危樓高百尺 手可摘星辰
——兼評方愛英、倪婷兩位老師《圖形的運動（三）》一課

劉 松（特級教師）

眾所周知，宋徽宗趙佶喜愛書畫，常出題考畫家。有一次考試，他出的題目是“深山藏古寺”。結果，一個畫了四面高山、懸崖峭壁，中間有座寺院；另外一個畫了峰巒起伏、松柏挺立，并有古寺一角；唯有第三位未畫山也未畫寺，他畫了數節石階通向小溪，一個和尚在挑水，古寺藏而不露反而躍然紙上。三位畫家的水平，尤其是想象力立見分曉。想象力是一種高級的認識能力，是大腦對原有表象進行加工改造，形成新形象的心理能力，它滲透到學習活動的方方面面，尤其對創新、創造和發明有巨大作用。

想象力如此重要，數學學習對學生的想象力的培養是否不該也不能缺席？回答自然是肯定的。

小學數學教學中，有一個核心詞與上述想象力頗為相關，就是空間觀念。中華人民共和國成立以來，歷次頒布的小學算術（數學）教學大綱中，最早出現“空間觀念”一詞的是1956 年印發的《小學算術教學大綱（修訂草案）》。原文是：“在小學里學習幾何教材，除了可以使兒童獲得幾何方面的一些初步知識和應用這些知識的技能之外，還可以發展他們的空間觀念。”從此，“空間觀念”就一直沿用至今。義務教育段的數學課程標準，核心詞從6 個變為10 個，始終都有“空間觀念”。

一般認為，數量關系與空間形式是數學研究的兩大基本范疇，盡管現代數學的研究對象已經有了極大的拓展，但數量關系與空間形式仍是數學不可動搖的基本內容。培養、發展學生的“空間觀念”作為小學數學“圖形與幾何”領域的核心或者說終極目的，一點也不為過。曹培英老師說：從心理學的視角看，與空間觀念有著緊密聯系的概念有空間知覺、空間表象與空間想象。空間知覺是指關于物體、圖形的形狀、大小及距離、方位等位置關系的知覺。空間表象是在大量空間知覺的基礎上，形成的關于物體、圖形的形狀、大小及相互位置關系的印象。在認知心理學中，表象既是信息加工的成果，又是信息加工的過程。空間想象是指在事物或圖形的影響下，在言語的調節下，頭腦中已有空間表象經過加工、改造、結合，產生新表象的心理過程。一般來說，從空間知覺到表象再到想象，這三種認知水平是遞進發展的。顯然，空間知覺是空間表象的基礎，空間想象是空間表象的發展。空間表象“承前啟后”，空間想象“至高無上”。相信，即將頒布的核心素養視域下的義務教育段新課程標準，一定也會對“空間觀念”持續關注。

小學階段的圖形與幾何領域的教學內容非常豐富。其中，圖形的運動是其重要部分。小學階段一共學習三種圖形運動的方式：軸對稱、平移和旋轉。這三種圖形的運動方式都是發展學生空間觀念、培養想象力的好材料。三種圖形運動方式，既有不同之處，也有相同之妙。如果學生掌握了圖形運動的方法，理解了圖形運動的本質，就可以在頭腦中自如轉換，空間觀念就會得到良好的發展。

從學習難度而言，學生會感覺圖形的旋轉最難。所以，人教版教材安排在了五年級下冊的第五單元，作為圖形的運動（三）出現。學生學習該內容，如果有困難，大致會出現以下三類情況：一是有的學生根本想象不出圖形如何旋轉、以及旋轉后的樣子（尤其是“面”的旋轉）；二是即使有的學生可以想象出來，但是畫不出來（尤其是“面”的旋轉）；三是有的學生即便畫出來了，但是對是錯，還是渾然不知。究其原因，何故？經過訪談得知，無外乎學生缺失了空間知覺、空間表象及空間想象力。于是，如何通過豐富學生的空間知覺和強化學生的空間表象來有效促進學生的空間想象，就成了本節課的重要任務。

雖然方愛英、倪婷兩位教師的教學設計不盡相同，具體的教學中亦有許多待改進之處，但都比較好地做到了空間知覺、表象和想象三種認知水平的兼顧與遞進。

方愛英老師的教學，自始至終秉承“想象先行、虛實相融”的理念，盡可能讓學生先想象、再操作，不斷地鼓勵想象，豐富空間知覺；不停地搭建想象的支架，強化空間表象。

新課伊始，教師就創設學生熟悉的情境，借用動作直觀，豐富學生的空間知覺。新課展開環節，首先認識旋轉三要素之一的旋轉方向，教師充分借用視覺直觀，豐富學生的空間知覺……類似豐富學生空間知覺的做法還有很多，限于篇幅，不再贅述。但一節課如果僅僅停留在知覺層面，是遠遠不夠的。空間觀念的最終形成，空間表象是關鍵。“動手操作”和“發揮想象”都是形成空間表象的重要方式。在實際教學中，到底是讓學生先動手操作，獲得感性經驗后，再讓學生想象，還是先讓學生想象旋轉后圖形的樣子，再讓學生動手操作進行驗證？到底哪種方法更能體現價值？表象既是信息加工的成果，又是信息加工的過程。從這個意義上，孰先孰后，都是可以的。方老師選擇了“想象先行”，貫穿課的始終。

按照方老師自己的觀點，空間觀念既有“實”的一面，也有“虛”的一面。本節課的“實”，指的是學生能用旋轉的三要素描述圖形的旋轉，能根據描述畫出旋轉后的簡單圖形；“虛”指的是支撐學生理解和操作的空間想象能力。虛實相融，轉換提升，方能有效實現發展學生的空間觀念。所以，本節課的實踐，雖然倡導“想象先行”，但絲毫也不否認動手操作的價值和意義，依然安排了大量的實踐操作過程。方老師清醒地意識到了空間想象能力雖是“虛”的，但并不會憑空產生，一定需要實在的操作活動來豐盈，需要真切的空間表象來支撐。

倪婷老師的教學，更凸顯空間表象“承前啟后”的價值和作用。學生理解旋轉的三要素是本節課的學習重點，是學生后續想象和畫圖的思維基礎，必須切實掌握。學生對旋轉中心的理解，是相對容易的，稍難理解的是旋轉方向和角度。倪老師巧妙地運用了知識的遷移，在四年級下冊《圖形的運動（二）》的學習中，學生對軸對稱圖形和平移已有深入認識，尤其是平移，它與旋轉在基本要素上有相通之處。平移有平移的方向和距離兩個要素，旋轉是否也有相應的要素呢？答案是肯定的。只不過旋轉的方向不再是上下左右等多個方向，而是只有順時針和逆時針兩個方向；圖形旋轉時，圖形上每個點走過的距離不一樣，所以用角度來統一表示更合理，這樣從平移的兩要素輕松過渡到旋轉三要素，不僅降低了學習難度，更重要的是讓學生清晰地建構了旋轉三要素的表象。

針對學生畫“面”旋轉時的難點，倪老師首先強化線段旋轉的表象，然后以線段旋轉作為橋梁，引導學生把“面”的旋轉分解轉化為線段的旋轉，從而有效地搭建起了思維的支架。

如此信息加工的過程，也成了信息加工的成果，在學生頭腦中留下了“面”旋轉的深刻表象。有了該空間表象的支撐，學生再遇到其他“面”的旋轉時，就有了思維的抓手，就可以輕松地表征。

強化空間知覺和表象，促進空間想象，倪老師的課堂，還有一處值得點贊。就是在練習環節，把軸對稱、平移和旋轉三種圖形的運動方式進行了對比，通過視覺直觀，讓學生透過現象看本質，三種圖形運動的運動方式雖然不同，但都擁有運動前后圖形大小不變，只是圖形位置變了的屬性。而深刻知覺了這一共同屬性，形成表象，不僅讓學生感悟了圖形運動的本質，還會極大地提升學生的空間判斷力。

當然，兩位教師的教學還略顯傳統，不夠開放和包容。如果課前能充分了解學情，然后以學定教，適當“留白”，相信一定可以上出結構更優化的課堂。但即便如此，兩位教師的目標定位及教學導向均值得肯定，尤其是兩位教師運用不同的手段，豐富學生的空間知覺、強化學生空間表象的做法，更值得點贊！因為，只有學生的空間表象豐富了，學生的空間想象才可能多彩起來。

李白有詩云：危樓高百尺，手可摘星辰。詩仙寫詩，不僅詩風豪放，想象豐富，還蘊含著樸素的科學道理。試想，危樓若是不足夠高，何以手可摘星辰？所以，圖形運動的教學，乃至整個圖形與幾何領域的教學，教師都應盡量且充分地積累和強化學生的空間表象，學生才可能摘到空間觀念的“星辰”。