多元表征，完善認知

沈勤

【摘? ?要】乘法分配律是教學難點之一，為了突破這個教學難點，需了解學生在運用乘法分配律中存在的“共性錯誤”，有針對性地對“乘法分配律”一課進行經驗改造。教師可借助圖文，通過經歷發現、經驗喚醒、遷移引申、拓展應用等多元表征，完善學生對乘法分配律的理解和運用。

【關鍵詞】乘法分配律;對策;教學

學生在運用乘法分配律的過程中總是錯誤百出，筆者對六年級某班46名學生在總復習時用乘法分配律計算中出現的問題進行了統計（排除純粹計算錯誤的情況），具體情況見表1。

表1? ?學生運用乘法分配律錯誤情況統計

[典型題目 錯誤運用及非合理方法 人數 占% ①2.5×（0.4×8） （2.5×0.4）×（2.5×8） 9 19.57 ②[（313+117]）[×13×17] [（51221+13221）×13×17] 6 13.04 [313×13+117×17] 24 52.17 ③ [724÷（712+78）] [724×127+724×87] 19 41.30 ④計算面積：

無從下手 3 6.52 面積周長混淆（9+19）×21 4 8.70 21×9+19×9=189+171=360（平方米） 30 65.22 ]

統計發現：六年級學生對于乘法分配律的理解與運用能力總體水平不高。

表1中第1題的錯誤說明由于結合律與分配律在形式上相似，部分學生對兩者的結構特征認識不到位，容易形成知覺上的錯誤，混淆了兩者的區別。

表1中的第4題，學生關注更多的是“怎樣求面積”，而缺少對算式中數據特征的觀察，很多學生按“先分別乘，再求和”的運算順序進行復雜計算。

表1中第2題、第3題的錯誤表明，學生對乘法運算律的理解存在形與意的脫節，只停留在表面、形式上。

怎樣才能讓學生真正從模仿走向理解？筆者通過多元策略對人教版四年級下冊“乘法分配律”一課進行教學，加強了學生對乘法分配律的理解和運用。

一、圖文結合，使結構特征可視

教材主題圖呈現了這樣的信息：“一共有25個小組，每組4人負責挖坑、種樹，2人負責抬水、澆樹。一共有多少名同學參加了這次植樹活動？”在用兩種方法解決的基礎上抽取出等式“（4+2）×25=4×25+2×25”。這樣的單一情境，單一形式，難以讓學生發現乘法分配律的結構特征。筆者設計了“圖文結合”的情境，有助于學生運用多元可視化表征理解乘法分配律的結構特征。

在一個長方形花圃里栽了郁金香和玫瑰花（如下圖）：

（1）這個花圃一共占地多少平方米？

（2）如果在這個長方形花圃外圍圍上柵欄，柵欄至少需要多少米？

（動態演示，標出長方形的長60米，寬15米）

結合圖形，學生發現每一個問題都有兩種解題思路，分別是面積：[36×15+24×15或（36+24）×15];周長：[60×2+15×2或（60+15）×2]，一種方法是“先求和，再相乘”，另一種方法是“先分別乘，再求和”，將學生的視線引向對結構的觀察。

學生對乘法分配律結構特征的感悟需要更多的學習材料“造勢”。教師可引導學生舉例，用相同結構算式解決實際問題，根據學生的舉例利用“式”與“圖”相結合的形式幫助學生理解，從而鞏固對兩種結構的認識。

學生對這兩種結構充分認識后，教師可讓學生用方框分別表示出兩種算式的結構特征，得出：[□+□×○和□×○+□×○]，建立乘法分配律的結構模型。

二、經歷發現，使數據特征凸顯

計算要根據算式和數據的特點，靈活處理運算順序，這一環節設計了探究化的“經歷發現”活動。

小組討論：是不是只要具備了（□+□）×[○]，□×[○]+□×[○]結構特征的兩個算式就一定相等？舉例驗證。

學生在清晰結構特征的基礎上進行探究、驗證，教師巧妙地引導學生對數據特征展開探究（見下圖），有利于學生對乘法分配律的理解與掌握。

學生通過研究發現只有具備這樣的結構特征，同時又具備這樣的數據特征，兩個算式才是相等的。讓學生根據發現的規律，用算式或字母表示出來（見右圖），引導學生經歷不完全歸納法概括運算定律的過程。

在學習乘法分配律時還要重視簡便計算意識的滲透。教學中，教師要對兩種解題思路進行比較，如36×15+24×15與（36+24）×15，讓學生去辨別哪一個算式計算比較簡便，滲透湊整可使計算簡便的思想。

三、經驗喚醒，使定律意義明晰

如果我們的教學就到抽象出運算定律這一步，學生往往會將形式與意義割裂。因此，在學生探索規律后，教師可追問：這樣的現象是巧合還是客觀存在的？

（一）從“單一”走向“豐富”

讓學生從筆算乘法的算理中，理解定律的運用。

你能在下圖中找到乘法分配律嗎？

人教版三上《兩位數乘一位數口算》? ? 人教版三下《兩位數乘兩位數筆算》

教師通過讓學生在“口算12×3”“筆算14×12”中尋找應用乘法分配律的過程，引導學生解釋這樣計算的合理性。

再引導學生借助幾何直觀，進一步體會到發現的定律是客觀現實規律。

人教版三上《長方形的周長》

學生根據原有的學習經驗，經過辨析對比，豐富對乘法分配律的理解。

（二）從“形”走向“意”

學生只建立乘法分配律結構的圖式（□+□）×○=□×○+□×○是不夠的，還需要真正理解這個結構的意義。因此可以設計這樣一個問題：你能解釋為什么“7×5+3×5=（7+3）×5”嗎？引導學生從乘法意義的角度解釋乘法分配律的結構，使學生在交流互動的過程中完善對乘法分配律的認知，從“形”走向“意”，達到形意合一。

（三）從“淺顯”走向“深層”

通過辨別讓學生進一步明晰乘法分配律的意義。教學中，可設計這樣一個判斷練習：

下面的算式哪些運用了乘法分配律？

對學生出現的典型錯誤，教師要引導其進行深入討論，使其對乘法分配律含義的理解從淺顯走向深層。

四、遷移引申，使定律應用拓展

乘法分配律有許多的變式應用，教師要幫助學生找到這些應用與基本結構的聯系，培養學生由此及彼的推理能力。

從兩個數的和與一個數相乘遷移引申到兩個數的差與一個數相乘。

種郁金香的面積比種玫瑰花的面積大多少平方米？請在圖上表示出大的面積部分，并列式計算。思考：你想到了什么？

鑒定有沒有乘法對乘法的分配。

這三組對比練習，你認為哪兩個算式的結果是相等的，為什么？

25×（4×3）? ?25×4+25×3

25×（4×3）? （25×4）×（25×3）

25×（4×3）? （25×4）×3

為了更好地理解乘法分配律，有必要讓學生對原有的運算定律進行溝通與比較。乘法結合律和乘法分配律非常相似，學生容易混淆，是學生學習中的易錯點，通過對比鑒定，幫助學生感知兩者結構的不同。

從兩數之和（差）與一個數相乘拓展到三個數、四個數……之和（差）與一個數相乘。

如果這塊地在原來種郁金香和玫瑰花的基礎上又開發了一塊長40米，寬15米的地種向日葵。請在圖上表示出拓寬的面積。列式計算。思考：你想到了什么？

讓學生通過對實例的觀察分析，歸納概括出乘法分配律的一般運算規律，提升學生的學習能力。

參考文獻：

[1]張奠宙，等.小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]俞軍.借助幾何直觀? ?促進有效建模——以“乘法分配律”一課為例[J].小學數學教師，2015（6）.

（浙江省平湖市乍浦天妃小學? ?314201）