“一組”“兩組”相機用，指向問題真解決

沈強

一、問題提出

人教版四年級下冊第91頁“平均數與條形統計圖”的第二課“踢毽比賽”情境如圖1所示。

圖1

北師大版四年級下冊第90頁“數據的表示和分析”的“記住幾個數字”情境如圖2所示。

圖2

兩個版本的教材都是通過情境引入，讓學生感受平均數學習的必要性。不同點是，前者是以兩組數據為問題情境（以下簡稱“兩組數據”問題情境），后者是以一組數據為問題情境（以下簡稱“一組數據”問題情境）。前者要求從男隊5人和女隊4人的踢毽個數比較中，分辨出成績好壞，后者要求從淘氣5次記住數字個數情況中，判斷淘氣能記住數字的個數。

哪種問題情境更適合學生平均數概念的建立和理解？筆者詢問了本校近20位數學教師，他們的意見不統一，有的認為“一組數據”問題情境適合作為新課例題教學，有的認為“兩組數據”問題情境更利于學生自學。為了弄清楚這個問題，以便取得更好的教學效果，筆者比較了教材和教學設計，進行了學生前測和數學名師訪談的研究活動。

二、教材和教學設計比較

筆者翻閱6個不同版本的教材，發現人教版、蘇教版、浙教版、西師版和青島版5個版本教材的問題情境都是“兩組數據”，僅北師大版教材使用“一組數據”問題情境（見表1）。

表1 6個版本教材“平均數”問題情境對比表

[分類 用兩組數據 用一組

數據 版本 人教版 蘇教版 浙教版 西師版 青島版 北師大版

問題

情境 踢毽子比賽（人數不相等） 套圈比賽（人數不相等） 投籃比賽（人數不相等） 擲圈比賽（人數不相等） 投籃比賽（場數不相等） 淘氣能記住幾個數字 ]

通過對比發現，兩組數據問題情境都是以比賽為背景，從比賽人數不同或比賽場數不同的情境中，讓學生感受到無法用所學過的知識，如總數來解決問題，于是產生“應該怎樣比較？”“怎樣比較才公平？”等問題，為平均數概念的學習打下基礎。學生會借助熟知的經驗——教師經常用平均分來比較本年級中人數不同的各班的某學科成績，來嘗試解決問題。

“一組數據”問題情境，呈現的是單個對象從事某種活動多次成績的一組數據，要求用一個數來衡量該對象的成績。學生可以憑借的經驗是：根據這個學期6次數學單元測試成績，自我判斷或被判斷出數學成績大概在什么水平層次。

兩種問題情境的設置各有道理。但“兩組數據”問題情境明顯多于“一組數據”問題情境。

筆者收集了從2013年到2019年間有關平均數的教學設計36篇。通過對比發現，“兩組數據”問題情境有31篇，“一組數據”問題情境只有5篇，兩者在數量上相差較大。

三、學生前測及分析

為了判斷哪種問題情境更有利于學生平均數概念的建立和理解，筆者隨機選取了本市兩所學校四年級三個班的學生共119位，進行了測查。

1.第一項測查。測查目的是想了解“兩組數據”問題情境和“一組數據”問題情境下學生的前測情況。測試題如下：

第1題：“兩組數據”問題情境

第2題：“一組數據”問題情境

第1題測試結果如下：

[選項 A.男生隊 B.女生隊 C.不能比較 占比 58.0% 22.7% 19.3% 理由 ①39.5%的學生通過計算平均數來解決問題

②13.4%的學生通過直覺判斷進行選擇

③5.1%的學生理由為其他 ①16.8%的學生通過計算總分獲得這個答案

②5.9%的學生理由為其他 ①16.0%的學生認為兩隊人數不等，所以不能比較

②3.3%的學生理由為其他 ]

第2題測試結果如下：

學生的答案各種情況都有。認為小明60米跑步成績是“13秒”的最多，占47.9%，這些學生是通過計算平均數得到的。

在“兩組數據”問題情境中，39.5%的學生想到了用平均數解決問題;在“一組數據”問題情境中，47.9%的學生想到了用平均數的意義來解決問題。從數據上看，“一組數據”問題情境比“兩組數據”問題情境正確率略高一點。

2.第二項測查。測查目的是想了解：學習“平均數”前，學生對“平均數”的認知情況。測試題如下：

對于“你知道‘平均數嗎”一題，89.9%的學生選擇“知道”，63%的學生能通過舉例或畫圖正確表示出平均數。對計算“5，9，6，6，4”這組數據的平均數，72.3%的學生計算正確，計算錯誤或不會做的占27.7%。

測試結果表明，學生在學習“平均數”前，對平均數的基本內容和平均數的計算方法已有初步了解。

總之，“一組數據”問題情境和“兩組數據”問題情境，想到用平均數解決問題的學生人數兩者相差不大。

四、數學名師訪談

“兩組數據”問題情境和“一組數據”問題情境，哪種問題情境更能促進學生平均數概念的建立？帶著疑問，筆者先后訪談了王建良、顧志能和俞正強三位特級教師。

王建良老師認為：以兩組數據為學習素材，比如男女生投籃比賽，人數不相等，哪個隊的投籃水平更高？學生發現比總數不夠合理，于是想到了“平均數”，這是學生原有生活經驗的運用。在此基礎上展開對平均數所表示的意義的討論，會使學生對平均數的認識由模糊變得清晰。用一組數據為學習素材，比如呈現一個人的多次跑步成績，用一個數據來表示跑步的水平，就此展開討論，構建起平均數的概念。

從理論上講，應該是先建立概念，然后再運用概念。按照這個邏輯，用一組數據更合理，更能體現“平均數表示一組數據的集中趨勢”的意義。但事實上，小學生的學習過程沒有這么嚴密，而且不能忽視學生原有的生活經驗。從兩組數據引入更容易讓學生感受平均數的現實意義。所以我們不宜用非此即彼的思維方式對“一組數據引入好”還是“兩組數據引入好”做判斷。

不過，如果新授部分是兩組數據，練習環節也是兩組數據，學生就會形成思維定式：當兩組數據的個數不同，不能用總數進行比較時，可以用平均數來比較。但事實上，平均數是不以比較為前提存在的。所以建議如果在新授環節是用兩組數據，那么在練習環節用一組數據，或者調換一下。這兩種教學法是不矛盾的，相信對平均數意義的認識不會存在顯著的差異。

顧志能老師認為：從“一組數據”問題情境去發現平均數，從本質上講更能體現平均數的意義，更符合平均數特征。因為讓學生從一組數據中尋找一個數作為這組數的代表，其學習過程就體現平均數代表一組數據的一般水平。對于人數不相等的兩個隊比賽，給出每一位隊員的成績，要比較哪一隊成績好。這樣的問題情境，有為數不少的學生是這樣想的：人數不相等，沒法比，可以讓女生去掉一個人，或男生加上一個人，使人數相等再比總數。在學生熟知的現實比賽中，都是人數相同的。也就是說，這樣的情境缺乏真實性，而且學生不容易想到或直接想到用平均數來解決問題。用一組統計數據表示一位同學幾次的成績，然后以“找一個具有代表性的數據”為問題，引導學生發現平均數，理解意義并掌握求法。這樣的素材可以直達教學目標，并且顯得簡單清晰，更有利于學生體會平均數與總體水平的關系。

俞正強老師認為：“一組數據”問題情境用來理解平均數的意義，“兩組數據”問題情境用來體會平均數的功能。不分好壞，適得其用。

綜上所述，采用“兩組數據”問題情境和“一組數據”問題情境作為引入都是可以的。教學時，可視學生情況而選擇。同時，要注意新授教學和鞏固練習中，交替使用兩種問題情境的題目，讓學生在不同的問題情境中體會平均數的豐富內涵和深刻含義，提高運用平均數解決數學問題的靈活性。

（浙江省嘉興市南湖區大橋鎮中心小學? ?314000）