尋找點與數的關系 發展學生的思維能力
——《點的位置與數的關系》教學

嚴 虹

【教學內容】

浙教版四年級上冊第91 頁《智慧樂園二》。

【教學過程】

一、引入

師：同學們，今天我們進入第四單元《智慧樂園二》的學習，將要研究點的位置與數之間的關系。它們之間究竟會有怎樣的關系呢？讓我們一起來看一看。

【設計意圖：點的位置與數之間的關系在實際中比較難找到生活原型，因而直接開門見山引出本課要學習的內容。】

二、第一關：研究方格條中點的位置與數的關系

1.觀察“1”“2”的表示方法。

師：首先進入第一關。仔細觀察，像這樣代表1、這樣代表2。

2.思考“3”的表示方法。

師：想一想，3 該怎么表示？

生1：把點放在第3 格。

生2：我覺得在第1 格和第2格都畫上點，這樣就表示3。

師：有了兩種不同的意見，你們同意誰的意見？說說你的理由。

生3：我同意生2 的想法，不需要再往前移一格了，利用現在的格子就可以表示出3。你看第1格點子表示1，第2 格點子表示2，這樣1+2=3，如果把這兩格都畫上點子就可以表示出3 了。

師：我看到大部分同學都同意他的觀點，對嗎？老師的想法也和你們一樣，把第1 格和第2 格上的點子加起來就可以表示出新的一個數。

3.討論“4”的表示方法。

師：那么4 又該怎么表示呢？

生：我覺得從右往左數，第3格畫上1 個點子就可以表示4。

師：你的意思是這樣嗎？

師：向大家介紹一下你的想法，好嗎？

生：剛才第1 格和第2 格都有點子時，是表示3，那么我們用兩個格子已經沒有辦法表示出4，就要往前移一格了。

師：真棒！你們又發現了點子與數的一個秘密，當現有方格中的點沒有辦法再表示出數時，我們就要往前新增加一個格子，來表示一個新的數。現在想一想，利用這3 個格子里的點，我們可以表示出哪些數呢？

［學生分別表示出1、2、3、4、5（1+4）、6（2+4）、7（1+2+4）］

師：（小結）通過剛才的研究，我們發現每一格都對應了一個數，還有一些數可以通過加法來得到。

4.自主研究。

師：那么這些格子中的點子又分別表示幾呢？請獨立完成《學習單（一）》的任務一。

任務一：想一想，填一填每個小方格代表幾？

（1）學生獨立完成后，同桌互相交流，說說自己的想法。

（2）全班交流。

（出示結果）師：你發現了什么規律呢？

生：我發現這些數自己加自己，就是后面一個數。

師：什么叫自己加自己，能說得更清楚一些嗎？

生：1+1=2，第2 格點子就表示2；2+2=4，第3 格點子就表示4；4+4=8，那么第4 格點子就表示8，就是這樣下去。

生：自己加自己本身，就是自己乘2 的意思。

師：同學們，根據你們的發現，我們已經得到方格條中每一格的點子都對應著一個數，通過格子中的點所表示的數，我們還可以用加法創造出很多數。

5.完成《學習單（一）》的任務二和任務三。

任務二：根據每一行的點子，計算出結果。

任務三：在下面的方格條中表示出25。

學習要求：

（1）獨立完成任務二和任務三。

（2）完成后，小組內說想法，并介紹做題時有什么好辦法。

【設計意圖：本環節創設了闖關的方式，旨在激發學生學習探索的積極性。學生是第一次研究方格條中點的位置與數之間的關系，教師引導學生學習“1～7”這些數的表示方法時適當放慢節奏，引導學生通過觀察、發現、交流、討論等，逐步理解不同位置（方格）上的點是與一個數相對應的，還可以通過加法把不同位置上點表示的數加起來，表示出更多的數。如果不能表示時，則需要增加格子，來表示一個新的數，初步理解這種記數的規則，并在探索中感受數表示的唯一性。】

三、第二關：研究幾層中點的位置與數的關系

1.整體觀察“1～6”的表示方法。

師：第一關我們順利過關。接下來讓我們一起進入第二關，看看我們將要研究的是什么？

師：這個圖形中點的位置與數之間又會是怎樣的關系呢？

生：我發現了從右往左起，第1 列的點子表示1；第2 列點子表示2；把它們加起來就能表示3；第2 列兩格都畫點就表示4，因為2×2=4；5 就等于1+4；然后因為第1 列和第2 列都畫滿了，那么6 就要到第3 列才能表示出來。

師：他的想法和你們一樣嗎？誰還能來說說？

生：我覺得這個圖形中的第1 列每一格的點子表示1；第2 列每一格表示2；第3 列每一格表示6。

2.研究第4 列每一格表示幾。

師：很棒！這個圖形里每格中的點子與數的關系一下子就被大家發現了。你們是不是真的都發現了呢？想一想第4 列的每一格表示幾呢？

生：我覺得應該表示7。

生：不對，7 只要用第3 列一格的點子和第1 列一格的點子表示，我覺得應該表示19。

師：說說你的想法。

生：你看第3 列每一格表示6，有3 個6 就是18，那么第4 列一個點就表示19。

生：我覺得應該表示24。我們不是只看第3 列的，應該假設前三列每一格里都有點子，這樣最多就表示23。

師：是這個意思嗎？

師：你能具體說一下，怎么得到23 的嗎？

生：1+2×2+6×3=23。

教師根據學生的回答，出示下圖。

生：因為前面3 列假如都有點子了，最大只能表示23，24 就無法表示，就要用第4 列一格的點子來表示，所以我覺得第4 列每一格的點子表示24。

師：通過觀察、思考，我們已經知道這個圖形每列格子中的點分別代表幾？你又發現了什么規律呢？

生：我發現它們之間有倍數關系，1×2=2；2×3=6；6×4=24。

師：原來后一列格子中的點子代表的數與前一列點子代表的數之間存在著倍數關系。那么你猜想一下，第5 列每格中的點子代表幾呢？

生：120，24×5=120。

3. 獨立完成教材第91 頁智慧樂園二第（1）（2）題。

（1）在□中填數。

（2）在下圖中表示出100。這個圖最多可以表示多少？

4.全班交流。

師：第（2）小題你們是怎么思考的？

生：我在想100，就要從24開始找，這樣就要把第4 列4 格都畫上，這樣就有96 了，然后在第2 列2 格都畫上就有4，96+4正好是100。

師：剛才他有一個很好的辦法，從第4 列每格代表24 開始思考的，這樣很快就能表示出100。這個思考過程，我們還可以用除法表示出來。（板書）

100÷24=4（格）……4

代表24 的點子要畫4 個

4÷2=2（格）

代表2 的點子要畫2 個

師：這個圖最多可以表示幾？

生：24×4+6×3+2×2+1=119，最多可以表示119。

5.完成《學習單（二）》的任務，用上面的方法畫圖表示185。

【設計意圖：本環節旨在引導學生將方格條中點與數關系的學習活動經驗遷移到新模型的學習之中。因而在“1～6”的表示方法時，將點圖整體呈現給學生，引導學生獨立思考，發現點的位置與數的關系，并重在引導學生能清晰地表達出自己的觀點。在教學中充分展開了“24”是怎么表示，根據一個數如何尋找點的位置等探索過程，引導學生通過互相交流、質疑、思辨，發展學生歸納、推理、運算、交流等重要的能力。】

四、總結

師：今天我們研究了什么？像這樣的內容在數學中還有很多，我們一起來看看。（出示課件）

1.寫出下面圖形表示的數。

2.標出表示80 的不同點陣。

師：你也可以嘗試自己設計一些，讓好朋友來做一做。

【設計意圖：本環節引導學生回顧整理學習內容，并介紹其他模型中的點與數，作為本課的延展，旨在通過此課的學習能激發學生自主探索的欲望。】