厘清原理本質 凸顯思考過程

張敏

【摘? ?要】“抽屜原理”安排在小學教材中的意圖是讓學生經歷“數學證明”的過程，學會用數學的思維去分析問題和解決問題。這一內容的教學不同于一般的解決問題的教學，因此教師需對“抽屜原理”進行深度挖掘，并了解學生的基礎，最后提出相應的教學對策。

【關鍵詞】鴿巢原理;教學;對策

鴿巢問題（抽屜原理）是人教版六年級下冊“數學廣角”的內容，其最基本的模型是：若n+1只鴿子要飛進n個鴿巢里，則總有1個鴿巢至少飛進2只鴿子。教學中教師往往將這一內容等同于一般的解決問題，花大量的時間分析解題方法，滿足于學生會列式解答。從“四基”的角度看，這忽視和弱化了引導學生對過程的體驗和思想的感悟。

一、原理深究

教師的教學源于對鴿巢問題本質的充分了解。因此，筆者就以下問題進行了深入的辨析和思考。

（一）生活常識與數學原理

“原理”是在大量觀察、實踐的基礎上，經過歸納、概括而得出的，反過來又指導實踐。抽屜原理可以進一步表述為：假如有多于n個元素按任一確定方式分成n個集合，那么一定有一個集合中至少含有2個元素。更一般地說：把多于kn（k是正整數）個元素按任何方式分成n個集合，那么一定有一個集合中至少含有（k+1）個元素。它被廣泛而深入地運用于現實生活中的解決問題，成為人們的常識。

（二）構造性與存在性

鴿巢問題的核心是解決存在性問題，即“一定沒有意外”地存在一個鴿巢滿足要求，但不能確定究竟是在哪個鴿巢里，也只知道某個鴿巢里至少有2只鴿子，卻不能確定究竟是多少只。只要能論證它的存在“一定沒有意外”即可。而一般的解決問題，往往可以通過一定的方法求出具體的解，也即“構造”出確定的結果。比如“雞兔同籠問題”，最后總能求出雞和兔分別有幾只。像這樣要確定存在性的命題是首次出現，因此對學生來說具有較大的挑戰性。

（三）窮舉檢驗與邏輯論證

張奠宙教授認為“學習抽屜原理的意義在于丟開窮舉檢驗，訴諸邏輯論證”。列舉法與其說是一種解題策略，不如說是一種數學活動更為合適，有時要做到“不重復不遺漏”列舉所有情況并非易事，此時邏輯推理反而比窮舉更容易理解。因此本節課要適當淡化窮舉檢驗，突出“邏輯推理”。

二、學情分析

為了探明學生學習時可能存在的問題，筆者就教材例1“把4支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2支鉛筆。為什么？”的問題隨機調查了幾位六年級的學生。學生直覺上都認為結論是正確的，但無法清楚地闡述原因。其中有一位學生舉例（1，1，2）的情況，筆者追問還有其他情況嗎？學生無法自圓其說。究其原因，主要有以下幾點。

（一）抽象的語言和理解的偏差

學生之所以能想到（1，1，2），是將題目中的“分”直接等同于“均分”。這主要是基于他們平時接觸的數學問題中，凡是涉及分物的，大多是“均分”。“總有一個鴿巢中至少飛進2只鴿子”這一表述，每個詞語都有豐富準確的含義?！翱傆小苯沂镜氖谴嬖谛裕爸辽佟笨梢岳斫鉃椤白疃嘀械淖钌佟?。要讓學生真正理解這兩個詞語的含義，需要教師的智慧進行引導。

（二）獨特的方法和思維的局限

學生的慣性思維是將問題與答案一一對應，用到的是算術知識、幾何知識和簡單的代數知識。而鴿巢原理闡述了“不確定中的確定”，無論是原理的敘述還是證明，都無須明確找出這個鴿巢，也無須深究這個鴿巢里到底有多少只鴿子。只須確認結果“一定存在”即可。面對這樣一個“開放”度很大的問題，勢必需要尋求異于常規的方法。思考的過程既離不開一般的思維方法，還需要敏銳的數學直覺、全局的洞察力和獨特的構思。

（三）應用的復雜和對應的障礙

鴿巢原理有諸多變式，最難的是找到相對應的要素——鴿與巢。教材練習十三中的第6題，絕大多數學生感到無從下手，因為他們無法找到這一實際問題與鴿巢原理模型之間的聯系。要解決這個問題先要明確什么相當于鴿子，什么相當于鴿巢。因此，教師要引導學生深刻領悟其中的模型對應，方能做到靈活運用。

三、教學對策

（一）游戲情境，初探本質

教師出示游戲規則，組織全班學生進行游戲。

游戲規則：

1.五人一組，每組一副撲克牌（已經抽掉了大、小王），組員輪流抽取，看是否至少有2張牌是同一種花色的。

2.每人每次抽1張，組長做好記錄。

3.五分鐘時間，能玩幾輪就玩幾輪。

教師展示其中一組的數據，引導學生對照自己組的結果進行深入思考。在這個過程中學生感知到了事件出現的隨機性和結果發生的必然性，對“總有”和“至少”有了初步的理解。

（二）動手操作，理解模型

1.出示問題：5只鴿子飛進4個鴿巢，一定存在某一個鴿巢至少飛進2只鴿子的情況。這是為什么呢？引導學生用學具動手操作。

2.反饋交流：學生想到的基本都是（2，1，1，1）的情況。此時教師追問：“每個鴿巢一定要有鴿子嗎？”“最后一只鴿子可能會飛到哪個鴿巢？”“面對那么多種可能，你打算怎么記錄？”“這些方法有什么共同點？”并結合多次移動最后一只鴿子這一動作，幫助學生經歷探索過程。

3.枚舉檢驗：引導學生思考除了（2，2，1，0），還有可能出現哪些情況？從而枚舉出所有可能，發現不管怎么飛，總有一個巢里至少飛進2只鴿子。

4.溝通聯系：鴿巢問題中，什么是確定的？什么是不確定的？和撲克牌游戲有什么相同之處？

5.變式練習：如果撤掉一個鴿巢，有5只鴿子飛進3個鴿巢，總有一個巢里至少飛進幾只鴿子？同桌合作繼續用學具進行探索。

（三）逐步變化，練習鞏固

1.出示問題：把11本作業本放進5個抽屜，不管怎么放，一定存在某一個抽屜里至少有3本的情況。這是為什么呢？請用算式表達你的推理過程，并畫示意圖進行解釋。

2.總結規律：如果有14本作業本會怎樣呢？15本、16本作業本呢？引導學生觀察上述算式和結論，從而總結規律。

（四）鏈接生活，運用模型

1.自主舉例：生活中有哪些問題可以用鴿巢原理去解釋？從而感受鴿巢原理的普適性。

2.運用模型：我們班一共有45名同學，你能得出什么結論？學生展開聯想：將全班45名學生看作“鴿”，將學生的性別、屬相、出生月份等看作“巢”，從而得出相應的結論。

“教學對于學生的學習與發展價值不在于結果之中，而在于過程之中?！币陨辖虒W通過四次操作，多種方法結合，有效解決了教學難點，培養了學生的學習能力。

參考文獻：

[1]黃敏晃.從鴿巢原理談起[J].小學教學數學版，2010（09）.

[2]楊建斌.走進小學數學教材中的“抽屜原理”[J].小學教學數學版，2014（10）.

[3]鄭毓信.從“一一列舉”到“抽屜原理”[J].小學數學教師，2015（03）.

（浙江省溫嶺市澤國小學? ? 317523）