“解決問題”教學中“回顧與反思”的10個視角

田小勤

【摘? ?要】“解決問題”教學強調讓學生經歷“閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思”的全過程。其中，“回顧與反思”是數學解決問題的重要過程。聚焦“回顧與反思”，簡單闡述“回顧與反思”的教學價值及人教版教材關于“回顧與反思”的具體編排，并從“回顧檢驗”“反思梳理”“比較溝通”“質疑創新”四個思維水平層級提出“回顧與反思”的10個視角，有助于教師認識“回顧與反思”的重要性，充分發揮“回顧與反思”的教學價值。

【關鍵詞】回顧與反思;教學價值;反思視角

人教版教材給出了“解決問題”的一般步驟，即閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思，為一線教師提供了基本教學路徑。但在實際教學中，還是存在各種困難與誤區，如若干學生簡單地把“回顧與反思”等同于“驗算”，只關注計算結果是否正確;根深蒂固地認為“得到答案就是解決問題的結束”。通過訪談，教師普遍反映，學生在練習中不愿檢驗，作業也難以呈現“回顧與反思”的過程，教師無法進行監控與評價……因此，“回顧與反思”到底要做什么？它的價值何在？該如何定位？“回顧與反思”有哪些視角？這些問題都值得深思。

一、“回顧與反思”的教學價值

數學家波利亞認為，數學解題分為理解問題、擬訂計劃、實現計劃、回顧與檢驗四個步驟，又對“檢驗回顧”提出多個視角：你能擬訂其他解題方案嗎？你能利用它嗎？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？你能找到什么方法檢驗你的結果嗎？曹飛羽先生把解答“應用題”的過程分為條件和問題的收集、分析數量關系、擬訂解答計劃、解答、檢驗與評價;蔡金法教授也指出：當學生解答了一個問題后，還要尋求不同的解答方法，提出新的問題和作出推廣;單樽老師的“12條解題要訣”最后一條就是“注意總結”。他們都無一例外地強調了“回顧與反思”的重要性。

小學數學“解決問題”中“回顧與反思”的教學價值是：回顧完整解決問題的過程，重新斟酌、審查結果及獲得結果的過程，培養學生自覺回顧、主動反思的習慣;深化對所應用方法策略的理解，促進學生形成解決問題更一般層面的思路;優化個體解決問題的經驗結構，促進經驗的遷移應用;提高學生發現問題和提出問題的能力。

二、人教版教材關于“回顧與反思”的編排

人教版新修訂教材共編排“解決問題”新授課81課時，筆者逐一分析每一個例題的“回顧與反思”，并進行整理分類，具體情況如下表。

三、“回顧與反思”的10個視角

通過上述教材梳理及課堂教學實踐研究，筆者從四個思維水平層級提出“回顧與反思”的10個視角。

（一）回顧檢驗，關注過程與結果的合理與正確

回顧檢驗主要對整個解題過程進行“元認知”評價，關注解答過程是否正確，結果是否合理，具體包括下面3個視角。

（1）解決問題的思路對不對？在以往的教學中也重視檢驗，但更多地強調“計算結果是否正確”，只停留在“驗算”這樣的初級層面。其實檢驗更要“回過頭去”，重新審視整個解題過程的“元認知”。如人教版二年級下冊《混合運算》單元的解決問題“剩下的面包還要烤幾次”，是整套教材中第一次編排的典型復合問題，需要分析數量關系，提出中間問題。在回顧中，進一步明確解決問題的思路，可以是“剩下的面包數÷每次烤的面包數=剩下的次數”，或者是“一共要烤的次數-已經烤的次數=還剩的次數”，根據數量關系可以形成“先算……再算……”的解決問題思路。

（2） 算式是否正確？當確定解決問題思路正確的前提下，進一步關注算式是否完全與思路相匹配。需要重新思考每個算式表示的意義，是否已經解決了最終的問題。這個環節，還有必要檢查所用的數據是否準確。

（3）結果是否合理正確？首先要判斷結論是否合理，“合理”指既要符合生活常識，還要符合題意。比如人教版五年級下冊《分數的加法和減法》單元中的“喝牛奶”問題，題意是“一杯牛奶，第一次喝了半杯，加滿水，又喝了半杯，求一共喝了多少杯牛奶”。通過題意理解可以把握“一共喝的牛奶比半杯多，但比一杯少”。當學生算得的結果是“一杯半”或“一杯”時，只要有反思的意識，很快就能覺察結論的不合理性。其次，要關注結論的正確性。除了針對計算結果“驗算”以外，還需要用“代入”法進行檢驗。所謂“代入”法即把算得的結果當作已知信息，回到原題，根據信息之間的關系，求得某一結論，如果與題中的相關信息正好相符，說明結論是正確的。筆者梳理了人教版教材中所有“解決問題”例題的“回顧與反思”，其中有22個是指向“代入檢驗”法的，需要教師從一年級起就關注“代入檢驗”的教學，使其成為學生檢驗的基本方法。

（二）反思梳理，優化“解決問題”的經驗結構

反思梳理主要關注解決問題中的方法與策略，優化解決問題的經驗結構，具體包括3個視角。

（1）遇到什么困難，有什么啟示？正如波利亞所說：“當完成了任務，他的體驗在頭腦中還是新鮮的時候，去回顧他所做的一切，有利于探究剛才克服困難的實質，可以對自己提出許多問題：關鍵在哪里？重要的困難是什么？什么地方可以完成得更好些？為什么沒有覺察到這一點？有沒有值得學習的訣竅可供下次應用。”比如上述的“喝牛奶”問題，學生在反思中談到最大的困難是“第一次喝了半杯牛奶后，又兌滿熱水，這時杯中的牛奶和水混合在一起，就不知道怎樣表示了”。這是很大一部分學生的思維困境。因此在討論有什么啟示時，學生由衷地說道：“生活問題很復雜，要從數學的角度理解，變‘混合為‘分離，就容易了。”諸如這樣的回顧與反思，不僅僅是關乎某一個問題的具體解決，更是形成一般的思維方式，可以讓學生受益終身。

（2）應用了什么方法策略？包括對應用策略具體程序的回顧，體會策略的應用價值，以及應用策略的前提等等，進一步深化對方法策略的理解。如人教版三年級上冊《測量》單元中的“運煤”問題，是學生第一次正式學習“列表”策略。回顧與反思時，除了教材中安排的“檢驗①和④兩種方案是不是恰好運完8噸煤”以外，還要引導學生回顧用了什么策略，具體是怎樣思考的。學生的認識是“先假設一輛車，最多運幾次;然后逐一減少次數，算一算另一輛車需要運的次數;算出每種方案運的總量;最后選擇所有符合的方案”。教師及時追問：“應用這樣的策略有什么好處？”學生紛紛表達：“如果不列出來，就找不全所有方案。”教師還可以讓學生進一步思考“怎樣的問題也適合用列表法”，學生會通過舉例等方式體會“比較復雜”“有多種答案”等問題特征，利于方法策略的后續應用。

（3）解決問題的關鍵是什么？這里的關鍵既可以是解決問題所應用策略的關鍵，也可以是解決問題中整體思考的要點。如上述“運煤”問題中的“列表策略”，特別要注意的是“有序思考”，才能保證方案不重復、不遺漏。又比如人教版四年級下冊《四則運算》單元中的“租船”問題，“怎樣租船最省錢”“租便宜的船”及“空位盡可能少”，這是解決這類問題必須思考的關鍵點。

通過如上的反思梳理，不僅深化對具體方法策略的理解，還能理性思考遇到的困難、錯誤結論、應對策略以及避免出錯的經驗等等。解決真實問題中的若干體驗，只有經歷有意識的反思，方可沉淀為解決問題的經驗，從而豐富、優化學生個體“解決問題”的經驗結構，提升經驗水平。

（三）比較溝通，促進對數學本質的深刻理解

比較溝通主要關注方法與方法之間、數學問題與問題之間的聯系，探尋數學內部的生態結構，促進對數學本質的深刻理解，具體包括以下3個視角。

（1）還有更好的方法嗎？在初步解決某個問題后，需進一步思考更優的方法，或者反思有沒有考慮不周之處，使得思維更深入、更合理、更全面。比如人教版五年級下冊P37第9題，具體問題是：“茶廠工人要將長、寬各為20cm，高為10cm的長方體茶盒裝入棱長為30cm的正方體紙箱，最多能裝幾盒？怎樣才能裝下？”學生一般有兩種思路，一種是用“紙箱體積÷茶盒體積”，可以放6盒，還多出3立方分米的空間。另一種是空間想象，先沿“高”放，30÷10=3（層），可以放3層;再沿“長”放，空下來位置還可以再放一盒;最后沿“寬”放，同樣也可以放一盒，一共可以放5盒。發現兩種結果有差異，可以引導學生進一步思考，到底最多可以裝幾盒？有沒有更省空間的擺法？最后，學生通過想象、現場模擬等，最終找到了擺6盒的方法，學生在這樣的探索中形成了自我質疑、自我完善、追求更優方案的思維品質。

（2）不同解法之間有什么聯系？解決某一問題，往往會有不同的方法策略及思路。學生容易理解方法之間的區別，但鮮少思考多種方法策略之間的聯系。如“雞兔同籠”問題，低年級學生可以運用畫圖策略加以直觀解決，中年級學生可應用列表、假設的策略解決，高年級學生可應用列方程的方法解決。不同階段運用的方法策略又有什么聯系呢？低年級的“畫圖”恰是中年級“假設”策略的直觀表征，能很好地理解每個算式表示的意義;而高年級列方程中的等量關系與中年級列表策略的數量關系完全相同，都是“雞腳只數+兔腳只數=腳的總數”。更為一致的是，畫圖、列表、列方程等方法背后所蘊含的都是“假設”策略。

（3）不同問題之間有什么聯系？溝通問題之間的聯系，有兩方面的思考。其一是指溝通“情境不同但結構相同的問題”。教師需要引導學生剝離紛雜的情境，貫通問題之間的實質，體會數學問題的相同結構。如人教版六年級上冊P42例7：“第一隊單獨修12天能修完，第二隊單獨修18天才能修完。兩隊合修，多少天能修完？”在練習時，教師設計了“可可用15塊A型積木搭，樂樂用10塊B型積木搭，兩人搭的高度相同。皮皮用一塊B型、一塊A型間隔地搭，如果搭的高度與可可、樂樂的相同，那么這兩種積木分別需要多少塊？”這道“搭積木”的問題，表面上看與例題截然不同，但實際上它們之間有內在的聯系。學生解決問題后，教師引導其與例題作比較，發現“可可用15塊A型積木搭”相當于例題中的“一隊單獨修12天能修完”……從而，非常清晰地看到兩題結構上的一致性，構建相應的數學模型。

另一方面指的是溝通“運用相同策略的問題”。如教學人教版六年級下冊P27例7時，在“回顧與反思”環節，教師可引導學生思考：以前在解決什么問題時也用到過“轉化”？20以內的進位加法、多邊形的內角和、平行四邊形和三角形面積公式的推導、求不規則物體的體積……學生把若干個分散在不同年段的問題勾連起來，匯集點狀零碎的經驗，集中體會“化復雜為簡單、化不規則為規則、化未知為已知、化陌生為熟悉”的轉化思路，充分理解“轉化”策略的本質，促進解決問題經驗的內化和能力的提升。

（四）質疑創新，提出新的數學問題

《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出“四能”的目標，凸顯“發現和提出問題”的重要性。但教學實踐中，學生鮮有發現和提出問題的機會。即便有提出問題的要求，往往面對的是比較封閉的信息條件。尤其是低年級，不是“一共有多少”，就是“還剩多少”，缺乏挑戰性，課堂只是“應景”，所謂提出問題也只不過是奉命行事。因此，解決問題教學應成為“培養學生提出問題能力”的重要載體，可以在“閱讀理解”板塊根據信息提出數學問題，也可以在“回顧與反思”板塊提出新的問題。

首先，可以提供一個缺少明確數學任務或問題的情境，學生根據自己的知識經驗，創造性地提出問題。如到菜場買青菜，干的12元1千克，噴水的10元1千克，賣菜的生意人總是不遺余力地推薦“買干的吧”。為什么總是鼓動顧客買干的青菜呢？干的青菜和噴水的青菜，到底哪種比較便宜？……真實情境容易喚醒學生經驗，自然地生成問題。這樣的問題具有生活性、開放性和綜合性，需要學生整體策劃解決方案，通過問詢、實驗等方式獲得相關信息，運用數學知識方法加以解決。

其次，在解決一個問題后，鼓勵學生提出新的問題。布朗和沃爾特（Brown and Walter）研究得到提出問題的方法——“否定假設法”，即學生選擇某個信息加以改變來提出問題。如教學人教版三年級下冊P72例8：“正方形地磚的邊長是3分米，客廳長是6米，寬是3米。鋪客廳地面一共要用多少塊地磚？”解決問題后，教師及時鼓勵學生提出疑惑及新的數學問題，于是就有了以下諸多成果。

（1）客廳長6米，寬3米，用來鋪的地磚長3分米，寬2分米。一共要多少塊地磚？（改變地磚的形狀）

（2）客廳長7米，寬3米，用邊長3分米的正方形地磚鋪，一共要多少塊地磚？（改變客廳的長和寬，不全是小正方形邊長的倍數）

（3）一張卡紙長8分米，寬5分米，要剪成邊長是8厘米的正方形卡片，最多可剪多少張？（改變現實情境，需要思考“大面積除以小面積”的合理性）

……

無疑，學生提出的都是好問題，問題具有實際意義，明確又頗具挑戰性。

“回顧與反思”是數學解決問題的重要過程，既是對整個解題過程進行“元認知”評價，又是對解題后的延伸性討論，是一種積極的探究思維活動，是評價學生解決問題能力水平的重要指標。

參考文獻：

[1]丁國忠.構建完備“數學應用”體系? ?落實多維數學課程目標[J].課程·教材·教法，2016（2）：74-79.

[2]平國強. 良好的結構是數學問題解決能力的核心[J].小學數學教育，2018（9）：3-6.

（浙江省杭州市江干區教育發展研究院? ?310020）