計算平均成績是否合適

【摘? ?要】統計可分為描述統計與推斷統計。平均數是小學生最早接觸的統計量，是描述一組數據集中趨勢的良好代表量，可以利用所有數據的信息。在平均數的教學中，相比計算方法，更應該強調對其作為描述一組數據集中趨勢的“代表量”的理解。首先，需要建立起“代表”的意識，理解平均數是描述數據整體集中水平的良好代表量。其次，在理解平均數的“代表量”意義的時候，應體現出層次性。

【關鍵詞】平均數;統計量;代表量

進入新世紀以來，在《義務教育數學課程標準》（以下簡稱《課標》）實驗稿[1]和2011年版[2]中，“統計與概率”作為一個單獨的知識領域，得到了前所未有的重視。然而，“由于這些內容（統計與概率）是一種‘不確定性數學內容，與傳統的‘確定性數學內容有較大區別，這使得數學教育工作者以及教學一線的廣大教師普遍感到不適應”。[3]

在一個小學數學教師的QQ群里，曾經討論過如圖1這樣的題目，在投擲5次鉛球其中有1次犯規的情況下，對于平均成績到底應該將總成績除以4還是除以5有爭議。有人認為要除以4，因為犯規這次不能反映水平，如果算進去會明顯拉低其水平，這不合理。也有人堅持認為要除以5，因為既然是平均數那就應當按照總數除以次數的公式來做。而且如果犯規的可以不算的話，知道自己某次表現不好，那不如故意犯規，這樣似乎更加荒唐。

那么，這里的平均成績該怎樣計算才合理？或者說，這里使用平均成績是否合適？對于小學生而言，像平均數這樣的統計量教學的關鍵是什么？我們應該對相關概念進行梳理，進而對教學有進一步的思考。

一、平均數到底要教什么？

如果僅就數學計算而言，平均數只是一個包含了加法和除法的算式，對數學計算來說實在是無足輕重，但平均數在統計學中是一個非常重要的概念。[4]平均數是小學生接觸到的第一個統計量。“隨著對統計教學的不斷探索和實踐，人們逐漸認識到對于統計學習而言，重要的不是畫統計圖、求平均數等技能的學習，而是發展學生的數據分析觀念。”[5] 顯然，對統計量的理解應該成為平均數教學的重要內容。那么，統計量的教學最關鍵的是什么？

從大的方面來說，統計有兩個內容，一是描述統計，二是推斷統計。[6]所謂描述統計，一般是指通過圖表或數學方法，對數據資料進行整理、分析，并對數據的分布狀態、數字特征和隨機變量之間的關系進行估計和描述的方法。描述統計分為集中趨勢分析、離中趨勢分析和相關分析三大部分。而推斷統計，是研究如何利用樣本數據來推斷總體特征的統計方法。比如，要了解一個地區的人口特征，不可能對每個人的特征一一進行測量;對產品的質量進行檢驗，往往是破壞性的，也不可能對每個產品進行測量。這就需要抽取部分個體即樣本進行測量，然后根據獲得的樣本數據對所研究的總體特征進行推斷，這就是推斷統計要解決的問題。

對于平均數而言，其實在描述和推斷中都有重要作用。平均數在描述統計中的重要作用，無須贅言，就是以一個數據代表一個群體的數據，體現的是集中趨勢的分析。此外，平均數還有推斷的作用。比如我們經常說的平均壽命（Life Expectancy），也就是壽命預期，體現的更多的是其推斷預期的功能，而不是對現實狀況的描述功能。

體現數據集中趨勢的代表量一般用平均數、中位數與眾數。其中平均數易受極端數據影響，但與中位數和眾數相比，平均數能更多地利用所有數據的信息。[7]同時，平均數在誤差模型中有很重要的作用，是真值的無偏估計。[8]平均數有算術平均數、加權平均數、幾何平均數和調和平均數等，其中算術平均數的算法最簡單，也最容易理解，小學階段所學的平均數一般是指算術平均數。

統計量有描述和推斷這兩大功能，由于推斷統計的難度較大，而且通常需要有描述統計的相關知識作為基礎，因此，小學階段在初次接觸統計量的學習時，應體現其描述性更為恰當。因此，學生在學習平均數時，最需要的應該是理解平均數是描述一組數據的一個比較理想的統計量。

在教材中，對此也有體現。譬如，北師大版小學數學教材明確提出了“平均數是一組數據平均水平的代表”。[9]但需要指出的是，這里采用的是一個個體的多次水平，而非一個群體的整體數據。事實上，在體現描述功能的時候，可能用代表一組數據的情境會更合適。而一個樣本的多次水平的情境在推斷統計時更合適，如推測下一次可能有幾個。而在人教版小學數學教材中，非常強調求平均數的兩種方法：移多補少以及總數除以人數。[10]但在平均數作為一組數據平均水平的代表上似乎體現不足。

統計量的描述功能主要體現在“代表”上，而最能直觀感受到“代表”的是以某一個數據的“代表”來描述一個群體。

二、如何選擇合適的代表量？

要想體現統計量的描述功能，需要建立起“代表”的觀念。也就是說，學生需要明白，當有多個數據量出現的時候，我們通常無法逐個描述，而需要用一些數據去代表。事實上，學生在生活中對“代表”并不陌生。比如，班級里有課代表，而且經常會有同學被選中去代表班級或者學校做什么事情，這是學生已有的經驗基礎。選擇具有代表性的數據，在本質上其實并沒有太大的區別。因此，需要讓學生經歷在生活中的“代表”的經驗基礎上認識數據的“代表”這一概念。正如國際知名統計教學專家本茲威（Dani Ben-zvi）所言：“對學生而言，最先考慮的其實是代表性，而不是平均數，所以應該先讓學生思考代表性的相關問題。如你會選擇誰來代表班級里女生的身高？學生會給出很多他們自己的理由，比如她的數學最好，她是我的好朋友，她是班級里最漂亮的女生，等等。這就是人們思考統計的代表量的起點，這也是人們最先接觸統計時的思考方式。”[11]

而在確立了代表量這個概念之后，再來進一步考慮怎樣的數據作為代表量在這里是最合適的。如前文所述，統計量有描述集中趨勢和離中趨勢的，其中最重要的三個描述集中趨勢的代表量是平均數、中位數和眾數。代表離中趨勢的代表量有方差、標準差等。事實上，并不是任何情境都需要描述集中趨勢，更不是任何情境都適合用平均數作為代表量。

因此，學生首先要具有選一個量去“代表”的意識，再來思考用哪個量去代表最合適。還是以代表班級身高為例，學生可以體會到在代表身高這件事情上，可能數學最好、我的好朋友、最漂亮等等都不是值得考慮的要素。而如果用最高身高或者最低身高作為班級整體身高的代表似乎也不合適。 “基于這樣的目的，有些學生可能逐漸會想到一些不同的方法，比如說用‘中距量（Mid Range），將所有男生的身高從低到高進行排列，然后取數值的正中間。請注意，中距量跟中位數是不同的，中距量是指數值正好在中間，中位數的數值則很可能不是在正中間的，是偏向一邊的。這是學生對集中量認識的開端。進而，有些學生會選擇使用平均數，因為在電視上，在體育比賽中，他們看到很多的平均數。最終，學生可能會選擇使用平均數，但是我們不應該從一開始就讓學生用平均數來表示數據。學生應該有更多的理解數據的機會。”[12]

理解如何選擇合適的代表量非常重要，卻并不容易。回到本文開頭圖1的題目，之所以對應該如何計算平均成績出現比較大的爭議，其根本原因在于，在這個情境中，以平均數作為代表量來描述投擲水平是不恰當的。在投擲比賽中，作為個人成績，顯然最大值是更好的代表量，而平均數更適合做代表量的當然是一個群體的水準。比如，可以選擇像跳水、滑雪等需要有多個裁判共同打分的項目。

針對圖1的問題，理想的體現代表量的教學可以給出兩種情境，一種是兩個人的成績，甲只有兩次成績，一次很好，一次很差，還有三次犯規。而乙五次都有，但都很平均。從個人水平而言，一般還是會認為甲獲勝。另一種情境是團體賽，其中A組五人中有一人成績很好，其他成員都很差，還有犯規，而B組五人水平比較平均。那從整體水平而言，可能會認為B組的水平會更高。

事實上，選擇不合適的代表量的例子在教學中經常出現。比如，在平均數的教學中有一個非常典型的例子，出現一條河，旁邊立個牌子，寫著“平均水深1.2米”，然后問，小明身高1.4米，請問可以安全過河嗎？題目的意圖當然是明確的，學生需要明白，平均水深1.2米，但最深的地方是不知道的，很可能超過1.4米，所以是不安全的。這樣一個看起來很精妙的設計，其實更多的只是關注了平均數的計算方法，卻沒有考慮平均水深的意義和價值。首先，準確的“平均水深”很難通過計算得到，這里所說的河流的平均水深并不是本文所討論的“算術平均數”，而是“積分中值”，其計算的方法應該是河中所有水的體積除以水面面積所得的商。[13]更重要的是，用平均數作為一條河流深度的代表量，是沒有意義的。相比而言，當去衡量一條河的深度時，用最深水深或者某個區域水深顯然是更合適的代表量。

此外，如今關于平均數的教學，通常會特別強調平均數是一個虛擬的數。事實上，這樣的強調并不合適。雖然計算出的平均數通常并不是具體某個樣本的數值。但數學上并沒有“虛擬數”這樣一個概念。而且，“虛擬”并不應該作為理解平均數最重要的性質。相比而言，更重要的是理解用某個數據去“代表”一組數據的必要性，以及在怎樣的情境下用哪個量去代表最合適。

三、兩點教學建議

通過統計教學發展學生的統計素養和數據分析觀念已經成為共識。在平均數的教學中，需要清楚平均數作為統計量，其最重要的價值在哪里，應該如何實現。

第一，學生在學習平均數的時候，需要建立起“代表”的意識，理解平均數是描述數據整體集中水平的良好代表量。小學階段學生初次接觸平均數時，最需要體會其作為代表量的描述功能。因此，在教學中，選用代表一個群組的整體水平的情境比較理想，這比用單個個體的多次數據更合適。

第二，在理解平均數的“代表量”意義的時候，應體現出層次性。第一個層次是以一個實際存在的樣本來代表整體水平。在學生充分理解了這個層次的“代表”之后，再去理解實際存在的樣本都不是整體水平的平均數的情況，需要以一個計算出來的數值來代表平均水平。此外，還應創造機會，讓學生體會到平均數并不是唯一的代表量，在有些情境下，還有比平均數更合適的代表量。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京師范大學出版社，2001.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]史寧中，孔凡哲，秦德生，等.中小學統計及其課程教學設計[J].課程·教材·教法，2005，25（6）：45-50.

[4][8]史寧中.基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013：70;71.

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[7]吳正憲，劉勁苓，劉克臣.小學數學教學基本概念解讀[M].北京：教育科學出版社，2014：379.

[9]劉堅，孔企平，張丹，主編.義務教育教科書：數學（四年級下冊）[M].北京：北京師范大學出版社，2014：90.

[10]人民教育出版社課程教材研究所小學數學課程教材研究中心.義務教育教科書：數學（四年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2012：91.

[11]章勤瓊，達尼·本茲威.統計素養：小學階段“統計教學”關注的重點[J].小學教學（數學版），2016，（12）：4–7.

[12]金成梁.小學數學疑難問題研究[M].南京：江蘇教育出版社，2010：151.

（溫州大學? ?325035）