“規律”教學，讓“合情推理”更豐實

管小冬

小學階段，限于學生的知識基礎和認知水平，一些數學規律、結論的發現往往要依靠“不完全歸納”得出。一次隨堂聽課中，一位年輕教師對《加法運算律》一課的教學處理引發了我對這部分內容的教學中“如何引導學生經歷探究過程，發展推理能力”“如何在‘合情推理’的過程中發展學生的數學思考”“如何正確處理‘合情推理’與‘演繹推理’的關系”等問題的思考。

【課堂】

課始，教師呈現教材主題圖（如下圖），引導學生據此提出用加法計算的問題。

28 個男生跳繩

17 個女生跳繩

23 個女生踢毽子

師：求跳繩的有多少人可以怎樣列式？

生：“28+17”或“17+28”。

師：雖然列式不同，但求的都是跳繩的人數，不計算你認為它們結果相等嗎？

生：相等。

教師表示質疑，要求學生通過計算確認。在學生計算后，教師將兩個算式用等號連接起來。

隨后，學生列出兩種算式求“共有多少個女生？”并通過觀察、計算得出17+23=23+17。

師：觀察剛才這兩道等式，你有什么發現？

生：交換兩個加數的位置，和不變。

師：僅靠兩道算式的觀察，依據還不夠充分。所以這個發現暫時只能看作是我們的“猜想”。還必須進一步去驗證。（板書：觀察、猜想、驗證）我們可以怎樣驗證？（學生交流）

師：僅靠幾個例子的驗證還不夠，還需要通過更多的例子去驗證。（學生分小組研究、交流）

師：有沒有同學所舉的例子是不相等的？（教師進而指出，剛才我們的猜想是正確的）

隨后，教師在學生嘗試抽象、概括的基礎上，板書：a+b=b+a，并指出這就是加法交換律。

【剖析】

推理能力是《數學課程標準（2011 版）》提出的十個核心詞之一。“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力”更是第二學段“數學思考”方面的重要目標。以上教學片斷，似乎恰可作為當下數學教學中，教師重視培養、發展學生推理能力的一個例證。在類似的課堂中，教師鄭重地板書“觀察”“猜想”“驗證”這幾個關鍵詞的現象也已是屢見不鮮。課后交談中，這位年輕教師也表示《加法運算律》一課中，知識與技能方面的目標對學生而言基本沒有難度，因此設計時就更偏重于“引導學生完整經歷合情推理過程，積累數學活動經驗，發展推理能力”這一方面。

然而，正如鄭毓信教授所提醒——“我們往往在不知不覺之中將‘學生的自主探究’變成了‘假探究’。”在探究、發現、理解數學規律的過程中，如何立足學生現有的知識基礎和認知水平，設計、開展相應的數學活動，使其真正感悟“觀察、實驗、猜想、驗證”等環節的價值與意義，力避陷入“假探究”的境地，恰是我們最需要深入思考的問題所在。

剖析以上教學片斷，我以為，至少有以下幾方面的問題需要我們進一步深入思考。

首先，加法運算律（特別是交換律）于學生而言，有著較為豐富的現實經驗。無論是一年級時學習的“一圖四式”，還是后續加法學習中“交換兩個加數進行驗算”，以及在解決一些與加法有關的實際問題時，學生早已形成了這樣的認識：對一個具體的加法算式而言，兩個加數誰先誰后，并不影響計算的最終結果。德國數學家康托爾就認為“加法交換律”是不證自明的。在他構造的實數系統中，加法交換律a+b=b+a 就是一條公理。鄭毓信教授也認為，“無論就教材或是實際教學活動而言，所說的‘運算律’應當說早已得到默認。”教學中，當學生在教師的要求下，就兩數相加的某一具體問題列出兩種算式時，于他們而言，結果相同顯然是不算自明的“事實”。此時，教師質疑并要求學生計算后再確認，在他們看來，多少顯得有些幼稚甚至是可笑。而鮮有學生對教師的行為提出質疑的原因，我想多半仍與教師的權威有關。

因此，我們必須思考，學生即將學習的“加法運算律”與他們“默認”的“事實”間有何不同？只有理清了這一問題，才能更好地設計并引導學生開展“真探究”的數學活動。

顯然，這里我們探究的是自然數集合內的“加法運算律”，它是“通過對一些等式的觀察、比較和分析而抽象、概括出來的運算規律。”“默認”的“事實”既是指學生已經具備了豐富的現實經驗，也是指學生借助加法運算的意義對運算律有初步的認識與理解。所以，教學中，引導學生借助這一“默認事實”，在觀察、比較、分析的基礎上嘗試歸納，進而以批判的眼光去思考、辨析其存在的合理性，要遠比否認這一“默認事實”而要求其通過計算確認要重要的多。

其次，合情推理是小學階段學生歸納、概括運算律以及其他一些數學規律、結論的主要方式。觀察、實驗、猜想、驗證是學生進行合情推理的幾個重要環節。但我們仍需結合具體內容進一步細化思考：怎樣引導學生學會觀察；如何用數學語言描述觀察的結果、提出猜想；對自己或同伴的猜想，如何從多種角度去思考、辨析其正確與否；在經由合情推理獲得結論的基礎上，又如何讓數學思考及合情推理能力獲得更進一步的發展。即只有對合情推理各環節的方法、價值、意義的深度探尋，才會讓教師的教與學生的學不至于落入“假探究”的境地。

回到上述“加法運算律”的教學，我們不難發現，在學生提出“交換兩個加數的位置，和不變”后，教師簡單化、片面化的處理，難免會讓學生有“得來全不費功夫”之感，不利于嚴謹、求實的科學態度的培養。我們應讓學生意識到，先前活動中形成的初步發現，僅是對部分具體等式觀察、對比和分析后的結果，還需進一步思考、驗證這一發現是否具有普適性，即“在自然數范圍內，任意兩個數相加，交換它們的位置，和都不變”。如此，方能將學生的思考從具體上升到抽象，從特殊走向一般，獲得推理能力的更大發展。同時，驗證環節中，也應讓學生認識到，雖然集全班之力舉出了很多例子進行驗證，但兩個自然數相加的算式個數是無限的，我們仍需追問“會不會存在一個交換兩數位置后，和不相等的算式？”借助這樣的追問，引導學生由形式上的歸納、概括轉向事理、意義層面的思考，并嘗試用自己的方式去說明加法運算律的合理性。在這樣的過程中，進一步豐富對數學推理的認識與感悟。

【對策】

小學階段的數學學習，在數與代數、圖形與幾何、統計與概率領域中，有不少數學的規律、方法、結論需要學生通過合情推理得出。一方面，這為學生推理能力的培養與發展提供了良好契機；另一方面，作為教師的我們，也應立足學生的年齡特征和認知特點，依據相應教學內容，設計、開展更契合學生發展需求的數學活動，助力學生推理能力的形成與發展。

立足以上思考，再結合自身的教學經歷，我以為，具體可以從以下幾個方面做起。

一、注重引導學生主動、有序地進行觀察

數學家歐拉指出：“今天人們所知道的數的性質，幾乎都是由觀察所發現的，只有觀察才能使我們知道這些性質。”這無疑道出了觀察對學生數學學習的重要性。但觀察并不是簡單地“看”，應該伴隨著主動性與目的性，是有意識、有方法地“看”。

首先，應根據教學內容、教學目標的需要，為學生提供豐富的觀察材料，并有意識地將學生無序、無目的的觀察引導至相應的研究內容上來。可以開門見山，直奔主題。如《三角形內角和》一課，課始即出示課題，明確后續數學活動中觀察與研究的對象。也可以在學生觀察角度、表述意見多樣時點明方向。如《3 的倍數的特征》一課中，在學生對“百數表”中3 的倍數觀察、交流的基礎上，引導其關注“各位上數字之和”，使之“豁然開朗”。

其次，應該著重培養學生以“聯系的觀點”去觀察發現。“歸納”是認識從個別上升到一般的過程。問題的提出、規律的初步發現，即是從眾多個別事物都具備某一特征而推斷這一類事物具備這一共同特征。“聯系的觀點”可以讓學生跳出單一的、形式化的觀察，轉為從橫向、縱向等多個維度去考量事物本身及相互間的聯系，也有助于學生從直覺思維向理性思維的過渡。

二、注重指導學生清晰、有條理地提出“猜想”

提出“猜想”往往是實際教學中最易被忽視和簡單化的環節。教師經常會在學生交流后自行梳理、呈現數學的“結論”，再謂之為“猜想”，進而帶領學生快速進入“驗證”環節。小學數學中，“猜想”往往都是經過證明為真的數學結論是導致這一現象的原因之一。然而，正如愛因斯坦強調“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”，“猜想”的提出過程正是培養學生自信、大膽表達，讓思維由內隱走向外顯，由直觀走向理性的最佳契機。

首先，應引導、鼓勵學生將觀察結果外化為自己的語言表述。即使是那些不全面、不準確，甚至在教師看來是錯誤的想法，對學生而言，都是彌足珍貴的。切不可因其缺乏與“結論”足夠的“近似”，甚至是相左，而棄之不理。要置身兒童立場，理解、接納、欣賞其中的閃光點。因為這是他們走向“發現”最重要的一步。

其次，在學生嘗試提出自己的猜想后，可以引導其在相互交流、學習的基礎上，從猜想的適用范圍、表述的準確性等方面作出優化。應特別注意的是，即使是“錯誤”的猜想，仍應經過“證誤”的過程，而不是在此環節中輕易否定。因為“錯誤常常是我們走向真理的向導”。

三、注重引導學生全面、理性地開展“驗證”

“驗證”是開展合情推理的重要環節。小學階段，不完全歸納法是學生進行合情推理的主要方式。因為合情推理得到的結論具有一定的或然性，這要求教師引導學生全面、理性地開展“驗證”活動，充分感受“驗證”在合情推理過程中的意義與價值。

1.注重分類思想的運用。

雖然合情推理中的“驗證”大多不能遍歷全部對象，但仍應注意引導學生運用“分類”思想，使例證盡可能全面、豐富，進而讓得到的結論更具可靠性。如教學“三角形的內角和”，驗證時可將三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三類進行，由每一類三角形的內角和都是180 度，再得出“三角形內角和是180 度”這一結論。

2.注重反例在驗證中的價值。

教學中，應引導學生感悟合情推理結論的成立需要從正、反兩面進行驗證。有時，雖然能找出大量正面的例子，但一旦找到一個反例，即可證明結論不成立。學生有意識地找尋反例，有助于其思維全面性和批判性的初步形成。如在“字母表示數”的學習中，有學生會歸納出“a2＞2a”這一結論。此時，可以引導學生從反面去尋找“是否存在a2≤2a”的例子，進而感受“合情推理結論的或然性”。

3.注重“驗證”后的“合理性”解釋。

合情推理“結論的正確性需要演繹推理的確認”。雖然小學階段對“演繹推理”沒有提出具體的要求，但我們仍應重視引導學生“驗證”后的進一步思考，從事理上為結論的成立尋求更具“合理性”的解釋。如教學“3 的倍數特征”，在歸納得出“3 的倍數各位上數字之和都是3 的倍數”這一特征后，教師借助計數器、方格圖，引導學生繼續思考、理解“為什么各位數字之和是3 的倍數，這個數就一定是3 的倍數”。如此，既可進一步深化對知識的理解，又為學生演繹推理能力的發展奠定了基礎。

以上是我對“規律”教學中，如何有效促進學生推理能力的形成與發展的幾點初步思考。“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。”合情推理更是小學階段學生探究、發現數學結論的主要方式，我們仍應不斷思考、實踐。