充分挖掘教材 探求分數本質
——以《分數的認識》教學為例

陳 飛

一、厚積薄發，探求分數本質

1.何謂分數。

分數概念起源于“分”，在表達平均分結果的時候，遇到了分的結果比1 還要小的情況，這只用自然數顯然是不夠的，于是引進了分數。這時候認識的分數，都是把一個物體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份，這就是分數的初步認識。后來擴展到不但可以把一個物體平均分，如果把一些物體、一個計量單位等看成一個整體，平均分后，其中的一份或者幾份，可以理解為是這個整體的幾分之一或幾分之幾。

（1）平均分：把單位“1”平均分成b 份再取出a 份。

（2）部分與全體的比較：全體為b 時，a 是b 的部分。

（3）小數的另一種記法。

（4）除法運算的結果：表示a除以b 的商。

（6）測量：用來測量一個不滿一個單位量的量的數值問題。

2.“分數的認識”教學分為幾個階段。

為使學生更好地理解分數的含義，教材采用螺旋上升的安排，分兩個階段學習：

第一學段，結合具體情境初步理解分數的意義，能認、讀、寫簡單的分數。

第二學段，進一步認識小數和分數；探索小數、分數和百分數之間的關系，并會進行轉化（不包括將循環小數化為分數）。

教材中的教學內容與編排順序是：認識幾分之一，認識幾分之幾（三年級上）；分數的意義，分數與除法的關系，真分數、假分數和帶分數，分數與小數的互化（五年級下）。

3.教材編排的依據。

教材這樣編排是基于學生的思維發展順序，學生認識分數的過程，通過思維發展方式依序分為四個階段：

（1）用面積的“部分—整體”表示分數，認識分數的面積模型。

（2）用集合的“子集—全集”表示分數，理解分數的集合模型。這也是“部分—整體”的另一種形式，與分數的面積模型密切相關。但學生在理解上難度更大，關鍵是單位“1”不再是一個物體了，而是把幾個物體看作單位“1”，所取的“一份”也可能是“幾個”。集合的“子集—全集”表示的就是分數的“集合模型”，這需要學生有更高的抽象思維能力。

（3）用數線上的點表示分數，感受分數的數線模型。

用數線上的點表示分數就是分數的“數線模型”。它把分數化歸為抽象的數，需要學生具有更高的抽象思維水平。

（4）用除法和比表示分數。

二、巧妙約取，另辟教學蹊徑

1.聯系自然數來初步認識分數。

《分數的初步認識》是學生第一次建立分數的概念。教材編排有以下特點：

（1） 由一個物體組成單位“1”。如一個月餅、一張紙片等。

（2）只出現常見的分母比較小的分數（分母一般不超過10）。

（3）只認識真分數和分子分母相等的假分數。

（4）不正式定義分數，只通過直觀手段建立初步的分數概念。

課堂結構一般是：

（1）巧設生活情境，引出分數。

（2）借助整數經驗，創造分數。

（3）在豐富的數學活動中深化認識，理解分數。

［案例1］情境與沖突?！斗謹档某醪秸J識》教學片斷。

出示主題情境圖，并引導學生思考：

①把4 個蘋果平均分給2人，每人分得幾個？

②把2 瓶礦泉水平均分給2人，每人分得幾瓶？

考慮到工程施工中預埋套筒與連接鋼筋對位時可能出現偏位情況，因此針對該試驗選取試件H400-16、H400-16-2和H400-16-4，研究其在偏移距離0 mm、2 mm、4 mm條件下的試件承載力。結果如圖13所示。

結合學生的交流，教師揭示：每份分得同樣多，數學上叫做“平均分”。

③把1 個蛋糕平均分給2人，每人分得多少？

結合學生的交流，自然引出“一半”。

④每人分得的蘋果、礦泉水可以用以前學過的數來表示，那“一半”該用怎樣的數來表示呢？

學生交流各自的想法，教師結合學生的交流，揭示課題：認識分數。

“平均分”是初步認識分數的基礎，在分配蘋果、礦泉水和蛋糕的過程中，教師巧妙引導，喚醒學生“平均分”的經驗，為初步認識分數做好鋪墊，使學生實現由自然數到分數的和諧過渡。

［案例2］探索與建構。《分數的初步認識》教學片斷。

①直觀感知，初步認識。

引導：我們把蛋糕平均分成了幾份？“一半”是其中的幾份？

②動手操作，深化認識。

③觀察判斷，拓展認識。

學生交流，并說明判斷理由。

2.分數的意義教學要從單位“1”的意義建構著手。

《分數的意義》是學生對分數學習的不斷深入與推進，真正揭示分數的意義。其特點是：單位“1”變成了一些物體，正式定義分數，用規范化的數學語言建構分數的意義。

教學時，重點突出單位“1”的抽象，通過建構分數的“面積模型”、“集合模型”和“數線模型”，使學生理解單位“1”作為標準量和單位量的內涵。不僅要學生用形式化、規范化的數學語言表達對分數意義的認識，更應引導學生深入建構每一個具體分數的意義。課堂結構一般是：

（1）回顧面積模型（一個物體）。

（2）建立集合模型（一些物體）。

（3）感受數線模型（分數的本質）。

（4）深化對分數意義的理解。

［案例3］分數的“面積模型”→“集合模型”。《分數的意義》教學片斷。

師：（往學生面前一站）認識嗎？張老師能用自然數來表示嗎？

生：用“1”表示。

師：除了人以外，還有什么也可以用“1”來表示呢？

生：1 塊黑板……

師：還能說嗎？

生：我們的一個班級也能用“1”來表示。

師：3 個蘋果能用“1”表示嗎？

生：能。

師：怎么看起來3 個蘋果就是“1”？

生：放在一個盤里。

生：看成1 行。

師：把3 個蘋果看作一個整體，就能看成“1”。

（把3 個蘋果框起來）

師：那6 個、9 個、18 個蘋果……也能看成“1”嗎？

生：能。

師：如果把3 個蘋果看作“1”，那6 個蘋果應該看作幾？

生：2。

師：為什么？

生：3 個蘋果是“1”，6 是2 個“1”，就是“2”。

師：（出示12 個蘋果）有4 個這樣的“1”，就是幾？

生：4。

師：有5 個這樣的“1”，一共是幾個蘋果？

生：15 個。

師：3 個蘋果看成的“1”就成了一個計量單位。在數學上，可以稱作單位“1”。

單位“1”的含義應建立在對“1”（面積模型）的理解上，因此教師由表示一個物體的自然數1 引入，然后過渡到可以表示一些物體（集合模型）組成的整體的自然數“1”，“1”的內涵獲得了一次重要的拓展和提升。那么如何幫助學生實現由“1”向單位“1”的實質性跨越？教師將學生置身于實際計量的數學活動中，讓學生通過觀察、比較認識到無論把什么看作“1”，只要包括幾個這樣的“1”，就可以用“幾”來表示，從而在計量的背景下幫助學生豐富對單位“1”內涵的把握。

［案例4］建構分數的數線模型?！斗謹档囊饬x》教學片斷。

生：把數軸延長，在2 個“1”這么長，就是2。

師：如果不滿單位“1”就用分數來表示，如果滿了單位“1”，有幾個單位“1”就是幾。

生：很簡單!只要把它平均分成3 份，再表示出這樣的1 份就行了。

（學生上講臺來指）

三年級學習分數，建立在面積模型（部分—整體）維度上，但隨著分數學習的不斷深入，在五年級的學習中，應該讓學生體會到分數的集合模型和數線模型，讓學生認識分數的本質，在抽象層面上建構起一般分數的意義。

三、仔細回味，教材研讀味無窮

1.博觀而約取，領會知識內涵。

教材研讀要著眼于對文本內涵的挖掘，抓住知識的本質，開發出能達到更廣泛、更深刻的教育目的的知識內涵。比如在確定《分數的意義》的教學方法前，得先問問自己，分數的本質何在？分數的意義到底是什么？你是否已經準確把握了教學內容？其實，我們應該在“怎么教”前先思索“教什么”，了解教學的內容，挖掘內容的本質，爭取做到教得清楚，讓學生學得到位。

2.厚積而薄發，發展深度課堂。

教師在領會知識內涵后，才能更好地梳理教學體系，把教材中零碎的數學知識進行歸類，明確知識在體系中的地位，分析不同層次的教學要求，確定每節課的具體目標，并且落實到位。