人教版“質數與合數”教材縱向比較研究

何英

【摘? ?要】教材的縱向比較研究主要是從歷史的視角，對不同時期的教材進行分析、對比研究。一方面可以對所研究的內容有更為全面和深入的理解和掌握;另一方面可以通過分析、對比“質數與合數”這一內容的編寫異同，了解小學數學教學的歷史，感悟歷史前進的足跡。

【關鍵詞】質數;合數;不同時期;教材比較

教材縱向比較研究主要是比較不同歷史時期教材的異同。本文主要對人教版1989年和2014年教材中“質數與合數”的教材引入、概念呈現、概念鞏固、分解質因數與習題類型等內容進行分析對比研究。

一、教材的引入部分是怎樣編寫的？

教材的引入直接體現了編者對數學知識產生的認識。以下是對兩個不同時期教材關于質數與合數的引入的研究過程。

1989年版教材直接給出5個數，寫出每個數的約數，并按約數的個數分類（如圖1）。

2014年版教材要求找出1～20各數的因數，根據因數個數找規律并分類（如圖2）。

從以上的教材引入過程，可以得出它們的共同特點：教材都是從寫數的因數引入，按照因數的個數去分類，注重對學生分類思想的培養。而它們的不同點主要有以下這些。

（一）數的個數：由少到多

1989年版教材中先給出了問題：寫出下面每一個數的約數。按照每一個數約數的多少，可以分哪幾種情況？并給出了1，5，9，11和12這5個數，根據這5個數的因數個數進行分類。而2014年版教材引入部分的研究對象是從1～20這些數中找出因數，再根據它們的因數個數不同進行分類。

從5個數到20個數，量有了很大的變化，說明學生要寫數的個數，客觀思考的量上大了很多。在考察個別數的特殊例子中的因數個數的多少后，逐步地歸納出這樣一類：只有1和它本身兩個因數的數，我們叫質數。這是一個歸納的過程，它是一個從特殊到一般的過程。特殊的例子多一點，當然就有利于歸納出一般的結論。比較兩版教材數的個數增多，更有利于學生尋找規律，進行歸納和分類。

（二）問題提出：從封閉到開放

1989年版教材中的問題是：可以分哪幾種情況？明顯暗示了學生要進行分類。而2014年版教材中的問題是：看看它們的因數的個數有什么規律？相比較1989年版教材開放度更高了，更適合不同層次的學生。規律的尋找可以通過分類，也可以是按照某一個規律。筆者把20個數的因數及因數的個數羅列成下表（如表1）。

學生可能會提出：每一個數的最小的因數都是1;每一個數的最大的因數都是它本身;有些數的因數個數是奇數（平方數的因數個數是奇數）;有些數的因數個數是偶數（非平方數的因數個數是偶數）……這些都可以是學生所找到的規律。在這個表格中學生還可以有很多自己的猜測：1只有1個因數，最為特殊，單獨分為一類;有2個因數的數最多，所以也單獨分為一類;其他的分為一類……由此可見，兩個不同時期的教材在問題的提出上，從封閉到開放的過渡，更有利于培養學生的思維能力。

（三）結果呈現：從直接到間接

1989年版教材在提出問題后，緊接著對問題進行了直接回答。教材中呈現了每一個數的約數。這是對問題中的第一問“寫出每一個數的約數”作出的回答;之后將五個數進行了分類。這是對問題中的第二問“按照每一個數約數的多少，可以分哪幾情況”作出了直接回答。教材中每個數的因數和分類結果都是直接呈現的。

2014年版教材中是通過同伴之間對話的形式呈現結果的，而不是教材直接給出的。這是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。這表明：教學過程中，教師不應直接將結果告訴學生，而應該讓學生自己去學習，并且通過小組相互交流填寫表格的方式間接得出結果。

從1989年版教材直接給出結果，到2014年版教材讓學生通過交流、填寫表格間接得到結果，顯然后者更有利于學生活動的開展。

（四）學習方式：強調交流

比較兩個不同時期教材中學生的學習方式，1989年版教材中都是以提問和解答的形式呈現，不強調學生的交流。而2014年版教材注重對學生合作交流能力的培養，明顯強調學生的交流。

對比不同時期的教材，無論是從數的個數、問題提出、結果呈現還是學習方式上看，都表明現在的教材對學生學習的整體要求在不斷提高，更有利于培養新世紀人才。

二、概念的呈現是怎樣編寫的？

1989年版教材和2014年版教材都是直接呈現質數與合數的概念（如圖3、圖4）。

不同時期的教材沒有太大變化，呈現的方式基本一致，都明確呈現了質數與合數的概念，并對質數與合數分別進行了舉例。

1989年版教材中對質數與合數的舉例，選用了前面分類過的數。質數與合數各有兩個，還有一個是特殊的1。2014年版教材中不僅選用了教材分類的20個數，還用了這20個以外的數進行舉例，合數中舉例了49，說明教材要求學生具有一定的遷移能力。這不僅是對定義的理解，更是對定義的應用與強化。同時兩個不同時期的教材都強調了“1”的特殊性，進一步加深了學生對某些特殊數的認識。

三、概念的鞏固環節是怎樣編寫的？

1989年版教材中通過例2判斷6個數是質數還是合數，并給出100以內的所有質數（25個），提供學生查閱（如圖5）。

2014年版教材中學生根據合作探究和解決方法的提示語，通過篩選探究尋找出百以內的質數（如圖6）。

1989年版教材中編排了一題根據概念判斷數是質數還是合數的練習。2014年版教材中沒有編排任何判斷的練習。

1989年版教材中100以內的25個質數是直接呈現的，并注明：要知道一個數是不是質數，也可以查質數表。直接把百以內質數表作為一種工具呈現給學生。2014年版教材中出示了1～100所有的數，要求學生找出100以內的質數，做一個質數表。在制作質數表的過程中方法可以是多樣的，學生可以根據概念一個一個數去找，也可以利用教材下面給出的方法：思考、討論2的倍數，3的倍數（除2和3外），畫去這些合數，并拋出問題：畫到幾的倍數就可以了？讓學生運用多樣的方法，這是對學生學習個性的尊重和差異的尊重，因為每個學生都能從中感受到成功的喜悅。又因為差異較大，所以更能促進學生之間的相互交流。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。五年級的學生已具備一定的觀察、分析和理解能力，也掌握了學習數學的方法。同時他們對學習充滿了熱情和好奇心，迫切地希望通過自主探究，了解掌握學習的內容。因此，選擇探究性的學習方式進行教學，可以培養學生動手操作、思考、探究的能力。

四、分解質因數是怎樣編寫的？

1989年版教材中根據課題“質數和合數，分解質因數”，在例1和例2的質數與合數的內容后，安排了例3和例4的分解質因數。

例3：判斷合數，并寫出合數是由哪幾個質數相乘得到的。把合數寫成幾個質數的乘積，同時出示了質因數與分解質因數的概念（如圖7）。

例4：用短除法的形式把3個合數分解質因數，并用文字描述的形式介紹用短除法分解質因數的方法（如圖8）。

2014年版教材中在質數與合數知識后，編排的第二部分內容是奇數與偶數的運算性質。

兩個不同時期的教材對于質數與合數后續知識的編排各不相同。1989年版教材編排了“分解質因數”的內容，分解質因數是一種重要的方法技能。1989年版教材以例3和例4兩個例題呈現。而2014年版教材編排了“奇數與偶數的運算性質”。分解質因數是建立在質數與合數的基礎之上的，質數與合數概念本身不同于奇數與偶數的特征那么明顯，相對隱性不易于學生理解與感受，學生容易把這四者之間的關系混淆起來。兩種不同的編排都有各自的益處。

筆者翻閱了2014年版全冊教材，發現“分解質因數”這一內容在教材第69頁上也有呈現，但它是以“你知道嗎”這一形式補充呈現的（如圖9）。書本上的“你知道嗎”這一欄目中的內容一般分為兩類：一類是教材內容的延伸，一類是與教材內容相關的小知識介紹。學生只需要了解即可。

由此可以看出，“分解質因數”的地位在慢慢地下降。教學內容的編排取決于課程標準。于是筆者查閱了不同時期的課程標準，對于“分解質因數”的要求也是不同的。

1988年版課標（大綱）的教學要求是：掌握整除、約數和倍數、質數和合數等概念，了解它們之間的聯系和區別，掌握能被2，5，3整除的數的特征。會分解質因數（不超過兩位數）。會求最大公約數和最小公倍數。

2011年版課標的具體目標是：在1～100的自然數中，能找出10以內某個自然數的所有倍數，并知道2，5，3的倍數的特征，能找出10以內兩個自然數的公倍數和最小公倍數。在1～100的自然數中，能找到某個自然數的所有因數，能找出兩個自然數的公因數和最大公因數。知道整數、奇數、偶數、質數、合數。

可見，不同時期課程標準的要求不一樣。1988年版課標（大綱）要求學生會分解質因數（不超過兩位數），而2011年版課標中已經不提及“分解質因數”這個知識的任何目標要求了。

“分解質因數”的作用之一是運用異分母分數加減法：要通分，找最小公倍數。找最小公倍數用“分解質因數”是比較方便的。但前提是數據要相對較大，如果規定分母原則上不超過兩位數（不大于10），那么“分解質因數”的作用自然就下降了。所以2014年版教材將“分解質因數”這個內容作為“你知道嗎”來編排也就可以理解了。

五、練習類型是怎樣編寫的？

練習題的安排體現了教材編者對于知識訓練的要求，練習題的難易程度反映了教材編者對教學的要求。筆者把不同時期的教材練習題分成兩類：第一類是兩種教材都有的練習題類型，第二類是一種教材獨有的練習題類型。

（一）兩種教材都有的練習題類型

1.根據質數與合數的概念，判斷數是質數還是合數。

2.聯系奇數、偶數，判斷它們和質數與合數是否相同。

3.把給定的數填入到相應的質數與合數的圈中。

以上幾種類型的練習題，無論呈現形式是填空還是判斷，基本一致。可以看出判斷一個數是質數還是合數這是最基本的知識內容;奇數、偶數、質數與合數的練習編排，說明在學生新學兩個概念后，需要和已有概念進行對比區分。

（二）一種教材獨有的練習題類型

1989年版教材中編排了用篩選法找質數的練習題（如圖10）。

1989年版教材把用篩選法找質數的內容編排在練習題中，而2014年版教材是編排在新授課中的。可見雖然不同時期的教學要求與教學觀念有著較大的差異，但對于學生動手操作能力、思考探究能力的培養同樣重視。

2014年版教材中編排了兩道通過對話交流的形式來鞏固所學的練習（如圖11、圖12）。

教材在編排練習時，通過同伴間的對話交流形式，借助學生的已有知識和新學知識進行溝通探索，同時鞏固所學。這樣的編排引導學生綜合應用知識來解決數學問題，培養了學生的應用意識和創新意識。

通過以上對兩個不同時期教材的比較研究可見，教材的編寫有著它自身的時代氣息。1989年版教材內容全面，知識性強，層次清晰，教學脈絡一目了然。2014年版教材內容用圖片、文字、表格等多種形式呈現，重視題型的開放性和探究性，注重對學生探究性和思想方法的引導。教材內容的編排對學生的綜合素養要求越來越高。

（本文在研究過程中，得到了朱樂平老師的多次悉心指導，在此，表示衷心感謝！）

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

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[3] 朱樂平.圓的認識教學研究[M].北京：教育科學出版社，2014.

[4] 邵虹.圓的面積教學研究[M].北京：教育科學出版社.2014.

（浙江省杭州市崇文實驗學校? ?310014）