一種基于匹配濾波插值的頻偏估計方法

李 康，劉國峰，廖 燁，王 恒

(重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065)

0 引 言

啁啾(chirp)信號具有高處理增益、低發射功率和抗干擾能力強等優點，廣泛應用在雷達、擴頻通信和物聯網等領域中[1-2]。由于接收端晶體振蕩器的不穩定和相對運動的多普勒頻移會導致載波頻率的偏移，載波頻偏的存在將會影響接收端的正確解調，因此，獲得精確的載波同步具有重大意義[3-5]。

目前頻偏估計算法主要分為兩類：第一類是通過接收信號的自相關函數來構造頻偏估計量，如：Kay算法、L&W算法和M&M算法等，該類算法復雜度低，但頻偏估計精度較差；第二類是基于快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform，FFT)的估計方法，利用FFT做周期圖搜索峰值位置進行粗估計，再通過插值進行精估計。常用的插值有拋物線插值、Rife插值、Jacobsen插值和Quinn插值等[6-9]。文獻[10]提出了一種低復雜度的多步插值方法，首先通過少量的點FFT得到粗估計值，再逐漸增加采樣點數進行多步插值計算來提高頻偏估計精度；文獻[11]提出了一種在進行插值后繼續進行二分迭代搜索的高精度FFT頻偏估計算法。插值的思想可以提高頻偏估計精度，但仍存在一定的信噪比門限和估計精度不高的問題。

本文根據Chirp信號的脈沖壓縮特性，提出了一種基于匹配濾波在時域進行插值的頻偏估計方法，降低了信噪比門限并提高了頻偏估計的精度，為Chirp信號頻偏估計提供了一種新思路。

1 匹配濾波頻偏估計

匹配濾波頻偏估計主要是利用Chirp信號的脈沖壓縮特性，帶頻偏的接收信號在經過匹配濾波后也會在時域上形成沖激，表現為峰值的偏移。因此，可以通過搜索峰值位置求得時移量，從而計算出頻偏。

Chirp信號的匹配濾波器的沖激響應為發射信號的時間反演后取共軛。Up-Chirp信號的匹配濾波為Down-Chirp信號，Down-Chirp信號的匹配濾波為Up-Chirp信號。圖1所示為Chirp信號匹配與非匹配濾波輸出曲線圖， Chirp信號的脈沖壓縮特性就是匹配濾波的能量大部分被壓縮在很短的一段時間內，而非匹配濾波的能量將會被分散變得很小，可以視為噪聲。

圖1 Chirp信號匹配與非匹配濾波輸出曲線圖

接收信號經過匹配濾波輸出后，信號的離散形式g(n)可表示為

2 MFI-FOE方法

2.1 MFI-FOE原理

基于匹配濾波插值的頻偏估計(Frequency Offset Estimation based on Matched Filter Interpolation, MFI-FOE)的思想是在匹配濾波頻偏估計的基礎上，利用Chirp信號的脈沖壓縮特性在時域進行插值，即接收信號經過匹配濾波輸出后，在峰值和緊鄰峰值的左側點或右側點之間進行插值，從而計算出精確的頻偏估計值。詳細的推導過程如下：

式中，Δm為偏移峰值位置的量，Δm可為小數，|Δm|的取值范圍為0<Δm≤N-1。

1-|m±Δm|/N，當N較大時，m的值也可能較大，其值并不能近似等于1，因此，需要對g(n)進行m點的偏移，即gm(n)，此時δ=η，表示出現峰值位置與沒有頻偏時出現峰值的位置一樣，頻偏所造成的真實峰值偏移量為δ。當N較大且Δm選取較小時，1-|Δm|/N可以近似為1，則

將|gm(p/2)|和|gm(-p/2)|的比值記作β，當p/2為整數時，|gm(p/2)|與|gm(-p/2)|可以通過離散采樣點直接得到；當p/2不為整數時，需要再將gm(n)分別偏移±p/2，即將±p/2不為整數的點分別移到0點，通過計算0點的幅值來代替|gm(±p/2)|。由于只需要計算0點的幅值，為減少計算量，分別計算卷積值gp/2(0)和g-p/2(0)即可：

式中：k=0,1,…,N-1;h(k)為匹配信號；r(k)為接收信號。

由式(3)可計算出δ的估計值為

根據δ值可對離散時間得到的Δf的估計值進行插值，得到更精確的頻偏估計值。因此，校正后的頻偏估計值為

MFI-FOE原理示意圖如圖2所示，接收信號經過匹配濾波輸出為g(n)，由理論推導可知，首先將g(n)峰值對應的離散時間的索引值記為m，再進行m點的偏移為gm(n),如圖2(a)所示，然后在gm(n)中求得gm(p/2)和gm(-p/2)兩點的幅值，當p/2為整數時，可以直接通過gm(n)中的離散點獲得；當p/2不為整數時，需要將gm(n)分別偏移±p/2得到g±p/2(n)，如圖2(b)所示，即通過計算gp/2(0)和g-p/2(0)來代替gm(p/2)和gm(-p/2)兩點幅值的比值。簡單起見，可以不用考慮p/2是否為整數，將g(n)分別進行m±(p/2)的偏移，計算出gp/2(0)和g-p/2(0)的幅值，從而求得β，再計算出時間相對偏差δ，如圖2(c)所示。在峰值點位置m和緊鄰峰值的左側點位置m-1或右側點位置m+1之間進行插值，因此，真實峰值位置F可表示為m+δ。最后計算求得校正后的頻偏估計值。

圖2 MFI-FOE原理示意圖

基于上述分析，MFI-FOE方法的整體步驟如下：

(1) 將接收信號r(t)與對應的Up-Chirp或Down-Chirp進行匹配濾波，搜索峰值點位置的索引值記為m。

(2) 將匹配濾波輸出進行兩次偏移處理，偏移量分別為m±(p/2)，則通過式(4)分別計算gp/2(0)和g-p/2(0)的幅值。

(3) 通過式(5)計算出時間相對偏差δ，δ的變化范圍為-0.5～0.5。

2.2 復雜度分析

FFT運算需要做(N/2)log2N次乘法和Nlog2N次加法，所以其復雜度為O(Nlog2N)。拋物線插值、Rife插值、Jacobsen插值和Quinn插值都需要做一次FFT，所以其復雜度都為O(Nlog2N)。匹配濾波為一次卷積運算，直接計算卷積的復雜度為O(N2)，可通過卷積定理減少其復雜度，即卷積計算需要做兩次FFT、一次快速傅里葉逆變換(Inverse Fast Fourier Transform, IFFT)和N次乘法，則匹配濾波的復雜度為3O(Nlog2N)+O(N)=O(Nlog22N)。MFI-FOE方法需要進行一次匹配濾波和計算兩次一點的卷積值，計算一點的卷積值要做2N次乘法和N-1次加法，則計算兩次卷積值的復雜度為2O(N)，即MFI-FOE方法的復雜度為O(Nlog2N)+2O(N)=O(Nlog2N)。因此，MFI-FOE方法與傳統方法相比復雜度是相當的，其復雜度都為O(Nlog2N)。

3 仿真分析

為了驗證MFI-FOE方法的性能，分別與匹配濾波、拋物線插值、FFT、Rife插值、Jacobsen插值和Quinn插值進行Matlab軟件仿真對比分析。匹配濾波與FFT頻偏估計算法的估計誤差會隨實際頻偏值呈現周期性變化，周期分別為其相應的頻率分辨率。由于匹配濾波的分辨率要高于FFT，所以仿真以FFT的分辨率為主。仿真環境設定如下：碼元速率RB為150 kBaud，帶寬B為3.6 MHz，采樣頻率fs為76.8 MHz，采樣點數N為512，噪聲為加性高斯白噪聲。

在信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)為-8和10 dB的條件下，仿真δ在-0.5～0.5間的頻偏估計均方根誤差(Root Mean Squared Error, RMSE)，將δ的區間等分為201個離散點，每個離散點進行5 000次的蒙特卡洛仿真。圖3所示為不同δ下的RMSE對比圖。

圖3 不同δ下RMSE對比圖

通過以上對比可知，拋物線插值在距離峰值譜線很近即實際頻偏很小時，插值效果明顯，在其他位置時，插值效果很差，增大SNR時，其RMSE會有所降低，但沒有其他算法下降明顯。FFT由于分辨率的原因，在實際頻偏很小時估計準確，隨著相對偏差增大，估計誤差也逐漸增大。Rife插值在低SNR和實際頻偏位于譜線峰值附近時誤差較大。在低SNR下，可以看出MFI-FOE明顯優于其他插值算法，估計性能趨于穩定，不隨相對偏差δ的變化而改變。在高SNR下，MFI-FOE的插值效果與Jacobsen、Quinn和Rife的較大相對偏差處大致一樣。因此，MFI-FOE在整個相對偏差估計精度仿真中和高低SNR環境下，估計性能更加穩定。

為了進一步驗證MFI-FOE方法的抗噪聲性能，仿真了在不同SNR條件下的頻偏估計歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error, NMSE)，SNR的變化范圍為-20～15 dB，δ分別為0.05、0.25和0.45，并在每個單位SNR下進行5 000次的蒙特卡洛仿真，得到的仿真結果如圖4所示。

圖4 不同SNR下的NMSE對比圖

由圖可知，在不同SNR條件下，當δ=0.05時，拋物線插值和FFT在低SNR下性能較好，但隨著SNR增加，其性能基本保持不變， Rife性能最差，匹配濾波次之，MFI-FOE要優于Jacobsen，Jacobsen要比Quinn好。當δ=0.25時，MFI-FOE、Quinn和Jacobsen算法性能接近，Rife算法性能要在高SNR情況下才與上述算法接近，FFT與拋物線插值性能最差，匹配濾波次之。當δ=0.45時，MFI-FOE、Rife和Quinn算法性能接近，都要好于Jacobsen算法，FFT性能最差，拋物線插值和匹配濾波次之。幾種算法都存在SNR門限，即當SNR低于門限值時，頻偏估計的性能將急劇下降，但MFI-FOE方法比傳統算法的SNR門限要低2～4 dB。由以上的仿真分析可知，匹配濾波由于分辨率的原因，在SNR繼續增加時，估計性能保持不變，而本文在此基礎上進行插值的頻偏估計NMSE更接近于克拉美羅界限，在低SNR條件下依然有良好的性能。

4 結束語

本文提出了一種基于匹配濾波插值的頻偏估計方法，用于提高Chirp信號的頻偏估計精度。該方法首先將接收到的信號與對應的匹配信號進行匹配濾波輸出得到離散的脈沖壓縮波形，然后搜索峰值點位置，最后在峰值和緊鄰峰值的左或右側點之間進行插值，插值的相對偏差量可以通過本文理論推導的方式求得。與匹配濾波、拋物線插值、FFT 、Rife插值、Jacobsen插值和Quinn插值相比，MFI-FOE方法具有更高的估計精度和穩定性，同時抗噪聲性能提升了2～4 dB，因此，本文提出的MFI-FOE方法在Chirp信號的頻偏估計方面是一個較好的選擇。