更為簡單的計算方法呢？現(xiàn)在我們一起回到最后那位同學(xué)的算法，咱們不妨將剛才的數(shù)換成字母，進行“一般化”轉(zhuǎn)化，就可得到(a+b)2，你將如何計算呢？(板書于黑板的右上方：從特殊到一般)

2.2 互動研學(xué)，分層探究

·從“數(shù)”的視角探究

師：同學(xué)們已經(jīng)知道(a+b)2= (a+b)(a+b)，要想正確計算出(a+b)2就需要回歸到根本，即多項式乘法(a+b)(c+d).你是如何計算的？

生：用多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加，結(jié)果為ac+ad+bc+bd．

師：計算的依據(jù)是什么？

生：乘法分配律．

師：回答正確．能明白算理，說明對法則的理解和掌握是很到位的．接下來，請同學(xué)們計算(a+b)2．(讓一位學(xué)生在黑板上展示，其余學(xué)生在座位上獨立完成)

師(引導(dǎo))：我們把計算2012推廣到一般情形，可得出(a+b)2=a2+ 2ab+b2．回過頭來，請你再用這個式子來算算2012(停頓片刻)，大家有何感受呢？

生：比較簡單．

師：對的，數(shù)學(xué)之美在于簡潔，用這個式子計算起來較為簡便．善于觀察的同學(xué)會發(fā)現(xiàn)，這個式子還比較特殊.請前后四位同學(xué)為一組，交流一下，從形式上看式子的特殊方面表現(xiàn)在哪里？

生：從左邊看，是兩數(shù)和的平方，也就是兩個完全相同的二項式相乘；從右邊結(jié)果看，合并后只有三項，少了一項，所以看起來簡潔了．

師：說得非常好，不僅觀察仔細，而且表述有條理，也很嚴(yán)密．這其實就是多項式乘法中的特殊情況，我們稱之為乘法公式．那么你能根據(jù)剛才同學(xué)的分析，給公式起一個貼切的名字嗎？同時說出你命名的根據(jù)．

接下來，教師板書課題于黑板左上方(9.4乘法公式——完全平方公式)．

·從“形”的視角探究

師：同學(xué)們，剛才大家通過“式”的運算得出了完全平方公式，那么我們能否用“形”同樣得到這樣的式子呢？

小組交流，操作探究，并選兩位學(xué)生將所作的圖形展示在黑板上(如圖1、圖2)．

圖1 圖2

師(評價)：兩位同學(xué)畫得很好，大同小異，第一個同學(xué)還用陰影表示出來，顯得更為醒目，為你點贊．(學(xué)生們表示贊同)

師：(追問)這么快就表示出來了，請問你是怎么想到的呢？

生：(畫第2個圖的學(xué)生迅速搶答)這個很好想的，大家看到(a+b)2就會很自然聯(lián)想到邊長為a+b的正方形，對吧！然后在大正方形邊長中分出長度為a與b就可以了．

生：(補充)再通過整體與部分兩個角度計算大正方形面積，就能很快得出公式．感覺從圖形方面得出公式比剛才的計算更直觀、更方便．

師：同學(xué)們的表現(xiàn)真的不錯，學(xué)會了從不同視角分析思考問題，這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．(接著板書課題：完全平方公式；并在黑板的右上方板書：數(shù)形結(jié)合)

2.3 自主立學(xué)，類比探究

·由此及彼，類比遷移

師：我們已經(jīng)知道了(a+b)2，其實在實際應(yīng)用中也會經(jīng)常用到(a-b)2.目前你有幾種方法可以得到(a-b)2的結(jié)果呢？(放手讓學(xué)生自主探究與討論交流，探究結(jié)果)

巡視后，發(fā)現(xiàn)主要有以下幾種方法：

方法1 用多項式乘法法則，即(a-b)2= (a-b)(a-b) =a2- 2ab+b2．出于習(xí)慣，使用原有知識．

方法2 使用公式，即把a-b看成a+ (-b)，得(a-b)2= [a+ (-b)]2=a2- 2ab+b2．現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，轉(zhuǎn)化后套用公式．

方法3 運用圖形得出公式(如圖3、圖4)．

圖3 圖4

由此，派生出完全平方公式的另一種形式，即兩數(shù)差的完全平方．因為減法可以統(tǒng)一成加法，所以通過轉(zhuǎn)化可以看成是一個式子，但為了使用的方便，我們把它單獨列出來.(教師在黑板右上方接著板書：學(xué)會類比，學(xué)會轉(zhuǎn)化)

·特征比較，本質(zhì)探究

師：目前，我們知道了完全平方公式的兩種形式.接下來咱們來探究公式的特征，哪位同學(xué)能說說你的看法？

生：我們先來看公式的左邊，是兩項式的完全平方，一個是兩數(shù)和的完全平方，一個是兩數(shù)差的完全平方，都要記得加括號；再看公式的右邊，都是二次三項式，有所不同的是中間符號，一個“加”，一個“減”．

師：通過剛才同學(xué)的回答，其實這里把公式由符號語言轉(zhuǎn)換成了文字語言，而且比較了異同……

生：(一位學(xué)生舉手)老師，我感覺這個公式運用時會出現(xiàn)錯誤(a+b)2=a2+b2，因為我以前就犯過這樣的錯誤．(少數(shù)學(xué)生點點頭)

師：是的，受積的乘方的影響，即(ab)2=a2b2，同學(xué)們會出現(xiàn)上述常見錯誤(讓學(xué)生用兩個數(shù)代入計算一下，左右兩邊明顯不等)，而完全平方公式中前面兩項不是積的形式，同學(xué)們要把握住它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，樹立“模型思想”．(板書)

·模型引路，深化探究

教師出示兩個問題，讓學(xué)生再次深化對公式的認識，積累模型經(jīng)驗．

運用完全平方公式計算：(1)(x+ 3)2= ( )2+ 2( )( ) + ( )2=__________．

↑ ↑

a-b

由學(xué)生分組完成，并指出這里哪個代數(shù)式相當(dāng)于公式中的a和b．

2.4 展示評學(xué)，應(yīng)用探究

學(xué)生的認知水平和思維能力是有差異的，為此選編了一組例題、反饋練習(xí)題及拓展應(yīng)用問題，以保證不同層次的學(xué)生在已有模型經(jīng)驗的基礎(chǔ)上都能得到相應(yīng)的發(fā)展.顯然，問題設(shè)置有一定的意圖及代表性，讓學(xué)生獨立完成并展示出來，要求指出題目特點、解題思路或過程、困惑等．

例用完全平方公式計算：

(1)(2x- 7y)2；(2)(-2a+ 5)2；

(3)(-2a- 5)2．

展示評學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生能較好地掌握公式，但仍然出現(xiàn)丟掉“積的2倍”這一項，同時更多地會出現(xiàn)符號的錯誤．

師：(指出)第一，學(xué)會回頭查，積的2倍在中央，中間符號看前方；第二，對于底數(shù)中首項帶有“-”號的，通常先化成“+”的，再用公式計算，可大大降低錯誤發(fā)生率！

巡視中發(fā)現(xiàn)多數(shù)學(xué)生很快完成了，而且正確率很高．對于第(4)題學(xué)生中有不同解法，用實物投影展示不同解法策略．

師：同學(xué)們解答正確、書寫規(guī)范，希望大家能養(yǎng)成分步有序、言之有理的思考與書寫習(xí)慣．通過比較，可以看到解法1簡潔明快，這里進一步體現(xiàn)了“能正不負”的優(yōu)越性．

拓展延伸，計算：(m+n+p)2．

教師順應(yīng)學(xué)生的探究路徑給予適當(dāng)?shù)奶崾尽Ⅻc撥，讓學(xué)生少走彎路(還有學(xué)生畫圖探究的，適當(dāng)給予鼓勵，但指出比較繁瑣)，把功夫花在關(guān)鍵處．爾后指定各組代表展示本組的研究結(jié)果，教師隨機點評．

教師點撥：(1)這里關(guān)鍵是把什么看作a和b．從同學(xué)們的展示來看，有兩種情況，即把m看成公式中的a或把m+n看作公式中的a，兩種視角都是可以的；

(2)不難看出，這里體現(xiàn)“整體思維”及“算兩次”的思想，希望同學(xué)們能正確運用．

2.5 反思悟?qū)W，歸納探究

學(xué)貴于思，學(xué)而不思則淺．課堂反思是一節(jié)課的有機組成部分．反思悟?qū)W不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的概括歸納能力，深化對知識的消化與內(nèi)化，而且能夠升華對學(xué)習(xí)目標(biāo)的進一步理解與把握，可收到余音繞梁、回味悠長的教學(xué)功效．[1]

(1)本節(jié)課探究學(xué)習(xí)了哪些新知識？(完全平方公式)

(2)問題探究與問題解決過程中，使用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？(數(shù)形結(jié)合思想、模型思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、算兩次思想等)

(3)探究活動中，獲得了哪些數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗或感受？(圖形直觀驗證，由具體到抽象，由特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，有序有理有據(jù)表達等智慧與經(jīng)驗)

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)設(shè)計的立意

根據(jù)數(shù)學(xué)是培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的學(xué)科特點，教學(xué)設(shè)計時著力從為什么要學(xué)、學(xué)什么、怎樣學(xué)、學(xué)得怎樣等問題立意．讓學(xué)生不僅“知其然”而且要“知其所以然”，更要讓學(xué)生明白“何由以知其所以然”．具體教學(xué)時，依據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”理論，遵循以舊引新的發(fā)展原則，創(chuàng)設(shè)一個簡單問題情境，“一石激起千層浪”，以問題引發(fā)學(xué)生思考；接下來順勢而為，用啟發(fā)思維的問題引領(lǐng)教學(xué)，逐步探究，知識自然生成，探究之跡步步呈現(xiàn)．為了體現(xiàn)以生發(fā)展為本理念，要遵循學(xué)生的認知規(guī)律，依照循序漸進與啟發(fā)式的教學(xué)原則，進行有序的分層探究活動，讓不同層次的學(xué)生都能主動參與并能得到充分的發(fā)展．邊啟發(fā)，邊探索，邊歸納，邊反思，邊感悟．突出以學(xué)生為主體的探究性學(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，鼓勵學(xué)生交流合作學(xué)習(xí)，讓每個學(xué)生動口、動手、動腦，自主歸納出公式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，讓學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí)．

3.2 教學(xué)反思

課堂是培育學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的肥沃土壤，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐步形成數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)．而這關(guān)鍵在于教師能將其在每一節(jié)數(shù)學(xué)課“落地生根”，并能抓住每一個環(huán)節(jié)之間的整體聯(lián)系，將學(xué)生的思維從形象思維逐漸向抽象思維延伸．通過鋪設(shè)學(xué)生樂于探究之路，以此發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科育人功能，在探究過程中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，并能有效表達．在運算中培養(yǎng)運算能力和建構(gòu)能力，為學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)搭建平臺，鋪設(shè)“腳手架”．

(1)行于簡約問題，讓學(xué)生想學(xué)

設(shè)置有效的問題是探究的載體，通過簡約易行、靈活多元(一題多問、多思、多解、多圖等)的問題設(shè)計，引導(dǎo)激活學(xué)生思維，啟發(fā)學(xué)生探究欲望，實現(xiàn)“一吐為快”的滿足感．課例中通過一個簡單的計算“2012”進行啟思、關(guān)聯(lián)、探究、抽象、建構(gòu)、應(yīng)用，整個教學(xué)過程沒有大量的機械訓(xùn)練；在反饋時，設(shè)置三組有層次的代表性問題(變符號、變系數(shù)、變項數(shù))實現(xiàn)學(xué)以致用，整個教學(xué)自然生成，一氣呵成，育人無痕．為學(xué)生感知數(shù)學(xué)好玩、主觀上想學(xué)創(chuàng)設(shè)良好的探究準(zhǔn)備．第一，營造和諧的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生在輕松愉快的環(huán)境中躍躍欲試；第二，問題設(shè)計簡約而不簡單，關(guān)注整體性、靈活性、聯(lián)系性，做到啟思提升；第三，符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)特點，突出教師主導(dǎo)、學(xué)生主體、問題主線的“三主”原則，讓學(xué)引思等．

(2)動以操作探究，讓學(xué)生樂學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動過程中逐步積累的.”長期以來，教師習(xí)慣于講、學(xué)生習(xí)慣于聽，而忽視探究或懶于“做”，學(xué)生充當(dāng)課堂上的看客或聽眾，學(xué)習(xí)被動、被迫，效果可想而知．上述教學(xué)中，通過精心設(shè)計有挑戰(zhàn)性的動手計算、動手畫圖等操作性問題，讓學(xué)生動口、動手、動腦，在畫圖時學(xué)生通過割補、計算驗證等過程，加深了知識的理解，獲得了直觀感知，引發(fā)積極思考，在“做數(shù)學(xué)”的主動探究過程中培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、解決問題能力，進而培養(yǎng)創(chuàng)新精神．[2]讓學(xué)生在探究中經(jīng)歷過程，積極參與，經(jīng)歷“思維旅行”，欣賞數(shù)學(xué)美景，在建模解決問題過程中不斷“攀登”，品評探索過程的艱辛并獲得成功的快樂．

(3)融以思想方法，讓學(xué)生會學(xué)

授人以魚，不如授之以漁．作為教師，要深入領(lǐng)悟所教內(nèi)容的用意與方向．教學(xué)時既要關(guān)注顯性的教學(xué)內(nèi)容，更要關(guān)注內(nèi)容背后隱藏的數(shù)學(xué)思想方法．課例開始就從特殊到一般進行“抽象”，不斷滲透數(shù)學(xué)思想方法，始終以建立公式模型這一核心指向進行探究與運用，通過“變符號、改問法、變問題”等方式讓問題自然生長，聚焦聯(lián)系，使問題內(nèi)容不斷豐富提升；同時觸及數(shù)學(xué)的精髓內(nèi)容即數(shù)學(xué)思想方法，其間體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比、轉(zhuǎn)化與化歸、換元、特殊與一般、建模、整體、算兩次等重要的思想方法．[3]從而達成讓學(xué)生會學(xué)的目的．