見微知著，學生思維發展過程管窺

肖淑芬

摘 要：思維模式的形成需要久久為功，它需要在數學課程的推進中不斷實現，同時每一節數學課都需要著眼于思維發展這一培養目標，找準思維發展的各個進程并精準發力。筆者以《烙餅問題》為例，展示了思維的發展過程。思維因觀察而展開，從舊知到新知的跳躍中有了猜想，在歸納猜想中進入實質階段，新知得以積累，思維得以提升。在形成結論的進一步演繹中，一般結論到特殊實例，一般結論再到另一個一般結論，思維得到拓展。

關鍵詞：思維;觀察;猜想;歸納;演繹

數學基本活動過程主要是數學的歸納推理和演繹推理過程。在數學活動中，教師要引領學生逐步形成從觀察入手發現問題，從特例開始循序漸進歸納推理，對歸納推理得到的猜想進行演繹證明的思考問題的方式或思維模式。思維模式的形成需要久久為功，它需要在數學課程的推進中不斷實現，同時每一節數學課都需要著眼于思維發展這一培養目標，找準思維發展的各個進程并精準發力。

四年級上冊義務教育教科書（2013版）數學中《烙餅問題》一課為《數學廣角》第二課時的教學內容。在該節課中，學生主要通過解決“烙餅”中的數學問題，初步體會“優化”思想在解決實際問題中的應用;通過觀察、操作、記錄、比較、討論、思考等活動積累轉化、歸納、演繹的經驗;增強學生數學學習的興趣，并能夠讓學生運用數學方法解決生活問題。

該課最核心的目標是什么？因其從屬于數學廣角“優化”的問題系列中，所以很多一線教師認為應該以“優化”思想的滲透為主要目標。從“新知”的角度上看，這樣的目標定位是有一定道理的，但從思維培養的大目標來看，還是應該將歸納、演繹經驗的積累認定為最主要的目標，而“優化”“轉化”則是思維活動過程中，學生經歷和感悟的重要思想方法。

一、思維展開始于觀察

思維的發展是伴隨著問題的解決一起推進的。學生能否發現問題、提出問題，取決于觀察能力在學生智力發展中占有什么地位。發現問題、提出問題的第一步就是觀察。觀察是以視覺為主，融其他感覺為一體的，有目的、有計劃的知覺活動。只有通過細心觀察，才能發現事物的細微而重要的特征差異，捕捉問題信息，從而發現問題、提出問題。觀察可分為兩種形式，即間接觀察和直接觀察，二者的區別為觀察對象是否進行轉換。觀察對象是否需要轉換，取決于觀察對象的難易程度。當所要解決的數學問題較為復雜時，小學生往往需要變直接觀察為間接觀察。

在《烙餅問題》的教學中，筆者展現的是這樣的問題情境：“一個鍋每次最多能烙2張餅，兩面都要烙，每面3分鐘。123張餅怎么烙最省時？最少需要多長時間？”“123張餅怎么烙”這樣的“大問題”的提出有利于學生自主性的激發，但這樣的問題較為復雜，思路、方法不夠明確，筆者先引導學生自主地將問題簡單化， 進行間接觀察，進而比較原命題，從而溝通解題思路和方法。教師引導學生“知難而退”，退到1張餅、2張餅、3張餅的情況去思考問題。當問題簡單化后，便可針對對象的實物直觀、模型直觀、語言直觀加以觀察。

筆者引導學生自我呈現模型直觀然后進行觀察，即為將1、2、3張餅以如下圖的方式記錄下來（如圖1），記錄過程，形成模型。模型直觀能幫助學生觀察到細微差別“橫著看，每次烙2張餅”，“豎著看兩面餅都烙了”。思維的發展始于觀察，但是在思維發展的各個階段，觀察這一最高級別的知覺形式都伴隨其中。從觀察2張餅的優化烙餅法到雙數張餅的烙餅法，從觀察3張餅的優化烙餅法到單數張餅的烙餅法，從有序觀察烙餅的記錄表，找出餅數與烙餅時間的關系到任意張餅（1張餅除外）優化烙法，隨著觀察的推進，學生的思維在不斷地發展之中。

二、思維跳躍觸發猜想

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾認為：“真正的數學家常常憑借數學的直覺思維做出各種猜想，然后加以證實。”課程改革以來，合情推理受到了教師前所未有的關注，數學教材中也大量地采用了數學猜想、枚舉歸納等合情推理的方法。小學生的知識、技能、方法及經驗的儲備還處于較低的水平，這時的直覺思維并未發展起來，此時的猜想應是建立在已有認知的基礎上，學生經由觀察，舊知與新知碰撞，思維發生跳躍，提出新的觀點。

引導數學猜想作為數學教育的一種方式，提高了學生的學習數學的興趣，鼓勵、調動學生運用自己的數學能力，主動動腦、動手解決問題的過程。

《烙餅問題》一課中筆者引導學生探究2張餅最省時的烙法，學生在解決2張餅的問題中，初步體會“優化”的思想在解決問題中的應用，觸及烙餅問題最優方案的核心，并產生猜想——如果烙餅時不空鍋，就會最省時。基于這樣的猜想，他們創造了3張餅“交替烙”的方法，他們在比較“交替烙”和“非交替烙”兩種模型直觀時（如圖2），進一步肯定了他們對于優化方案的猜想。

三、思維提升成于歸納

小學的數學學習是以活動經驗為基礎，以邏輯思維為核心的認知過程。在一定意義上說，邏輯思維的實質就是推理。歸納推理是推理的一種重要形式，它是由個別的事物或現象推出該類事物或現象的普遍性規律的推理過程。

在學習活動中，學生的認識從“個別”到“一般”、從“無”到“有”、從“舊”到“新”，都是在歸納中完成的。從非嚴格意義上說，學生對數學活動進行一次歸納，對于學習者本人來說都是一次“創新”的過程，也就是在這樣的創新過程中，學生的思維得到了提升。

烙餅省時的方法是什么，有個規律，學生先是探索了2張餅的優化方法，掌握了2張餅“同時烙”的優化方法，算出所需時間，進而通過轉化，探究出雙數張餅所需時間，并計錄下來：4（2，2）12'; 6（2，2，2）18';8（2，2，2，2，）24'……“探究了雙數張餅所需時間，同學們對什么還感興趣呢？”學生探究3張餅“交替烙”的方法，再接著以轉化的方法探索出單數張餅的烙餅方法，并計錄下來： 5（2，3）15';7（2，2，3）21';9（2，2，2，3）27'……最后合并表格，歸納出規律“餅數×一面所需時間=所需最短時間（1張餅除外）”。

歸納方法有簡單枚舉歸納法、完全歸納法和科學歸納法。運用完全歸納，學生思維的嚴密邏輯性將得到發展，然而完全歸納法有時非常繁復，甚至是不可能的，于是又產生了數學歸納法——邏輯論證方法。像《烙餅問題》一課，筆者引導學生從雙數、單數的不同角度進行歸納，可視為邏輯論證方法。教師可進一步質疑：“為什么餅數×一面所需時間=所需最短時間？”引導學生了解對象與其屬性間的必然聯系，這對于學生思維的嚴謹性的進一步發展是非常有利的。

四、思維拓展重于演繹

演繹推理是從已有的事實和確定的規則出發，按照邏輯推理的方法進行計算或法則的證明。前者主要體現在根據法則進行計算、根據四則運算的意義解決簡單的問題。后者主要體現在幾何圖形的面積、體積公式推導的過程中，把歸納法和演繹推理結合起來，得出結論。學生的認識從一般到特殊，從一個法則、性質、公式、定律或規律到另一個法則、性質、公式、定律或規律，其思維得到了拓展。

《烙餅問題》中學生得出：“餅數×一面所需時間=所需最短時間（1張餅除外）”的規律后，“烙123張最少需要多少時間？”便是學生利用已有規律解決簡單問題的一種演繹。教師改變情境，提出問題：“一個鍋每次最多能烙3張餅，兩面都要烙，每面3分鐘。123張餅怎么烙最省時？最少需要多長時間？”學生利用烙餅問題“最省時”的思想本質——不空鍋，利用“一個鍋每次最多能烙2張餅”探究途徑，用優化、轉化、歸納的方法得出結論，這便是從一般規律到另一個一般規律的思維拓展。

思維因觀察而展開，從舊知到新知的跳躍中有了猜想，在歸納猜想中進入實質階段，新知得以積累，思維得以提升。在形成結論的進一步演繹中，一般結論到特殊實例，一般結論再到另一個一般結論，思維得到拓展。我們可以從一節課中管窺到這樣的發展過程，可以從一系列課、一學段課，或更長階段的教學中看到這樣的發展過程，一線教師要胸懷學生思維發展目標，并把這個目標化到具體的教學任務之中去。

參考文獻：

朱麗君.培養學生敏銳的數學觀察能力[J].數學學習與研究，2011，（11）.