一種數字圖像相關非均勻位移精度優化方法

白鵬翔， 雷 冬， 朱飛鵬

（河海大學力學與材料學院，南京210098）

0 引 言

非接觸測量技術在工業科研領域扮演著越來越重要的地位，光學測量方法是其中極為重要的一種技術。光學測量方法包括電子散斑干涉［1］、剪切散斑干涉［2］、全息干涉［3］、云紋干涉［4］等干涉技術，以其波長量級的靈敏度可用于微納米級的測量，也包括數字圖像相關［5］、柵線投影［6］、投影散斑［7］等非干涉技術，以其良好的適應性使得測量范圍非常寬泛。

數字圖像相關技術是一種基于數字圖像處理和數值計算的非干涉變形測量方法，與其他測量方法相比，其優勢明顯：無需激光照明，無需隔振，對測量環境要求低，可用于較為惡劣的測量現場；實驗設備及操作簡單，實驗過程僅需采集變形前后的數字圖像；與不同的成像設備相結合，可以實現多個尺度下的變形測量，擁有廣泛的測量范圍。作為一種靈活有效而功能強大的變形測量手段，數字圖像相關技術在工程實際應用中開始顯示其實用性和優越性。

作為光學測量技術中適應性最強的測量技術之一，數字圖像相關技術以其非接觸、全場測量、設備簡單、數據處理方便、測量范圍涵蓋了從宏觀到微觀等優點被廣泛使用在生物醫學、材料科學、土木交通、工業檢測等各個領域中［8-12］，并且擁有廣闊的應用前景。雖然擁有各種優勢，與電阻應變測量技術相比數字圖像相關技術在測量精度方面卻存在較大的差距［13］，使得其在諸多方面的應用存在限制，如對于混凝土等脆性材料在開裂之前階段的測量就具有較大誤差。這種誤差由多種因素造成，包括散斑大小及尺寸［14］、插值誤差［15］、形狀函數不匹配所造成的誤差［16］等，其中形函數不匹配所造成的誤差對非均勻變形尤其明顯。

本文針對形狀函數不匹配所造成的誤差進行分析，提出一種簡單易行的方法，不需要對相關匹配過程進行改動，最大程度地保留了現有程序的復用性，只對一階形函數數字圖像相關的位移測量結果進行簡單的后處理，雖不能完全消除由于形狀函數不匹配所造成的誤差，但能夠在很大程度上減小該誤差，提高了數字圖像相關的非均勻位移測量精度。使用基本函數和模擬數字圖像對該方法進行檢驗，證明了該方法的有效性，以及可以作為數據處理中提高精度的一步后處理過程。

數字圖像相關技術對于單個目標點的追蹤所利用的信息并不局限于該點本身，其對于目標點的追蹤本質上是對于目標子區的追蹤，這樣目標子區中散斑模式信息才能在運算中發揮作用。對于目標子區的比較判斷是基于及數字圖像相關中的一個基本概念——相關函數。相關函數是用于評價子區相似程度的一個函數，有學者對不同的相關函數進行比較分析并做出過評價，而本文所使用的相關函數為歸一化最小平方距離相關函數，

式中：f和g分別為參考圖像和變形圖像；fm和gm分別是參考子區和變形子區的圖像均值。該相關函數對于圖像的整體明暗變化并不明顯，因而對于照明條件并不理想條件下的散斑圖像具有較好的兼容性，圖像質量不佳時也能保證一定的測量精度。

形函數即位移模式是數字圖像相關中用于描述圖像子區基本變形的典型函數，是對物體變形的所作的一個基本假設。常用的形函數有一階形函數和二階形函數，其中一階形函數運算簡單計算量小，比較易于實現；二階形函數相對復雜一些，在某些非均勻變形測量場合效果優于一階形函數，但運算量比一階形函數有明顯的增大，因而在一般場合，一階形函數的使用比二階形函數相對廣泛一些。

圖1 所示即為一階形函數的示意圖，用數學公式表達如下：

1 數字圖像相關技術原理

數字圖像相關技術是上世紀80 年代提出的一種非接觸、全場光學測量手段。主要是在變形前、后對物體的被測表面拍攝數字圖像，利用物體表面的自然紋理或人工在表面制造紋理特征作為物體表面信息的載體。對采集到的圖像進行數字圖像處理，當物體表面的點發生位置移動時，其移動信息就會在附近的散斑特征之中有所表現。通過相應的算法比較變形前、后物體表面的數字圖像，對產生位移的點進行識別和追蹤，獲取其位移信息［5］。當對圖像上所有目標點進行追蹤時，就能夠得到物體表面的位移場信息，通過對位移場信息進行差分等運算就可以獲得表面的應變場信息。

圖1 一階形函數示意圖

圖像子區遵循一階變形形式，有6 個變形參數，包括2 個剛體位移參數和4 個位移梯度參數。

值得注意的是，不管是一階還是二階形函數，都是對物體表面變形所作的基本合理假設，意味著形函數都不可能完全表征物體表面的變形形式，只要采用了形函數，必然會引入由于形函數不匹配所造成的誤差。圖1 所示的一階形函數，除均勻變形之外，物體表面的真實變形幾乎不可能完全符合式（2）所描述的變形形式。

2 位移精度優化方法

2.1 誤差來源分析

在數字圖像相關技術中，關于形函數不匹配所造成的誤差，已有學者對其做出了理論分析［16］，表明對于一階形函數，位移計算結果相當于經過了一次濾波，該濾波的核如下式所示

式中：h表示濾波的核；M表示圖像計算子區的半模板尺寸。即位移計算結果等同于真實位移經過了一次均值濾波，而濾波尺寸即為圖像子區的尺寸。而由于形函數不匹配所造成的誤差本質上是該均值濾波所造成的平均效應，均值濾波從信號處理的角度來說是一種低通濾波器，不可避免會對位移信號的高頻造成影響。對于均勻變形或者線性變形來說該濾波理論上不會造成額外的誤差，反而會由于其平均效應使高頻的隨機誤差得到一定程度的抑制，這也就是圖像子區選擇越大導致位移計算結果越平滑的原因。而對于非均勻變形來說情況就不同了，雖然隨機噪聲同樣會得到抑制，但位移數據本身的高頻分量同樣被濾波器濾掉了，只有低頻分量得以保留，造成位移數據顯得越來越平緩，峰峰值必然會減小的情況。即如果能夠存在一種方法對均值濾波后的數據進行恢復，也就能夠抑制甚至消除位移模式不匹配所造成的誤差了。

如圖2 所示為一個簡單函數的演示，原始數據為如下式所示的簡單正弦函數，

圖2 原始數據與均值濾波后數據比較

經過一次均值濾波后的曲線與原曲線的對比，該次濾波窗口尺寸為1?？梢钥吹皆瓟祿姆宸逯荡嬖诿黠@減小的情況，理論上正弦函數的最大值和最小值分別為1 和-1，濾波后上升峰和下降峰的峰值均有所減小，最大值和最小值分別減小到了0.95 和-0.95左右。

另外一個值得注意的現象是，均值濾波造成的誤差是非均勻的。由圖2 看出，在峰值處誤差較大，在最大值處誤差達到最大，而在非峰值處誤差較小，某些點甚至不存在誤差，誤差的非均勻性也給誤差的抑制帶來了比較大的困難。

2.2 簡單函數中的數據恢復

針對均值濾波所造成影響的規律，注意到如果對原始數據進行二次濾波（見圖3），再與原始數據和一次濾波數據比較，則會發現規律則與一次濾波所造成的影響相類似，數據的峰峰值將進一步降低，原誤差較小處的誤差仍然較小，原峰值處的誤差依然保持最大，實質上這也是由原數據本身的特性所決定。

圖3 原始數據和一次及兩次均值濾波數據比較

因此，對兩次均值濾波所造成的誤差進行分析，如圖4 所示一次濾波數據與原數據之差為紅色曲線，兩次濾波與一次濾波數據之差為綠色曲線。毫無疑問兩次的數據之差必然存在一定的差別，然而從圖4 可以看出，兩次的數據差之間的區別并不大，即兩次濾波對于數據曲線的平均效應是相似的，即一次濾波對原數據所造成的誤差，與兩次濾波對一次濾波曲線所造成的誤差，兩者之間有較強的類比性。所以，本文提出以后者作為前者的估計，即以第2 次濾波對曲線所造成的“削減”作用來估計或者替代第1 次濾波對曲線所造成的“削減”作用。

圖4 兩次濾波造成的數據之差

在實際操作層面上，原數據往往是未知而需要去求解的，能夠獲得的只有一次濾波后的數據，即圖3 中的紅色曲線，問題可以歸結與在一次濾波數據的基礎上，想辦法獲取原數據或原數據的估計，并盡量減小誤差。所以本文提出的方法是：在一次濾波數據的基礎上再進行一次均值濾波，以第2 次均值濾波所造成的誤差作為第1 次濾波所造成誤差的估計，將之疊加到一次濾波數據之上，作為原數據的估計，以此盡量減小由于均值濾波對原數據所造成的誤差。

按照上述方法對圖3 中數據進行恢復結果（見圖5），包括原數據、一次濾波、二次濾波和本方法恢復的數據。原數據曲線為黑色，本方法恢復的數據為藍色，由圖5 局部放大圖可以看出，黑色的原數據和藍色的恢復數據大致重合，且與紅色的一次濾波數據截然分開。為了更清晰地表明本方法的效果，將一次濾波數據、兩次濾波數據、恢復數據與原數據之差進行比較，如圖6 所示?？梢钥闯?，兩次濾波數據的誤差大致為一次濾波數據的2 倍，而恢復數據的誤差基本在零附近徘徊，雖然并不完全等于0，但已明顯比紅色的一次濾波數據誤差曲線小了一個數量級以上。

圖5 原數據、一次、兩次濾波、恢復數據對比

圖6 一次、兩次濾波、恢復數據誤差對比

上述是對一種簡單正弦函數的誤差所作的分析，事實上本方法使用與各種復雜連續函數，如基本函數的混合，如下式所示

對該函數進行窗口尺寸為0.7 的均值濾波，并將本方法應用到一次均值濾波曲線上，對原始數據進行恢復（見圖7、8）。

圖7 混合函數的原數據、一次濾波和恢復數據

圖8 混合函數的一次濾波和恢復數據的誤差

2.3 模擬數字散斑圖中位移數據的恢復

為了驗證本方法對于數字圖像相關技術不匹配位移模式造成誤差抑制的有效性，以數值模擬的方式生成了兩幅散斑圖，如圖9 所示。在兩幅模擬圖像中預設了非均勻位移如下式所示：

圖9 模擬數字散斑圖像

將模擬散斑圖像用數字圖像相關技術運算，獲得橫向位移場，如圖10 中紅色曲線所示，將本方法應用與所得橫向位移場，得到恢復出的位移如圖10 中綠色曲線所示。將兩曲線與圖10 中黑色曲線所代表的預設位移數據比較，看出恢復的位移數據更接近預設位移場數據。為了更清晰地對結果進行比較，將兩者與預設數據的誤差繪制曲線，如圖11 所示?？梢钥吹奖痉椒ɑ謴偷奈灰茍稣`差數值明顯較小，可見由于形函數不匹配所造成的誤差得到了很大程度的抑制。

圖10 模擬圖像位移場的恢復結果

圖11 模擬圖像位移場誤差比較

3 結 語

對數字圖像相關技術中由于形函數不匹配所造成的誤差進行了分析，確定了在一階形函數下，該誤差與一次均值濾波所造成的誤差等同。發現了二次均值濾波的平滑效應與一次濾波類似，提出了以二次濾波的差值作為一次濾波的插值，用來對原位移數據進行恢復的方法。對簡單正弦函數和混合函數進行了測試，結果表明該方法能夠較好地對原數據進行恢復，誤差減小了一個數量級以上。另外，還以數值方法生成了模擬散斑圖，對模擬的散斑圖進行數字圖像相關運算，并將本方法應用于數字圖像相關計算的位移數據，結果表明由于形函數不匹配所造成的誤差在很大程度上被抑制了，取得了良好的效果。