在“操作”中建構“規律”
——《三角形的內角和》教學

吉守兵 蔡金林

【探學內容】

蘇教版四年級下冊第78、79 頁。

【探學過程】

一、探學鋪墊

1.出示動態結構圖。

（動態呈現“點”——“射線”——“平角”——“鈍角”——“直角”——“銳角”——“三角形”）

圖1

師：仔細觀察，把你的發現分享給大家。

生：我發現由“點”引出射線，引出180°的“平角”，變成一個“鈍角”，又變成一個90°的“直角”，再變成一個“銳角”。

師：猜一猜這個銳角有多少度？到底是多少度？有什么辦法呢？

生：用量角器量一量。（學生用量角器量出銳角度數，并介紹量的方法）

師：（由“角”變成三個不同的“三角形”）這還是角嗎？

生：三角形。

2.建立“內角”概念，引入課題。

師：今天，我們從角的角度進一步認識三角形。

圖2

師：為了方便研究，我們把三角形的三個角標上符號，用∠1、∠2、∠3 來表示，這三個角都在三角形的內部，我們把它叫做三角形的三個內角。你認為三角形的內角和指什么呢？

生：三角形三個內角的度數和，就是∠1+∠2+∠3 的度數和。

師：下面我們就一起來研究三角形的內角和。（板書課題：三角形內角和）

二、探究學習

1.從特殊開始，引發猜想。

●研究三角尺上的三角形內角和。

探學要求：

（1）指一指：每塊三角尺上的三個內角。

（2）說一說：三角尺上每個內角的度數。

（3）算一算：每塊三角尺上三個內角的度數和。

（學生按活動要求獨立操作）

圖3

生：第一塊三角尺上三個內角是90°、60°和30°，90°+60°+30°=180°。

生：第二塊三角尺上三個內角是90°、45°和45°，90°+45°+45°=180°。

●研究兩塊三角尺拼成的三角形內角和。

師：這兩塊三角尺都有一個角是直角，通過計算，內角和都是180°。如果把兩個這樣的三角尺拼起來，拼成的大三角形內角和是多少呢？

探學要求：

（1）拼一拼：用兩個同樣的三角尺拼成一個較大的三角形。

（2）標一標：標出拼成的較大三角形的每個內角的度數。

（3）算一算：算出拼成的較大三角形的內角和。

（學生按要求自試自探）

師：請小組內交流，做好分享準備。

圖4

生：我是這樣拼的，拼成的大三角形的三個內角都是60°，60°+60°+60°=180°。

生：我是這樣拼的，拼成的大三角形的三個內角是120°、30°和30°，120°+30°+30°=180°。

師：關于三角形的內角和，我們舉了三角尺的例子，通過計算這兩個三角形的內角和等于180°，而兩個相同的三角尺拼起來的大三角形內角和也等于180°，那其他的三角形內角和會是多少度呢？請你們猜一猜。

生：我猜其他三角形的內角和也是180°。

2.由特殊到一般，驗證猜想。

師：同學們都認為其他三角形的內角和也都是180°。這是大家根據特殊三角形得到的一個猜想。（板書：猜想 三角形的內角和等于180°？）

師：猜想是我們學習研究的開始，猜想對不對，還需要我們進一步的驗證。（板書：驗證）

師：請看這三個三角形，不知道它們的度數，就不能像剛才那樣，通過已知的度數算出來了，請你想辦法驗證你的猜想。

圖5

圖6

圖7

探學要求：

（1）想一想：獨立思考驗證三角形內角和是180°的方法。

（2）選一選：任選一個三角形操作。

（3）做一做：按自己思考的方法操作，并把過程寫在《探學單》里。

（4）說一說：驗證的方法。

（學生自主探尋驗證三角形內角和是180°的方法。自試自探）

師：請把你們驗證三角形內角和是180°的方法在組內進行交流。（實施第一次互助互探）

（學生組內交流后，教師呈現預設資源或學生生成的有效資源1）

我的選擇我的方法我的過程我的結論圖5 圖6 圖7√量一量我用量角器量得：∠1=62°，∠2=90°，∠3=28°，∠1+∠2+∠3=62°+90°+28°=180°。這個三角形的內角和是180°。√量一量我用量角器量得：∠1=80°，∠2=60°，∠3=40°，∠1+∠2+∠3=80°+60°+40°=180°。這個三角形的內角和是180°。√ 量一量我用量角器量得：∠1=40°，∠2=119°，∠3=21°，∠1+∠2+∠3=40°+119°+21°=180°。這個三角形的內角和是180°。√量一量我用量角器量得：∠1=62°，∠2=90°，∠3=30°，∠1+∠2+∠3=62°+90°+30°=182°。這個三角形的內角和是182°。√量一量我用量角器量得：∠1=81°，∠2=60°，∠3=40°，∠1+∠2+∠3=81°+60°+40°=181°。這個三角形的內角和是181°。√ 量一量我用量角器量得：∠1=38°，∠2=119°，∠3=21°，∠1+∠2+∠3=40°+119°+20°=178°。這個三角形的內角和是179°。

師：我們來看看他們是怎么做，怎么想的呢？在組內再次交流。（實施第二次互助互探）

師：請把你們組內交流的結果與全班同學分享吧。（實施交互群探）

生：他們都是用量一量的方法，先分別量出三角形三個內角的度數，再算出三個內角的和。我發現得出的三個內角的和有的是180°，有的比180°多一點，有的又比180°少一點，這是什么原因呢？

生：可能是我們測量方法的問題，也可能是我們測量后讀數的問題，造成測量結果的誤差。

師：測量的方法會有誤差，還不能正確的驗證我們的猜想。那有沒有更好的方法來驗證我們的猜想呢？

（教師呈現預設資源或學生生成的有效資源2）

師：請看這些同學的方法，在組內交流。（實施第三次互助互探）

我的選擇我的方法我的過程我的結論圖5 圖6 圖7√畫一畫?我把三角形的三個角畫到一起，正好畫成一個平角，平角是180°，所以∠1+∠2+∠3=180°。這個三角形的內角和是180°。√ 拼一拼我把三角形的三個內角撕下來，把三個頂點拼在同一點上，正好拼成一個平角，平角是180°，所以∠1+∠2+∠3=180°。這個三角形的內角和是180°。√折一折我把三角形的一個內角的頂點折向它的底邊并與底邊上高的垂足重合，再把另兩個頂點折向這個垂足并重合，這時三個內角正好拼在底邊成一個平角，所以∠1+∠2+∠3=180°。這個三角形的內角和是180°。

師：現在，請把你們組內交流的結果分享給大家。（實施交互群探）

生：畫一畫的方法，把圖5 三角形的三個內角畫在一起，正好得到一個平角，平角是180°，說明這個三角形的內角和是180°。我認為三個三角形，三個內角畫在一起，都能得到一個平角。

生：拼一拼的方法，把圖5、圖6、圖7 任意一個三角形的三個內角撕下來，把三個頂點拼在同一點上，也正好得到一個平角，平角是180°，所以這個三角形的內角和是180°。

生：我覺得拼的時候三個內角既不能有重疊，邊與邊之間又不能有縫隙。

生：折一折的方法，應該是把圖6 三角形任意一個內角的頂點折向它的底邊，再把另兩個頂點折向這個頂點，這時三個內角正好拼在底邊成一個平角，就驗證這個三角形的內角和是180°。

生：要先找一個內角對邊上高的垂足，然后再把這個頂點折向底邊并與底邊上高的垂足重合……

生：我發現圖5、圖6、圖7 三種三角形都可以通過畫一畫、拼一拼、折一折的方法，把三個內角拼到一起，構成一個平角，驗證三角形的內角和是180°。說明三角形的內角和是180°。

師：剛才，驗證的是老師提供給你們的三角形，通過驗證，這三個三角形內角和的確是180°。現在請拿出課前準備的三角形，（舉起來）你們做的三角形各不相同。選擇一種你喜歡的方法快速地驗證它的內角和。

探學要求：

（1）做一做：選擇你喜歡的方法驗證。

（2）議一議：在組內交流你的驗證方法和結果。

（3）說一說：用下面的語言格式匯報你再次驗證的結果。

（語言表達：我用……方法，驗證我做的三角形內角和是……）

生：我用折一折的方法，驗證了我做的三角形內角和是180°。

……

師：你們自己做的三角形，大小可能不同，形狀也可能不同，但是，通過你們的驗證，它們的內角和也都等于180°。

3.了解歷史，感悟內化探學方法。

師：在歷史上，有許多科學家也都研究過三角形的內角和。例如：法國數學家、物理學家帕斯卡，他在12 歲的時候，就通過自己的研究，發現任意三角形的內角和都是180°。想知道他是怎么研究的嗎？

（播放帕斯卡研究過程的錄音和課件）

師：帕斯卡也是從特殊想起，通過推想、驗證，得出結論的。

4.通過驗證，得出結論。

師：現在，我們能得出什么樣的結論了？

生：任意三角形的內角和都等于180°。

師：在數學學習中，重要的不是我們知道什么，而是我們是怎么知道的。回顧一下，我們剛才經歷了怎樣的一個過程，才得到三角形的內角和等于180°這個結論的？

（組內交流，集體分享）

生：我們先在特殊三角形的操作活動中引發猜想——三角形內角和是180°，然后在動手操作中探尋驗證猜想的方法，最后得出結論三角形內角和等于180°。

生：我們還經歷了自試自探、互助互探、交互群探的自主學習、互助合作的探究學習過程。

三、探學達標

1.計算。

（1）如圖8：∠1=75°，∠2=40°，∠3=（ ）。

（2）如圖9：∠1=∠2=∠3，求∠3 的度數。

（3）如圖10：你知道∠？的度數嗎？

圖8

圖9

圖10

2.操作。

（1）你能畫出有兩個內角是直角的三角形嗎？

（2）你能畫出有兩個內角是鈍角的三角形嗎？

（3）你能畫出有兩個內角是銳角的三角形嗎？

探學要求：

（1）畫一畫：根據要求動手畫一畫。

（2）說一說：你發現什么？

四、探學總結

1.同學們，今天的這節課，我們一起研究了……通過學習你們都有哪些收獲？

2.拓展延伸。

圖11