巧用展開圖 提高想象力

金云松 陳慶憲

【摘? ?要】已知長方體的長、寬、高，學生會運用公式計算它的表面積和體積，而要從長方體的展開圖中獲取信息，重新想象長方體的形狀并計算，學生往往有一定的難度。在長方體表面積、體積計算的綜合練習課中，教師可從“根據長方體的特征分析展開圖;根據兩個面的特點想象長方體;根據多個面的關系組合展開圖”這樣三個層次進行訓練，以加深學生對長方體展開圖的認識，進一步提高學生的空間想象能力。

【關鍵詞】長方體表面積和體積;長方體展開圖;空間想象能力

在圖形的計算教學中，當學生熟練掌握了圖形的計算方法后，在具體計算時往往又會脫離想象空間。比如學生掌握了長方體的表面積和體積的計算方法后，當已知長、寬、高，學生在頭腦里馬上會展現表面積和體積的計算公式。作為計算技能，理當扎實地掌握，但如果一直保持這樣單一的訓練，學生解決問題的能力尤其是空間想象能力，就得不到有效的提高。出于這樣的思考，我們在長方體、正方體這一單元的最后幾節練習課中，特意給學生創設了逆向的、變式的練習。以下這節課就是從研究長方體的表面展開圖為切入點，通過表面展開圖或長方體的幾個面，讓學生先想象長方體的形狀和大小，再計算它的表面積和體積。教學后收到很好的效果，現把教學設計和教學過程整理如下，供大家教學時參考。

一、根據長方體的特征分析展開圖

（一）觀察分析長方體表面展開圖的特點

教師讓學生拿出練習紙，觀察圖1中的四個圖（投影同時出示），向學生提問：請你觀察這四個圖，哪些圖可以看成長方體的表面展開圖？哪些不是長方體的表面展開圖？為什么？

學生通過觀察、交流，說出①號圖和③號圖不是長方體的表面展開圖，②號圖和④號圖可以看成長方體的表面展開圖。

師：為什么？

生：把長方體的表面展開，相對的面都不會直接連在一起的。在①號圖中，相對的面直接連在一起了，所以不是長方體的表面展開圖。

師：說得很好！面與面直接連在一起，應該是長方體中怎樣的兩個面？

生：應該是相鄰的兩個面。

師：那你們在①號圖中把哪個面移動一下位置，使它成為一個長方體的表面展開圖呢？

根據學生的回答，利用投影，在①號圖中移動一個長方形的位置，使它成為長方體的表面展開圖。接著又向學生提問：為什么③號圖不是長方體的展開圖？

生：在③號圖中，相對的面大小不一樣了，所以它也不是長方體的表面展開圖。

教師讓學生指著③號圖說一說，把哪兩個面看成相對的面，發現這兩個相對的面的大小不一樣。接著教師又指出：那怎樣把③號圖改一改，使它也成為一個長方體的表面展開圖？

根據學生的回答，教師利用投影，在③號圖中改動其中兩個面的大小，使它相對面的形狀、大小完全相同。

接著教師引導學生分別針對②號圖和④號圖，找一找想象到的長方體相對的前面和后面、左面和右面、上面和下面。

（二）針對展開圖，測量并計算表面積和體積

師：請大家在②號或④號長方體的表面展開圖中，選擇一個展開圖，先測量它的有關邊的長度（在圖中標上），再計算出這個長方體的表面積和體積。

學生在練習紙上測量、計算后，教師再組織集體交流。

大部分學生都直接測量出長方體的長、寬、高分別可以是4cm，2cm，1cm，計算出表面積是28cm2，體積是8cm3。（練習紙上兩張展開圖量得的長、寬、高都分別是4cm，2cm，1cm）

當組織以上的交流后，教師投影出示圖2，向學生提問：如果在每一個圖上直接測量這樣的兩條邊的長度，你能計算出它的表面積和體積嗎？

學生觀察后回答：不能。

師：如果讓你再測量一條邊的長度，就能計算出它的表面積和體積，你想去測量哪條邊的長度？

生：我想在②號圖上測量長方體的長邊，長邊是4cm，這樣通過“（10-4×2）÷2=1”就可以知道它的寬是1cm，再通過“4-1×2=2”就可以知道它的高是2cm，這樣就可以計算出這個長方體的表面積和體積。

生：在②號圖上還可以去測量這個長方體的高是2cm，這樣就可以計算出它的長是4cm，寬是1cm，再計算它的表面積和體積。

師：是的，在②號圖上只要再測量長方體的一條棱的長度，就可以計算出另外兩條棱的長度，這樣就可以計算它的表面積和體積了。那在④號圖中已經知道了這個長方體的一條棱是4cm，為什么還不能計算這個長方體的表面積和體積呢？

生：在④號圖中可以把4cm這條邊看成長方體的長，但這4cm與圖中的6cm沒有關系，不能通過這兩條線段的長度計算出長方體的寬和高。所以還需要測量出它的一條寬或高，就可以通過與已知6cm的關系，計算出它的高或寬，這樣就可以計算出它的表面積和體積。

（評析：作為本單元的綜合練習課，學生對于長方體的表面展開圖有過多次的認識，所以我們在課始直接讓學生針對四個圖，辨別哪個圖可以看成長方體的表面展開圖。要求學生在辨別時說出，為什么其中兩個圖不能看成長方體的表面展開圖，怎樣改變這兩個圖，才能使它成為長方體的表面展開圖。這種辨析說理的過程，實質是讓學生經歷了從平面圖到立體圖的想象轉換。接著讓學生測量展開圖的有關邊的長度來計算長方體的表面積和體積，因為教師預計學生一般會直接去測量長方體的長、寬、高，所以在學生自己測量、計算后，教師又給學生提供了沒有直接測量長、寬、高的素材。通過進一步質疑交流，使學生進一步厘清長方體的長、寬、高在表面展開圖中的位置關系。）

二、根據兩個面的特點想象長方體

師：剛才我們分析了長方體的表面展開圖以及針對展開圖測量有關邊的長度，計算它的表面積和體積。下面根據長方體的兩個面，你還能想象出這個長方體的形態和大小嗎？

教師投影出示以下題目（學生的練習紙上也有以下的題目）。

題1：從下面（如圖3）的三個長方形中選擇兩個長方形做長方體的兩個面。請你先選出這兩個面，想象這個長方體的形狀，并畫出草圖，再計算它的表面積和體積。

我選擇了? ? ?面和? ? ?面，想象到的長方體形狀的草圖是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

計算它的表面積是? ? ? ? ? ?，體積是? ? ? ? ? ?。

學生經過獨立選擇、畫圖、計算后，教師在黑板上展示了學生的兩種選擇和解答過程，組織集體評價。接著教師再利用投影逐步出示圖4。

同時教師拿著A、B兩張放大后的硬紙片，一邊演示一邊與學生交流。

師：選擇A、B兩個面，如果把A面看成長方體的前面時，那B面是這個長方體的哪個面？

生：B面應該是這個長方體的左面或者是右面。

師：如果把B面看成長方體的前面時，那A面又是這個長方體的哪個面？

生：A面應該是這個長方體的左面或右面。

師：A、B兩個面有可能是長方體相對的面嗎？

生：這兩個面大小不同，不可能是相對的面。

師：把A、B兩個面看成長方體相鄰的兩個面，要注意什么？

生：兩條長度相等的邊，一定重合在一起。

教師又拿著A、C兩張放大后的硬紙片，一邊演示一邊與學生交流。（過程略）

師：為什么B、C兩個面不能成為長方體的兩個面呢？

生：因為B、C兩個面找不到相等的邊，所以不能成為長方體的兩個面。

（評析：我們知道一個長方體的形狀和大小，是從一點出發引出的三條棱，即長、寬、高的長度來決定，也就是說由從一點出發的三條棱的長度，可以想象出這個長方體的形狀和大小。而在以上素材中我們讓學生先從三個面中選出兩個面去想象長方體，學生會正確地選擇出兩個面做長方體的兩個面，其實際上就是選擇了從一點出發的三條棱。學生在這樣的選擇中會進一步領悟到，只要抓住兩個面有一條邊相等，就可以組成相鄰的兩個面，再從相鄰的兩個面想象到這個長方體的形狀和大小。在以上想象過程中教師還巧妙地借助于兩張長方形的紙片，演示拼合成相鄰的兩個面，而且這種演示可以呈現不同方位的兩個相鄰的面，使學生更便捷地想象到這個長方體。）

接著教師投影出示以下題目（學生的練習紙上也有同樣的題目）。

題2：下面（如圖5）的兩個長方形是一個長方體的兩個面，你能確定這個長方體長、寬、高的長度嗎？請你填一填。

我想到的長方體的長是? ? ? ? ? ?，寬是? ? ? ? ? ?，高是? ? ? ? ? ? ?。

我還想到了另一個長方體的長是? ? ? ? ? ?，寬是? ? ? ? ? ? ，高是? ? ? ? ? ?。

要求學生進行填空，也就是通過這兩個面想象到兩個不同形狀的長方體。學生經過獨立想象、填空后，教師再組織反饋評價。

生：我想到的這個長方體的長是6cm，寬也是6cm，高是2cm。

教師給學生兩張這樣放大后的長方形紙片，讓學生自己演示想象到的長方體。

生：我還想到另一個長方體的長是6cm，寬和高都是2cm。

教師同樣讓學生拿著這兩張長方形紙片，演示想象到的長方體。

然后利用投影，動態展示想象到的兩種長方體（如圖6）。

接著向學生提問：這兩個面的形狀、大小完全一樣，那一定是長方體相鄰的兩個面嗎？

生：這兩個面可以是長方體的一組相對的面，但如果做長方體相對的面時，這樣的長方體有無數個。

師：你們聽懂他說的意思嗎？如果把這兩個面當作長方體的相對的面，是不是長方體的形態還在變化？

學生都表示贊同，這時教師提供兩張放大后的長方形紙片，讓學生把想象到的情況一邊演示一邊表述。

生：如果把這兩個面看成長方體的前、后兩個面，那它的前后距離在變化。如果把這兩個面看成長方體的左、右兩個面，那這個長方體的長在變化。

生：我把這兩個面想象成長方體上、下兩個面，這個長方體的高在變化。

師：你們的想象是否與這兩位同學說的一樣？（學生表示贊同）

這時教師又利用投影進行動態演示（如圖7），當這兩個長方形作為長方體的前、后兩個面時，只能確定這個長方體的長和高的長度，它的寬度在變化。）

師：把這兩個長方形作為長方體的相對面，這個長方體的形態能確定嗎？

生：不能確定。

（評析：在以上的訓練中，雖然只給學生提供了兩張長方形硬紙片，卻給學生帶來了豐富的想象空間。當學生想到把2cm這條邊重合時，就會想象到這個長方體的長和寬都是6cm，高是2cm;當學生想到把6cm這條邊重合時，就會想象到這個長方體的寬和高都是2cm，長是6cm。當學生想到把這兩個長方形看成長方體的相對面時，他們想到了動態變化中的長方體。而在學生描述每一種想象時，教師又讓學生借助于兩張長方形硬紙片進行演示，使之更形象地驗證了自己的想象。）

三、根據多個面的關系組合展開圖

師：剛才大家根據兩個面想象長方體，我們知道長方體有6個面，現在把長方體的6個面拆開，藏在信封里的10個面中，請你在這10個面中重新選出6個面拼擺成一個長方體的表面展開圖，你會嗎？（投影同時出示如圖8的10個長方形）

學生經過獨立思考、動手拼擺、小組交流后，教師再讓學生展示出如圖9的兩種拼擺方法，并提問：這兩種拼擺圖都可以看成是一個長方體的展開圖嗎？

生：可以。

師：那你在拼擺展開圖時是怎樣想的？

生：我先找到有一條邊相等的兩個長方形，把它們看成長方體相鄰的兩個面，再找一樣的面作為相對面，把相對面放在相隔一個長方形的位置。這樣就可以拼擺成一個長方體的表面展開圖。

生：我是先找到形態、大小一樣的兩個面作為長方體相對的面，再找與這兩個面有邊相等的面作為長方體相鄰的面，然后拼成長方體的表面展開圖。

師：在投影里拼擺出的兩個長方體的表面展開圖中，第2個展開圖的長方體有什么特點？

生：這個長方體有一組相對的面是正方形，而且這個長方體是扁扁的。

師：下面請大家針對自己拼擺的展開圖，測量出有關邊的長度，再計算出這個長方體的表面積和體積。

學生測量、計算后，教師再組織反饋評價。（過程略）

（評析：教師對這10張長方形紙片做了精心的設計，學生從10張長方形紙片中可以選擇兩種方案拼擺成長方體的表面展開圖。在選擇與拼擺的過程中，學生需要根據長方體的特征，分析面與面、邊與邊之間的關系，才能成功地拼擺出長方體的表面展開圖。在組織學生對拼擺的思考過程進行評價后，教師又要求學生針對自己所拼擺的展開圖進行測量計算，使以上的訓練素材得到充分的利用。）

四、回顧與總結

師：通過本課的訓練，大家一定能更快地通過長方體的表面展開圖或長方體的兩個面，想象出長方體的形狀和大小，并加深理解了長方體面與面之間有以下的關系。

教師出示以下填空：

在一個長方體中，相鄰的面，一定能找到? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ;相對的面，一定是? ? ? ? ? ? ?。

生：相鄰的面，一定能找到相等的邊;相對的面，一定是形狀和大小完全相同。

（評析：借助于填空形式，引發學生對本課從展開圖想象的關鍵要點做了概括，使學生進一步總結了觀察長方體展開圖和從展開圖去想象長方體的形狀和大小的方法。）

綜觀全課，教師以研究長方體的表面展開圖為切入點，從長方體的幾個面，想象長方體的形狀和大小，并計算它的表面積和體積。訓練從長方體表面展開圖的分析開始，使學生進一步認識了長方體表面展開圖中面與面的形狀、大小和面與面位置的關系。接著選擇兩個長方形做長方體的兩個面，通過兩個面想象長方體。最后設計了從多個面中選擇6個面重新組合成長方體表面展開圖的鞏固環節。這些訓練都是為了一個目的，就是提高學生的空間想象能力。

（浙江省臨海市河頭鎮嶺景小學? ?317000

浙江省臨海市教育局教研室? ?317000）