一種測量圓柱腔內壁介質薄膜厚度的方法

張淑娥，喻星源

(華北電力大學 電氣與電子工程學院，河北 保定 071003)

0 引 言

微波諧振腔微擾技術[1-4]采用微波圓柱諧振腔作為濕度傳感器，適用于汽輪機末級濕蒸汽濕度的測量。由于濕度傳感器長期放置在濕蒸汽環境中，諧振腔內壁表面會沉積一層水膜和鹽垢，不僅會增加介質損耗降低品質因數，而且會使諧振頻率發生偏移增大測量誤差。當排汽壓力為4 kPa時，35 μm厚度的水膜引起的濕度測量誤差為1.262%，且隨著水膜厚度增大，此測量誤差呈指數增加[5]。若能準確測量沉積介質薄膜的厚度，就可通過理論分析扣除誤差，提高濕度測量精度。

目前國內外介質薄膜的測量方法主要有光學法[6-9]、電學法[10-12]、超聲波法[13-14]、微波同軸腔法[15]及光纖法[16-17]。光學法和電學法只適用于平面液膜厚度的測量；超聲波法可測量油膜和污垢，但在測量微米級薄膜方面精度還有待提高；微波同軸腔法易于實現，可進行濕度和水膜的在線測量，但目前的文獻只利用微波法測量平面水膜厚度。以上方法中只有光纖法可以測量曲面液膜[17]的厚度，但設備復雜且造價高。所以，迫切需要一種適用于圓柱腔內壁介質薄膜厚度的測量方法來滿足汽輪機蒸汽濕度測量的要求。

本文基于介質微擾法原理提出一種用于測量圓柱腔內壁介質薄膜厚度的方法，設計了雙曲線開縫形諧振腔傳感器，使其工作在TE111模式來測量介質薄膜厚度。

1 TE111模式測量水膜的可行性分析

假設水膜均勻分布在圓柱腔內表面，可將水膜等效為具有一定厚度的圓柱環電介質。根據介質微擾原理，當諧振腔的尺寸不變，在腔內壁環繞一層電介質時，電介質內的電場發生變化，同時引起諧振腔諧振頻率改變[18]。因此，可以通過測量諧振頻率間接確定環繞電介質的厚度。經推導發現，僅有徑向電場分量對諧振腔的諧振頻率有影響，切向電場分量對諧振頻率基本沒有影響。圓柱諧振腔內常見的模式有TE111、TE011和TM010，只有TE111模式有徑向電場分量且模式最低[19]，比較容易激勵，而且可以避免干擾模的影響，所以選擇TE111模式來測量水膜厚度。結合介質微擾公式和TE111模式的場方程可以建立起水膜厚度與諧振頻率的關系模型，具體推導過程如下：

TE111模式電場的徑向分量Er和切向分量Eφ為

假設微擾前諧振腔內無水膜時體積為V0，電場強度為E0，磁場強度為H0，諧振頻率為f0；微擾后諧振腔內壁沉積一層體積為ΔV的介質，電場強度為E，磁場強度為H，諧振頻率為f；介質微擾公式[18]為

將此公式應用于水膜測量系統中。微擾前諧振腔內填充濕蒸汽，相對介電常數為εrm；微擾后諧振腔內壁沉積一層水膜，水的相對介電常數為εr；微擾前后諧振頻率變化量Δf=f-f0。在25 ℃ 時εr約為81，εrm<1.01，由于填充介質為水，所以，微擾前后磁導率基本不變，即Δμ=0，故式(3)可簡化為

由于TE111模式下的電場可分解為徑向分量和切向分量，設微擾前徑向分量為Er0，切向分量為Eφ0；加了水膜后電場的徑向分量Er=Er0/εr，切向分量Eφ連續，即Eφ=Eφ0；所以水膜微擾公式為

將TE111模式的電場方程代入式(5)，經推導得到水膜厚度d與諧振頻率的關系式為

式中：w=kc1r；J0、J1和J2分別為0階、1階和2階貝塞爾函數。由式(6)可知，由諧振頻率可求得d。

采用HFSS軟件仿真驗證：由于此方法是用于測量汽輪機內濕度傳感器內壁d，所以延用濕度傳感器的尺寸。設計一內徑為20.59 mm、高度為41.18 mm的封閉諧振腔，腔內填充汽輪機末級的濕蒸汽，使其工作在TE111模式下。汽輪機內蒸汽濕度一般不超過15%，所以分別仿真蒸汽濕度為0、5%、10%和15%時，取不同水膜厚度對應的諧振頻率。由文獻[20]可知，當溫度為40 ℃時，不同蒸汽濕度對應的εrm分別為1.000 610 5、1.000 614 7、1.000 617 7和1.000 620 9。圖1所示為不同蒸汽濕度條件下，水膜厚度d與諧振頻率偏移量的關系曲線。

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圖1 不同蒸汽濕度條件下水膜厚度d與諧振頻率偏移量的關系曲線

圖1的仿真結果表明：對于同一d，蒸汽濕度對諧振頻率基本沒有影響；而d對諧振頻率有著明顯的影響，且隨著d的增加諧振頻率逐漸減小，d與諧振頻率偏移量呈線性關系。以上理論和仿真結果均證明，在TE111模式下通過d與諧振頻率的關系可進行d的測量。但在實際測量過程中，為保證諧振腔的流動特性，使濕蒸汽可以自由通過諧振腔且取樣準確，需要在諧振腔的兩端隔離器上開縫。開縫需要解決的主要問題是電磁輻射的問題。電磁輻射不僅會降低諧振腔的品質因數和測量精度，還會增加介質損耗，近年來電磁輻射污染已被列入四大污染之一，危害工業安全和人體健康[21]。

2 TE111模式下諧振腔端面電流密度線數學模型

為了使電磁輻射達到最小，隔離器的開縫形狀必須與諧振腔端面電流密度線完全吻合，才能保證電流線不被切斷，電磁能量不會輻射出去，所以，需要得到準確的諧振腔端面電流密度線數學表達式。由于TE111模式下諧振腔端面電流密度線的數學表達式目前還沒有文獻給出，所以本文通過數學推導建立了諧振腔端面電流密度線的數學模型。具體推導過程如下：

使諧振腔工作于TE111模式下，諧振腔端面電流密度徑向分量Jr與切向分量Jφ的表達式如下：

將Jr與Jφ代入式(11)，化簡后可得：

式中，c為常數。取不同的c值，用Matlab軟件在極坐標下畫出曲線簇，圖2所示為極坐標下TE111模式的電流密度線分布圖。

圖2 極坐標下TE111模式的電流密度線分布圖

令φ=0，設(r0,0)為曲線與極軸的交點，則c與r0滿足關系c=J1(kc1r0)，r0與c是一一對應的關系。只要確定曲線與極軸的交點即可畫出過此交點的電流密度矢量線，且所有的矢量線均不相交。r0的范圍為0～20.59，對應的c的范圍為-0.581 9～0.581 9。

至此諧振腔端面電流密度分布線數學模型建立完畢，下文利用此數學模型通過HFSS仿真軟件確定諧振腔隔離器的結構。

3 諧振腔隔離器結構建模仿真

采用HFSS仿真軟件設計一個與濕度傳感器尺寸相同的圓柱諧振腔，內徑R為20.59 mm，長度l為41.18 mm；該諧振腔內部填充濕蒸汽，工作在TE111模式下。由于同軸線可以傳輸橫電磁波TEM模式且工作頻帶較寬，所以選用尺寸較小的同軸線做激勵。同軸線采用環耦合方式耦合到諧振腔，通過磁場耦合激勵起TE111模式。對耦合環的金屬直徑R2及環直徑R1進行優化，優化后得到：當R2為0.2 mm、R1為2.2 mm時，諧振腔在低頻段只能激勵起TE111模式，且附近沒有別的干擾模式。激勵耦合結構的具體尺寸如圖3所示，藍色部分為導體材質黃銅，白色部分為內置絕緣體材料聚四氟乙烯(Teflon)。在實際工程中采用網絡分析儀來檢測諧振腔的諧振頻率。經理論計算得知，此諧振腔工作在TE111模式下的諧振頻率在5.641 GHz，所以使用網絡分析儀掃描時將掃頻范圍設置在5.641 GHz附近的區間內，此時得到的諧振頻率即為諧振腔工作在TE111模式下的諧振頻率。

圖3 激勵耦合結構的尺寸

3.1 隔離器金屬條數量及定位

由于諧振腔兩端的隔離器結構相同，所以取一端的隔離器為例進行討論。由電流密度線分布特征可知：與x軸重合的電流密度線電流密度最強，沿中心線到兩側方向電流密度逐漸減弱。所以先確定一與x軸重合的中間金屬條，其他金屬條均關于中間金屬條對稱，且按中間密兩端疏的原則排列。分別設置隔離器金屬條數為5、7、9和11，隔離器厚度暫設為15 mm，圖4所示為不同金屬條數的諧振腔隔離器，4種結構的諧振腔均工作在TE111模式下，且電場性能良好。

圖4 不同金屬條數的諧振腔隔離器

用HFSS軟件仿真：設置一長為200.00 mm、寬為126.59 mm、高為160.00 mm的空氣腔作為輻射邊界，為了防止諧振腔激勵端口處有能量反射從而影響仿真的輻射量結果，將輻射邊界中與激勵端口平行的面與端口所在平面重合。設置外界輸入功率為1 W，分別統計不同金屬條數諧振腔的輻射功率W和耦合進諧振腔的輸入功率Pin。定義電磁泄露率η為

表1所示為不同金屬條數諧振腔對應的η。由表可知，當金屬條數為9時，η最小，說明輻射特性最好，所以確定兩端隔離器的金屬條數均為9條。

表1 不同金屬條數諧振腔與電磁泄露率η對應表

3.2 隔離器厚度的確定

圖5 雙曲余弦縫隙諧振腔隔離器正視圖

圖5所示為雙曲余弦縫隙諧振腔隔離器正視圖。此水膜測量諧振腔的隔離器可看成多個類似于矩形波導的不規則波導，這些波導都為截止波導，以其中一個波導為例進行分析。圖中紅色虛線框內為中間金屬條與相鄰金屬條構成的波導1，將此截止波導近似看成矩形波導的分析。諧振腔的工作頻率約為5.6 GHz，對應的工作波長為5.36 cm。波導1中a的范圍為3～5 mm，對應的TEn0模的最大截止波長為10 mm。由于工作波長λ大于矩形波導的最大截止波長λc，所以，此波導處于截止工作狀態，且TEn0模的場為衰減的場。依據式(15)計算出各波導對應的最小衰減系數α：

由于各波導內場的幅度沿z軸方向呈指數衰減，根據它們的關系即可得到各波導對應的最大衰減距離，如表2所示。

表2 各波導對應的最大截止波長、

由表可知，最長衰減距離為18.74 mm，只要隔離器厚度h大于這個長度，η就可以趨近于0。下面用HFSS軟件對此理論進行仿真驗證。設h為2～33 mm，間隔為1 mm，圖6所示為輸入功率為1 W時h與W的關系曲線。由圖可知，當h從2 mm增大到33 mm時，輻射功率呈指數衰減，最后趨近于0，與理論相符。綜合考慮輻射功率和加工成本問題，取h=19 mm，此時的η為6.79e-5%，基本接近0。

圖6 h與輻射功率的關系

3.3 傳感器結構

在測量圓柱腔內壁d時，傳感器的結構和性能非常重要。既要保證良好的電磁特性和輻射特性使輻射量達到最小，又要保證良好的流動特性使取樣準確。基于良好的電磁特性、輻射特性和流動特性，本文提出一種雙曲余弦形開縫結構的諧振腔傳感器，圖7所示為諧振腔結構示意圖，端面上圓筒內的黑色線條為金屬條，金屬條寬度均為1 mm，白色部分為縫隙。

圖7 諧振腔結構示意圖

由于本文測量圓柱腔內壁d的方法是應用于汽輪機末級的濕度傳感器，所以此水膜測量諧振腔的放置位置應與濕度傳感器一致，都放置在汽輪機末級的排氣缸內。圖8所示為諧振腔的放置位置結構總覽圖，使諧振腔兩端開口面與蒸汽流向垂直，保證濕蒸汽順利進入諧振腔。此外，若該諧振腔應用于其他場合的介質薄膜測量，其也應放置在進氣口，迎風即可。

圖8 諧振腔的放置位置結構總覽圖

為了減小取樣誤差，保證諧振腔傳感器良好的流動特性，使濕蒸汽兩相流可自由通過諧振腔且流動阻力小，將金屬條的寬度設為1 mm，并在諧振腔入口處加楔形取樣前端[22]，用Fluent軟件對諧振腔的流動特性進行仿真。取諧振腔楔形取樣前端入口角度為26.5 °，流場為長1 200 mm、半徑240 mm的圓柱體，計算區域采用六面體結構化網格，流場計算采用壓力-速度耦合方程求解；邊界條件采用壓力遠場邊界，主蒸汽壓力為5 000 Pa，主蒸汽溫度為33.15 ℃，馬赫數0.2，水滴半徑為0.3 μm。飽和水滴運動軌跡如圖9所示，由圖可知，濕蒸汽兩相流可自由通過諧振腔，諧振腔的流動特性良好。

圖9 飽和水滴運動軌跡圖

4 介質厚度對諧振頻率的影響

為了驗證此諧振腔開縫以后性能良好，仍可準確測量水膜厚度d，取d為10～200 μm，間隔為10 μm，分別仿真相同尺寸的封閉腔和開縫腔取不同d時對應的諧振頻率，將仿真結果的數據處理成d與頻偏的關系曲線，如圖10所示，頻偏指諧振腔內壁無水膜和有水膜時對應的諧振頻率差值。由圖可知，封閉腔和開縫腔水膜厚度d與頻偏基本都呈線性關系，且變化趨勢相同，但開縫腔的頻偏整體比封閉腔的頻偏小2 MHz，這是由于諧振腔隔離器縫隙間的空氣引起的頻率偏移。由3.2節可知，隔離器可看作多個不規則的截止波導，這些截止波導內截止的TE波主要儲存磁場，可等效成電感器件。諧振腔可等效為由電感、電容和電阻并聯的諧振回路，現由于截止波導使電感增大，所以導致諧振頻率減小。但這并不影響水膜的測量結果，本文關注的是d與頻率偏移量的斜率。仿真結果表明，開縫基本沒有影響到諧振腔原本的良好特性，符合設計要求。

此雙曲余弦形縫隙諧振腔不僅可以測量圓柱腔內壁d，還可以測濕度傳感器內壁鹽垢、汽輪機內的潤滑油模和污垢等。濕度傳感器內壁沉積鹽垢的成分主要有CuO、MgO、Fe2O3和CaO等[5]，汽輪機內污垢的主要成分跟鹽垢相似，除此之外還包括一些酸不溶物和氧化物。以表3中的介質為例，仿真這些介質不同膜厚時對應的諧振頻率，并將仿真數據處理成介質薄膜厚度與頻偏的關系曲線如圖11所示。

表3 介質物理參數表

圖11 介質薄膜厚度與頻偏關系曲線

由圖可知，表3中的介質薄膜厚度與諧振頻率偏移量均呈線性關系，相對介電常數較小的介質薄膜對應的關系曲線斜率較小，相對介電常數較大的介質薄膜對應的關系曲線斜率較大。以上仿真結果表明此雙曲余弦開縫形諧振腔可準確測量圓柱腔內壁水膜、鹽垢、油膜和污垢等介質薄膜的厚度。

5 結束語

本文基于介質微擾法的原理設計了雙曲余弦形縫隙諧振腔傳感器，使其工作于TE111模式來測量介質薄膜的厚度。首先，結合TE111模式的電場和介質微擾原理理論推導了諧振腔內壁水膜厚度與諧振頻率的關系，并通過仿真驗證了濕度對TE111模式下測量水膜沒有影響；然后，通過矢量場方程的方法建立了諧振腔端面電流密度分布線的數學模型，并根據此數學模型經仿真優化確定了諧振腔隔離器開縫的結構，仿真結果表明，此諧振腔傳感器電磁特性、輻射特性和流動特性均良好，此諧振腔的電磁泄漏率基本為0，取樣誤差為-1.25%；最后，研究了不同介質薄膜厚度對諧振頻率的影響，發現不同介質薄膜的厚度與其對應的頻率偏移量均呈線性關系，與理論相符。此方法可用于測量任何圓柱形金屬內表面的介質薄膜，包括鹽垢、污垢、油膜和氧化層等，具有廣泛的應用價值。