讓策略中蘊含的數學思想“凸”出來

徐宏臻 陸兆芬

【摘? ?要】將策略中蘊含的數學思想充分地“凸”出來，并讓學生真切地感悟到的關鍵是做實、做足和做好過程。教師首先要認識到數學思想的價值。其次，要找到策略中隱含的最主要的數學思想。再次，要設計精當的教學活動，讓學生充分經歷策略“誕生”的過程，并通過回顧、反思和交流等，讓數學思想“凸”出來。最后，要在不斷地運用中強化體驗，深化認識，從而以數學思想的教學帶動數學知識的學習。

【關鍵詞】尋找思想;經歷過程;感悟思想

“解決問題的策略”的設置是蘇教版教材編寫的一大特色，教材從三年級開始，一直到六年級，每冊都單獨編排一個單元，專門教學“解決問題的策略”。一般說來，策略是指計策和謀略，“解決問題的策略”介于數學思想和具體方法之間，它比具體方法上位些，是數學思想在解決問題時的具體運用。數學思想是數學的靈魂，《義務教育數學課程標準（2011年版）》重視數學思想的滲透，指出數學思想“蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括”。相比而言，策略和方法比較顯見，而策略中蘊含的數學思想卻是隱蔽的，不易被學生察覺，為此，需要教師透過現象看本質，揭開數學思想的面紗，設計適當的教學設計和必要的數學活動，讓數學思想“凸”出來，并被學生感悟到。

如何讓策略中蘊含的數學思想充分地“凸”出來，并讓學生真切地感悟到呢？筆者認為，關鍵是要做實、做足和做好過程，讓學生在過程中逐步體驗數學思想。教師首先要認識到：教學不僅是教策略，而且是教數學思想。其次，要找到策略中隱含的最主要的數學思想。再次，要設計精當的教學活動，讓學生充分經歷策略形成的過程，并通過必要的回顧、反思和交流等，讓數學思想“凸”出來。最后，還要在不斷地運用中強化體驗，深化認識，讓學生形成運用的意識和能力?，F以蘇教版四年級上冊“列表的策略”教學為例，談談筆者在這方面的一些想法和做法。

列表的策略中蘊含的最主要的數學思想是分類和對應的思想，即分門別類地整理信息，以便快速地解決問題。教材中的例1如下圖所示。

例題已把三種樹按樹名、每種樹栽的行數和每行栽的棵數分別進行了有序的整理，并按同樣的順序一一出示，整齊且簡潔，還配圖示意。筆者認為，教材這樣處理，明顯有較多的人為加工的痕跡，這不利于學生產生強烈的整理信息的需要，也不利于學生親自經歷列表整理信息的過程，學生難以學到列表整理信息的方法，難以感受到列表的價值，更難以體悟到其中蘊含的數學思想，使例題的教育價值打了折扣。為此，筆者改進如下。

一、充分經歷形成的過程

筆者先把三種果樹的樹名、每種樹栽的行數和每行栽的棵數隨意地排列，并用七個活動板塊呈現在黑板上，如小芳家栽了4行梨樹，8行杏樹，3行桃樹，梨樹每行5棵，桃樹每行7棵，杏樹每行6棵。桃樹和梨樹一共有多少棵？筆者讓學生看題后直接解答，并一一展示列式和結果。學生驚訝地發現，列式和結果互不相同，不禁迷惑起來。這時，筆者讓學生說說做題后的體會。學生普遍感到：信息太多，太亂，沒有條理，叫人眼花繚亂，需要整理一下。筆者順勢引導學生：那怎樣整理才算有條理呢？學生認為，應該把桃樹歸桃樹放在一起，杏樹歸杏樹放在一起，梨樹歸梨樹放在一起。于是，筆者讓學生上臺自主移動板塊進行整理，學生歸類整理為：小芳家栽了3行桃樹，桃樹每行7棵，杏樹每行6棵，8行杏樹，4行梨樹，梨樹每行5棵。桃樹和梨樹一共有多少棵？筆者問學生：現在歸類了，你覺得怎樣？學生說：比過去清楚多了，但還是有點亂，因為桃樹是先出現行數，再出現每行的棵數，而杏樹是先出現每行的棵數，再出現行數，梨樹又是先出現行數，再出現每行的棵數，順序不一致。筆者順勢問學生：那怎么調整才更有條理、更清楚呢？學生認為，要統一。要么先出現每種樹的行數，再出現這種樹每行的棵數;要么先出現每種樹每行的棵數，再出現這種樹的行數。在分類的基礎上，學生已經萌發了有序和對應的思想。于是，筆者讓學生繼續移動板塊，學生整理為：小芳家栽了3行桃樹，桃樹每行7棵，8行杏樹，杏樹每行6棵，4行梨樹，梨樹每行5棵。桃樹和梨樹一共有多少棵？但也有學生反對說：問題是求桃樹和梨樹一共有多少棵，與杏樹無關，應該把有關杏樹的信息去掉。學生最終整理為：小芳家栽了3行桃樹，桃樹每行7棵，4行梨樹，梨樹每行5棵。桃樹和梨樹一共有多少棵？這時，筆者再問學生有何感受，學生說：有條理多了，簡潔多了，清楚多了。但仍有學生反對說：文字還是多了，不能讓人一目了然，還可以進一步簡化。于是，筆者放手讓學生進一步整理，結果如下。

有的學生認為，上表還可以繼續簡化，可以把“桃樹”“梨樹”這一列單獨合并為一列，叫“樹名”;把“3行”“4行”單獨合并為一列，叫“行數”;把“每行7棵”“每行5棵”單獨合并為一列，叫“每行棵樹”，于是整理成右表。

這時，筆者再讓學生談感受。學生認為，用表格收集和整理信息更簡潔、更有條理，也更清楚，便于解決問題，可以直接看表分別求出桃樹和梨樹的總棵數，且不容易混淆和出錯。當然，也有少數學生用畫圖的策略整理信息，同樣也體現了分類和對應的數學思想（略）。

筆者先呈現雜亂的信息板塊和各種列式，以引發學生的思維沖突，激發其產生強烈的整理信息的需要，再引導學生自主地整理信息，充分經歷列表整理信息的過程，逐步從無序到有序，從不對應到對應，從文字到列表，由繁到簡，從而讓分類和對應等數學思想一步步地“凸”出來，并愈加清晰，被學生鮮明地感悟到。這樣，學生就容易學到整理信息的具體方法，他們對表格的結構和含義了然于胸，也容易感悟到其中蘊含的數學思想。

二、不斷感悟其中的思想

（一）在對比中感悟

為了進一步凸顯列表的價值，筆者引導學生看表說含義，并與原來的文字進行比較。學生認為表格更簡單、更清楚，一目了然。筆者追問：你認為，列表時要注意什么？學生認為，要把同類的放在一起，且要注意放的順序，統一起來，這樣才更清楚。通過回顧、反思、比較和交流，策略中蘊含的數學思想“凸”出來了，并被學生初步體驗到。學生在以后整理信息時，也會自覺地進行分類，并注意對應，講究順序，從而提升整理信息和解決問題的能力。

（二）在解題中感悟

在此基礎上，筆者讓學生自主解決所求的問題，學生很快就解答出來了。有的學生分步列式計算，并說明了理由：先分別算出桃樹和梨樹各有多少棵，再相加。還有學生列出了綜合算式：7×3+5×4。雖然他們還未學過四個數的混合運算，但根據事理和題中的數量關系，他們認為應分別先算兩個乘法，再把兩個積相加。學生或運用綜合法，或運用分析法順利地解決了問題。筆者問：在解決這個問題時，你們是選擇看文字，還是選擇看表格？學生一致認為是看表格，這樣更簡單、方便和快捷。他們在解決問題的過程中，切實體會到分類和對應給解決問題帶來的好處，開始喜歡此策略。筆者再讓學生看課始板書的各種列式和結果，學生不禁笑了，說：不列表整理信息，真容易張冠李戴，錯誤百出。這樣就進一步增強了學生對這一策略的體驗，促使其更自覺地用此策略去整理信息，從而快捷地解決問題。

（三）在檢驗中感悟

檢驗是解決問題的一個重要步驟，也是必不可少的一個教學環節。它可以培養學生良好的解題習慣和學習品質。為此，教師必須切實重視檢驗習慣的培養，讓學生對解題結果負責。筆者引導學生依據表格進行檢驗，即把表中的某個條件和原來所求的問題互換，看能否由此及彼。如果能夠相互推算出來，就證明原來的結果是正確的，否則就錯了。學生依據表格探索出多種不同的檢驗方法，并感到借助表格進行檢驗簡單、快捷，從而更加喜歡列表策略。

（四）在運用中感悟

運用能增強學生對策略的體驗，能深化其對策略的理解，形成策略意識和運用能力。為此，必須高度重視策略的運用。筆者從基本應用開始，如讓學生列表整理課始呈現的信息，從而求出杏樹比梨樹多多少棵;到綜合應用，如出示“練一練”中的第1題，讓學生先根據問題自主整理信息，再解答;再到靈活運用，如直接摘錄“練一練”中第2題的關鍵信息，從而整理為：2件→270元，3件→180元。

最后到根據所求的問題，直接用分類和對應的思想在題中收集和整理信息，從而快速地解決問題。

這樣，就讓學生拾級而上，不斷攀升，淡化了外在形式，強化了分類和對應的思想，使策略中隱含的數學思想愈加凸顯，并被學生清晰地、強烈地感悟到，學生也容易學習和運用。

（五）在回顧中感悟

為了進一步凸顯分類和對應這些數學思想，筆者還有意進行拓展，引導學生回顧已學過的統計表和統計圖，如下圖（蘇教版四年級上冊第40頁的內容），具體感受其中蘊含的數學思想。如看圖中的統計表，具體說說每行和每列的含義，從而感悟分類和對應等數學思想;再看圖中的統計圖，具體說說橫軸和縱軸的含義，以及每個直條的含義，從而體會分類和對應等數學思想，感受數學思想的價值，從而增強學生自覺運用數學思想的意識。這樣設計就能讓策略中蘊含的數學思想不斷地、充分地“凸”出來，并逐步根植于學生內心。

（六）在選擇中感悟

整理信息的策略不止一種，還有其他的方式，教師在具體運用某一策略時，不能顧此失彼，或厚此薄彼，要做到既突出重點，又適當兼顧。為此，筆者在課尾特意設計了一題：姐弟倆共有60張畫片。姐姐給弟弟5張后，兩人就同樣多。姐弟倆原來各有多少張畫片？讓學生思考：你打算如何整理這題的信息？學生感到這里用列表的策略好像不太適宜，需要改用其他策略，如畫圖等?？梢姡@一做法使學生對列表策略有了更全面、更深刻的認識，學會辯證地看待策略，審慎地選用策略，提高了靈活運用策略整理信息和解決問題的能力。

由此想到，在教學“解決問題的策略”時，教師務必注重揭示策略中蘊含的數學思想，重視過程質量，要設法讓策略中蘊含的數學思想充分地“凸”出來，并被學生鮮明地感悟到，從而以數學思想的教學帶動數學知識的學習，為提升學生的數學素養服務。

（江蘇省高郵實驗小學? ?225600）