一種改進的分數階雙線性數字預失真方法

王 恒，徐方雨

(重慶郵電大學 通信與信息工程學院，重慶 400065)

0 引 言

為了充分利用頻譜資源，目前現代通信系統廣泛采用非恒定包絡的調制方式[1]，而該調制方式對射頻功放的性能提出了更高的要求[2-3]。在實際應用中，一方面，為了提高功放的效率，往往會使其工作在臨近飽和區，此時功放的輸入輸出不是線性關系；另一方面，由于信號帶寬增大，功放將會表現出強記憶效應。因此，功放的非線性記憶效應會影響信息的正確傳輸，導致帶內失真和帶外頻譜擴展[4]。

在現有線性化技術中，數字預失真技術使用最廣泛[5-6]。目前常用的數字預失真模型有：Volterra級數、記憶多項式(Memory Polynomial，MP)、廣義記憶多項式(Genneral Memory Polynomial，GMP)、分數階記憶多項式(Fractional Order Memory Polynomial，FMP)和傳統的雙線性多項式模型等。Volterra級數[7]有很好的建模能力，但運算量比較大；MP模型是Volterra級數的簡化形式[7]，只包含Volterra級數矩陣主對角線上的參數，簡化了模型復雜度，但建模誤差較大；GMP模型[8]雖然考慮了功放的記憶效應，但由于交叉的引入導致了運算量過大；FMP模型[9]雖說在建模能力上有了提高，但對于強動態非線性的建模能力仍然有限；傳統的雙線性多項式模型引入了反饋項，但不能表征高階非線性特性。針對現有研究中存在的問題，本文提出了一種改進的分數階雙線性多項式模型。

1 改進的分數階雙線性多項式模型描述

最常用的數字預失真模型大多數為MP模型，因為該類模型能夠很好地表征射頻功率放大器的非線性記憶效應，許多文獻提出的模型都是基于MP模型。其中，FMP模型也是在常用MP模型的基礎上進行改進的，由于功放偶數階次項帶來的非線性失真不明顯，所以可將偶數階次改為分數階次來提高對非線性失真的抑制能力，但對功放的強記憶效應并沒有很大的改善。傳統的雙線性多項式模型同樣也是在MP模型的基礎上進行的改進，與MP模型不同的是，它將過去時刻的輸出項和輸入—輸出交叉項引入一階線性輸入序列，是一種帶有反饋結構的非線性系統模型，由于雙線性多項式模型只能通過交叉項來表征系統的非線性，所以對高階非線性特性的建模不夠精確。

1.1 FMP模型

FMP模型的表達式為

式中：x(n)和y(n)分別為該模型的輸入和輸出信號；k為該模型的非線性階數，k∈[0,K],K為k的最大整數值；q為該模型的記憶深度，q∈[0，Q]，Q為q的最大整數值；akq為該模型的系數；mod(k,2)為k對2的取模運算。

1.2 傳統的雙線性多項式模型

傳統的雙線性多項式[10]模型的表達式為

式中：cj為該模型輸出項的系數；ai為該模型輸入項的系數；bij為該模型反饋交叉項的系數；i為該模型輸入項的記憶深度，i∈[0，Q]；j為該模型輸出項的記憶深度，j∈[0，K]；N1和N2為該模型反饋交叉項的記憶深度。表達式中第1和第3部分均表示反饋項，第2部分表示輸入項。

1.3 改進的分數階雙線性多項式模型

FMP模型雖然在建模能力上有一定的提高，但對功放的強記憶效應不能很好的建模；傳統的雙線性多項式模型僅僅是一個一維模型，其只有純粹的輸入輸出數據，其非線性特點只能通過交叉項來進行表征，對系統的高階非線性建模精確度不高。本文采用傳統的雙線性多項式模型的反饋解決問題思路，結合FMP模型的優點，提出一種改進的分數階雙線性多項式模型，該模型兼顧了以上兩種模型的優點，顯著降低了模型系數數量，提高了建模的精確度，同時也能更好地表征功放的非線性特性和強記憶效應特性。

改進的分數階雙線性多項式模型的表達式為

式中：akxqx為該模型輸入項系數；akzqz為該模型輸出項系數；kz和qz分別為該模型輸出項的非線性階數和記憶深度，且kz∈[1，Kz]，qz∈[1，Qz]，Kx和Qz分別為kz和qz的最大整數值；kx和qx分別為該模型輸入項的非線性階數和記憶深度，且kx∈[0，Kx]，qx∈[0，Qx]，Kx和Qx分別為kx和qx的最大整數值。

2 系統辨識結構及迭代算法

2.1 系統辨識結構

圖1 系統辨識結構示意圖

在實際的工程應用中，由于并不知道功放具體的行為模型，只是假設在結構上存在一個與預失真器完全一樣的后預失真器，所以通過分析直接學習和間接學習結構各自的特點，本文采用間接學習結構進行系統模型參數辨識。

2.2 系統辨識算法

用于系統自適應辨識的算法有很多種，但是最常用的有最小二乘 (Least Square，LS)、最小均方 (Least Mean Square，LMS)和遞推最小二乘(Recursive Least Square，RLS)算法。

(1) LS算法

LS算法是一種實用算法，它是通過求實際值與模型計算值之差的平方和達到最小值作為最小二乘法的解[13]。

(2) LMS算法

LMS算法以計算復雜度較低、性能較穩定和硬件實現相對較簡單等優點而被廣泛應用于各種自適應辨識系統算法中[14]。LMS算法的思想主要是利用隨機梯度下降法來使代價函數最小化。

(3) RLS算法

通過與LS及LMS算法對比可知，LS算法系統辨識算法是最簡單的，但在算法求解的過程中需要進行矩陣求逆，而矩陣求逆過程比較復雜，需要消耗大量的時間且求解相當困難；LMS算法雖然計算量較小，但收斂速度較慢，且會受到收斂步長的限制導致收斂精度不高；而RLS算法雖然迭代時的計算量加大，但無論在收斂速度還是收斂精度上效果都比較好，所以綜合考慮，本文將RLS算法辨識用于改進的分數階雙線性模型的仿真驗證中，該算法具體的推導過程如下：

RLS算法是通過n-1時刻的數據去估計n時刻的數據并經過多次迭代得到的，有關RLS算法詳細的推導過程見文獻[15]，最終的迭代過程和公式如下：

3 仿真分析與驗證

3.1 模型評價

評價模型精度的標準有很多種，本文使用歸一化均方誤差(Normalized Mean Square Error，NMSE)來衡量所建模型的精度。NMSE的表達式[16]為

式中：NMSE單位為dB，其能很好地反映模型與實際模塊的接近程度，其值越小越好；y(n)為實際測試得到的模型輸出信號；ymodel(n)為模型計算的輸出信號；N為樣本的數量。

3.2 仿真結果分析

為了驗證以上所提方案的合理性，本文通過Matlab 2018a軟件產生大量的正交頻分復用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)信號進行驗證分析。考慮到數據量過大，本文截取了其中4 096組數據進行仿真分析，將所截取的帶寬為1.85 MHz的信號作為系統輸入信號，采用間接學習結構并結合RLS算法實現預失真參數提取。選取輸入輸出信號的幅度-幅度 (Amplitude Modulation to Amplitude Modulation Effects, AM-AM)曲線、幅度-相位(Amplitude Modulation to Phase Modulation Effects, AM-PM)曲線、NMSE、鄰道功率泄露比(Adjacent Channel Power Ratio，ACPR)等指標進行驗證分析。

(1) AM-AM、AM-PM曲線

AM-AM和AM-PM曲線是用來反映功放非線性記憶效應特性的表現形式，對于理想的線性系統來說，其AM-AM曲線發散程度比較小，近似為一條比較理想的直線，AM-PM曲線同樣也是一條近似為零的直線[17]。

系統在未進行預失真處理的情況下，功放輸出的AM-AM與AM-PM曲線如圖2所示。

圖2 預失真處理前的曲線圖

由圖2(a)可知，預失真處理前功放輸出的AM-AM曲線是一條較發散的曲線，且非線性關系，其輸出信號的幅度隨著輸入信號幅度的增加將會達到飽和狀態，即輸出信號幅度的增加速度越來越慢。在實際工程應用中，為了提高功放的效率，一般會使功放工作在臨近飽和區。

由圖2(b)可知，預失真處理前功放輸出的AM-PM曲線是一條近似為零的曲線，功放在小信號輸入的情況下，輸入信號受之前輸入信號的影響較大，所以曲線較發散，這也更進一步表明了功放的記憶效應較明顯；而在大信號輸入的情況下，輸入信號受之前輸入信號的影響較小，曲線的發散程度也較小。

經過預失真處理之后功放輸出的AM-AM與AM-PM曲線如圖3所示。

圖3 預失真處理后的曲線圖

由圖可知，經預失真處理后功放輸出的AM-AM和AM-PM曲線發散程度較小，近似為一條理想的直線。所以，經預失真處理后，功放的非線性記憶效應得到了很好的校正，使得系統更接近于理想的線性系統。

(2) NMSE參數

使用本文提到的數據結合改進的分數階雙線性多項式模型，并使用間接學習系統辨識結構，應用RLS自適應辨識算法進行建模分析。表1將本文提出的改進的分數階雙線性多項式模型分別與MP、GMP、FMP以及傳統的雙線性多項式模型在模型的參數設置、NMSE值和模型系數個數這3個方面進行比較，來驗證建模的效果。

表1 不同模型性能比較

由表可知，改進的分數階雙線性多項式模型和其他幾種多項式模型相比，NMSE值均有所提高，系數個數均比這幾種多項式模型少，和傳統的雙線性多項式模型相比NMSE提高了2.6 dB，系數減少了34.3%。可見，本文提出的模型無論是在建模的精確度上還是在計算復雜度方面均有一定的改善。

實現功放線性化效果的目的之一是減小信號的帶外頻譜擴展，如果帶外頻譜擴展比較嚴重則會使信道內的信號功率泄漏到相鄰信道，影響信號的傳輸效果。而衡量頻譜擴展能力的指標為ACPR[18]，圖4和5展示了原始信號、功放輸出信號以及預失真處理后輸出信號的功率譜密度圖。

圖4 預失真處理前后功率譜密度圖

圖5 預失真處理前后功率譜密度局部放大圖

由圖可知，系統未經預失真處理時對帶外頻譜擴展的抑制效果非常差，但在經過預失真處理后，功率譜更接近于輸入信號的功率譜特性，明顯比未經預失真處理時的效果好。所以，經預失真處理后，對功放的帶外頻譜擴展的抑制效果有了顯著改善。

(3) ACPR

ACPR表征了系統的帶外頻譜擴展能力。表2列出了幾種不同模型在偏離載波上下2.35 MHz時的ACPR值。

表2 不同模型在偏離載波上下

由表可知，改進的分數階雙線性多項式模型和其他幾種多項式模型相比有較好的抑制帶外頻譜擴展的效果，其ACPR值均有一定的改善，與傳統的雙線性多項式模型相比，ACPR值改善了約5 dB。

4 結束語

本文介紹了幾種常用的基于MP的預失真器模型，在FMP和傳統的雙線性多項式模型的基礎上，提出了一種改進的分數階雙線性多項式模型，該模型采用了間接學習系統辨識結構和RLS自適應辨識算法提取預失真器的模型系數。實驗結果表明，與傳統的預失真模型相比，改進的分數階雙線性多項式模型減少了模型系數，降低了計算復雜度，能夠更有效地改善功放的非線性記憶效應，使功放輸出達到理想的線性化效果，具備良好的實際工程應用前景。