追根溯源，探求方程的真正意義
———《方程的意義》案例分析

沈美蓮

在教學《方程的意義》這一內容時，教師往往把教學的重點放在方程的定義與方程的判斷上。這些內容是否真的是學生學習的重點與難點呢？為了解決這個疑惑，我們對120 名學生進行了學前調查，發現有近75%的學生能正確寫出方程，且有近50%的學生能用“含有字母的等式叫方程”來描述方程的概念。

看來，對“什么是方程”大部分學生并沒有困難。那么，“方程的意義”這一內容的學習重點究竟在哪里？或者說，學生學習《方程的意義》目的何在？張奠宙教授曾提出，“含有未知數的等式”其實是描述了方程的外部特征，方程的本質是為了求未知數，在已知數和未知數之間建立一種等式關系。那么，我們能否淡化方程的外在形式，突出方程的本質內涵？更具體地說，能否削弱對方程概念的形式化記憶環節，而加強學生運用方程表征和表達情境意義的經歷和經驗？我們在教學中進行了嘗試。

環節一：前測引入，初步感知方程含義。

1.明確學習內容。

師：今天我們一起來認識方程。對于方程，你們想研究什么？

生：什么是方程？

生：方程到底表示什么意思？

生：方程有什么用？

（板書：“概念”“意義”“應用”）

師：這節課我們就來研究這些問題。

2.認識等式。

師：（展示前測作品）說說當時是怎么列的？

師：仔細觀察這些式子，有什么相同的地方？

生：都是等式。

師：什么是等式？

生：用等號連起來的式子就是等式。

生：左右兩邊結果相等的式子就是等式。

小結：等式可以表示左右兩邊的結果是相等的。

【評析：前測的素材，既可以了解學生的學前知識基礎，又可以作為新課的學習材料在課堂中呈現。本環節通過展示學生的前測作品，尋找式子的相同點來認識等式，初步感知等式左右相等的關系，為后續學習奠定基礎。】

環節二：合作探究，深入理解方程內涵。

1.基于情境，構建等式的相等關系。

（1）初步感知相等關系。

提出問題：等式的左邊表示什么？右邊表示什么？接下來我們就一起來研究。

探究關系：從前測作品中選60×3=180，問：這個等式的左邊求出了什么？等式的右邊又在表示什么？

小結：等式的左邊表示路程，右邊也表示路程，表示同一段路程，顯然相等。60×3=180 表示左右兩邊路程相等的關系。

（2）獨立自主構建關系。

師：剩下的這些等式又表示怎樣的一種相等關系呢？接下來，我們就要一起來研究。

活動建議：從剩下的等式中選兩或三個研究；想一想表示怎樣的相等關系，用文字記錄在活動紙上。

（3）交流分享明確關系。

同桌交流：說一說，你選了哪個等式，表示怎樣的相等關系；議一議，這樣的表達合理嗎？

全班分享：誰愿意和大家分享你的研究成果？

生1：80+70=100+50 表示左右兩邊質量相等的關系；80+x=100+50 表示左右兩邊質量相等的關系；180÷60=3 表示左右兩邊時間相等的關系；3x+15=75 表示左右兩邊總價相等的關系；75-15=3x 表示左右兩邊蛋糕價格相等的關系。

師：你們覺得他說得怎么樣？對他寫的相等關系有沒有什么要問的？既然你們都沒有問題，那我隨便選一個，“80+x=100+50”相等關系是什么？

生2：我們可以回到天平去看。等號的左邊表示兩個砝碼的質量，右邊也是兩個砝碼的質量，因此它表示左右兩邊質量相等的關系。

【評析：學習材料的豐富多樣利于學生從不同中找相同，形成對等式本質的概括。本環節提供的學習材料，有能直觀體現方程模型的天平圖，有能清晰看出量與量之間關系的線段圖；有簡單的數與數之間的關系，也有具體的生活情境。學生在分析不同表達、不同情境的圖與式的過程中，進一步感知在具體情境中蘊含的相等關系，初步體會等式本質就是在表達等號左右兩邊數量相等的關系，為理解方程的本質奠定基礎。】

2.借助分類，探究方程的本質含義。

（1）分類。

師：你們真了不起，找到了這些等式所表示的一種相等關系。請你再仔細觀察一下這些等式，它們有什么不同的地方嗎？你能把它們按一定的標準分分類嗎？

生：兩邊都是算式的一類；一邊是算式，一邊是答案的一類。

生：我們按是不是含有未知數分，含有未知數的一類，沒有未知數的一類。

（2）觀察算式特征。

師：剛才同學們很厲害，分出了兩類，一類是含有未知數的等式，另一類是不含未知數的等式，也就是都是已知數的等式。我們先來看右邊這一類，仔細看一下，有什么想說的？

生：都是一些算式。

生：80、50、180 都是一些已知數。

師：是的，都是關于已知數的等式。關于已知數的等式，前面我們的學習中，最常遇到的就是算出一個算式的結果是多少。

（3）明確方程的特征。

師：上圖左邊這些等式有什么不同呢？這樣的等式叫什么？

生：方程。

師：是的，像這樣含有未知數的等式就是方程。那你覺得方程又表示怎樣的一種相等關系？

生：方程表示已知數與未知數之間的相等關系。

【評析：本環節從分類活動引入，在分類中認識算式與方程的外在形式。同時，進一步分析算式表示“已知數與已知數的相等關系”，并遷移到方程表示“已知數與未知數之間的相等關系”。這樣的過程，使學生在觀察、比較、歸納中學會概括和抽象，關注了數學知識的實質理解，初步體會方程的本質內涵。】

3.運用模型，溝通等式之間的聯系。

（1）完成第1 題，先想一想相等關系，再列一列方程。

（學生獨立練習后交流反饋）

師：他列的是不是方程？你能結合剛才的研究來判斷一下嗎？說一說表示怎樣的相等關系。

師：仔細觀察，你發現了什么？有沒有什么不一樣的地方？

生：三個方程一樣，但表示的意義不同。

生：第一個方程表示質量相等，第二個表示總價相等，第三個表示路程相等。

生：雖然三個方程表示的意義不同，但都表示已知數和未知數之間相等的關系。

（2）完成第2 題，先想一想相等關系，再列一列方程。

（學生獨立練習后交流反饋）

師：你是怎么列出方程的？你能不能像剛才這樣，用今天的研究來說明？

師：你們發現了什么？

生：這些方程都表示總價相等的關系。

生：這里的未知數表示的意義是不一樣的，有的表示小熊的價格，有的表示洋娃娃的價格，有的表示小熊的個數。

生：雖然未知數表示不同的含義，但這幾個方程都在表示小熊的價格+洋娃娃的價格=總價，基本關系式其實是一樣的。

師：看來這幾個方程雖然看起來不大一樣，但都表示相同的結構，共用一個相等關系。

【評析：運用模型階段，主要安排了兩組練習，請學生在問題情境中，尋找已知與未知之間的內在聯系，建立數量之間的相等關系，列出方程。這一過程，其實也是理解方程本質內涵的過程。同時，第一組練習是同一個方程表示不同的相等關系；第二組練習是不同的方程表示同一組相等關系。這樣的練習設計，使學生經歷相同中找不同、不同中找相同的辨析過程，突出了從生活情境到方程模型的建構過程，在比較中進一步明確方程的內涵。】

環節三：差異練習，進一步體會方程價值。

1.回顧與整理。

師：這節課學了什么？關于方程你又有什么新的了解？還有什么問題想問嗎？

2.鞏固和提高。

師：根據自己的情況，選擇練習完成。

A. 剛才第一題練習有錯的，先完成一星，再完成二星。

B. 剛才第一題練習全對的，直接完成二星，挑戰三星。

★：看圖，想相等關系，列出方程。

方程：___________

方程：_______________

★★根據信息想相等關系，列方程。

（1）哥哥今年12 歲，弟弟今年9 歲。

方程：___________

（2）《流浪星球》共180 頁，迪迪看了2 天，每天看y 頁，還剩20 頁沒看。

方程：___________

★★★根據方程想相等關系，并編出對應問題。

方程：360-3y=60

編題：___________

【評析：本環節在理解方程本質的基礎上，安排了分層練習，根據學生前期學習情況選擇適合的練習，使不同層次的學生都能在原有基礎上進一步提升，滿足了學生的個性化需求。同時，練習的設計從找實際問題中的相等關系列方程到根據方程想相等關系，賦予方程實際意義，豐富了方程的本質理解。】