開放性練習，嘗試用數學語言表達

孫貴合

在前兩篇文章中（分別于本刊2020 年第1-2 期、第3 期所刊登），我們談到了應用開放性練習使學生能夠用數學的頭腦思考世界、用數學的眼光看世界，而如何能夠讓學生用數學的語言表達世界，則是課堂教學中的重要任務。本節我們圍繞這一主題和大家進行交流。

那么，什么是數學語言呢？數學語言可分為抽象性數學語言和直觀性數學語言，包括數學概念、術語、符號、圖形等。可以歸結為文字語言、符號語言、圖形語言三類。數學語言作為數學理論的基本構成成分，具有“高度的抽象性、嚴密的邏輯性、應用的廣泛性”。簡單而言，數學語言科學、簡潔、通用。

在課堂教學中，師生之間的交流、生生之間的交流、學生自己的獨立思考等，隨時都在發生。但我們在聽課和上課過程中發現，學生在表達自己意見時說不到位、說不清楚的現象非常明顯，這是為什么呢？明明學生已經理解了，可為什么表達起來還是費勁呢？數學語言的表達應該是簡單、明了的，不分國界的，世界通用的。而且能夠用數學語言表達，學生學習起來也應該是輕松的，為什么我們學生的學習會越來越累呢？

究其主要原因是在課堂教學中，教師對于如何用數學語言表達，沒有或很少帶領學生學習和體驗過。

案例一：《“1”》。

畫圖法，是數學語言表達的一種重要形式。畫圖法能夠幫助學生理解數量關系、理清算法，同時也是學生思維過程的一個外顯。所以學生在解決實際問題時，能夠畫出圖是很重要的一種數學表達。特別是高年級的教師經常會遇到這樣的情況：當學生解決問題時遇到困難了，教師會說“你回去自己畫畫圖”。可是會發現一個奇怪的現象：會列式的學生會畫圖，不會做的學生也不會畫圖。為什么會出現這樣的情況呢？那我們應該反思教學，在小學六年的教學中，有哪一課安排了學生學習如何畫線段圖呢？答案是沒有。我們在課堂教學中，無數次的使用線段圖，但看明白了就能畫出來嗎？我想是不一定的。

針對這種想法，在人教版三年級上冊《歸一問題》一課教學中，學生第一次接觸線段圖時，除了讓學生學習“歸一問題”之外，更重要的是讓學生通過“歸一問題”來學習畫線段圖。

環節一：

師：同學們，你們喜歡美術課還是數學課？我們今天上數學課，但數學課里面也有畫，不過和美術課的畫不一樣。數學課上的畫是看誰畫得簡單，而且一眼就能夠看明白。

師：這句話能看明白嗎？能說明白嗎？那你們能畫明白嗎？

（學生嘗試畫。教師巡視發現有的學生在畫小人，有的學生在畫商店等等，并不是數學的畫）

師：同學們想一想，我們數學的畫，重要的是哪兩點？

生：簡單還能讓人一眼就看明白。

師：可有的同學還在畫小人、商店，你們有沒有簡單的畫法？

生：可以用文字或圖形。

師：我們一起來欣賞這位同學的作品。你們能看明白嗎？

生：明白了，它的一個長方形就表示一個筆記本。

師：他是用長方形表示的練習本，還可以用什么表示？

生：圓形、三角形、小豎線、小橫線……

師：對，這些表達方法都很簡單，數學上一般用小橫線來表示，我們一起看看這位同學的作品，你們能明白是什么意思嗎？

生：一個小橫線就表示一個筆記本。

師：我們用這樣的圖表示，是不是看起來更清楚？那你能根據文字表達結合我們畫的圖來列出算式并解答嗎？

本環節的設計，首先，在學生初次接觸線段圖時讓學生感受線段圖是怎樣產生的。即用圖去描述問題中所表達的情境，選擇重要的信息表示在圖上，從而讓學生對畫線段圖減少心理恐懼，為自己能夠畫出線段圖做好心理鋪墊。其次，通過學生用自己創造性的表達，逐步抽象出線段圖的過程，使學生明白：線段圖只是一種表達形式，比長方形、圓形等表達起來更簡潔，從而真正理解線段圖的作用。第三，讓學生感受畫線段圖并不難，只是把數學信息依次用圖形表示出來，也就是如何畫線段圖。經歷這樣的體驗過程，學生才能夠真正從心理上、知識體系上、方法上掌握畫線段圖。

環節二：

師：同學們，你們還有其他方法解決這個問題嗎？

生：6÷2=3，3×10=30（元）。

師：你們明白他的意思嗎？

生：不明白。

師：看來用語言解釋起來很麻煩，而且大家還不了解，那是不是可以考慮讓線段圖來幫一下我們呢？

生：我明白了，就是把兩本算成一份，看小明有這樣的幾份。

師：那剛才你們不明白，現在明白了，應該感謝誰？

生：線段圖。

師：想對線段圖說點什么？

生：線段圖謝謝你，你幫我理解了原來我不理解的知識。

本環節的設計，是進一步突出線段圖的作用，從而讓學生從心理上接受線段圖。當學生用語言描述、分析、理解不清時，線段圖的作用突顯出來，讓學生真正感受到線段圖能夠幫助理解、分析和思考。當感受到價值時，學生才能夠真正地接受線段圖，并愿意去學、去嘗試、去運用。從而慢慢學會用線段圖這種數學語言去表達。

案例二：《三角形邊的關系》。

“語言表達是思維的外殼”。學生能夠用數學的語言表達，就一定要有數學的思考。數學思維就是用數學思考問題和解決問題的思維活動形式。而“推理”又是數學思考中很重要的一種方法。在小學階段多以歸納推理為主，而到初中以后，才會慢慢接觸到演繹推理，在小學課程中，我們是否可以考慮讓學生體驗演繹推理的方法。讓這種“因為……所以……”“由于……因而……”“因此”“之所以……是因為……”等詞語出現在課堂中。詞語只是表面，更重要的是讓學生有數學的思考。

在學習《三角形邊的關系》一課后，我出了這樣一道開放性練習：你能用今天所學習的知識，證明梯形的a、b、c 三條邊的和大于d 邊嗎？

你能證明a+b+c＞d 嗎？

你能證明a+b+c＞d 嗎？

當看到這個問題時，學生很茫然，一種無從下手的感覺。在小學階段的學習中，學生沒有經歷過完整的證明過程，所以更有必要在簡單的問題上讓學生經歷、體驗一次，從而積累他們的學習經驗。當加入e 這條輔助線時，學生立刻明白了，并且能夠用完整的語言來表達。

生：因為b+c＞e，a+e＞d，b+c已經比e 大了，所以a 再加上一個更大的數就比d 更大了，所以a+b+c＞d。

通過這樣一道簡單的練習題，在鞏固本節課知識的同時，又讓學生感受到除了觀察之外，更嚴謹的證明方法，同時這樣數學的表達是課堂中最需要的，也是學生后續發展的動力與源泉。可見在課堂中，適當為學生提供演繹推理的機會，為學生能夠用數學的語言去表達起到了很大的作用。

綜上，學生在課堂中不會用數學語言去表達，更多的原因在于教師沒有能夠給學生機會去體驗、去學習、去感悟。當然除了上面所列舉的用線段圖表達、演繹推理的語言表達之外，還有很多方面，包括數學的概念名稱等。如學生已經學習了奇數、偶數，但還在用單數、雙數去表達，這時教師應該有意識地進行提示，讓學生慢慢學會用標準的語言表達。數學公式的精準表達、概念定義的嚴密等多方面，讓學生在不斷運用的過程中，逐步感受到數學語言表達的科學性、簡潔性與廣泛性，從而慢慢喜歡上數學表達。這是一個漫長的過程，但只要教師在每一節課中都給學生機會，學生一定會喜歡上數學表達，更進一步愛上數學。