利用模型思想構建反比例的意義林志輝

林志輝

反比例是什么？在人教版教學用書中是這樣描述的：反比例是重要的數學模型，體現了基本的函數思想，在數學思想層面上對以前所學過的許多數學問題（例如總量不變的數學問題、幾何中的等積變形）和數學規律（積的變化規律）等進行一般化和模型化，對學生代數思維的發展十分有益。但是學生學習反比例時往往學得不夠好，有這樣的尷尬現象：概念說得很溜，但具體判斷時卻無從下手。我們發現很多教師也慢慢開始注重在具體情境中理解反比例的意義并滲透函數思想，但是都沒能從“模型”入手，那么我們是不是可以用模型思想構建反比例的意義？接下來筆者結合課堂實例簡要闡述如下。

一、構建概念理解模型

反比例是重要的數學模型，體現了基本的函數思想。函數思想的本質在于建立和研究變量之間的對應關系，也就是一個量（應變量）隨著另一個量（自變量）的變化而變化的一個數學模型?！稊祵W課程標準》要求在具體情境中理解反比例的意義，因此，我們借助表格，結合具體情境讓學生經歷“立——破——立”的思維碰撞過程，幫助學生構建反比例的概念理解模型。

立：帶著問題自學課本，怎樣的兩個量成反比例關系？自學后結合具體情境獨立思考：A 表格中的兩個量成反比例關系嗎？小組交流判斷，最后匯報判斷。既培養學生的自學能力，又進行有的放矢的應用，初步構建反比例的意義：一增一減的變化趨勢、乘積不變。

破：B 表格中的兩個量，一個量變大，另一個量變小，總價始終保持不變（60 元），所以已花的錢和剩下的錢成反比例關系。通過判斷，引發沖突，在辨析中明理。而有了和不變的反例，則更能凸顯反比例的意義：一個量如果擴大兩倍，另一個量就縮小二分之一，最終保持乘積不變。

立：此時表格C 的立就非常順暢了，快速判斷，凸顯反比例的本質，一增一減中乘積始終保持不變。

在“立——破——立”的過程中，學生構建反比例概念理解模型。破為破中立，立為立中破；破中有立，立中有破。在破與立的思維碰撞中激發學生的興趣，多角度、立體式地感知、觸摸反比例的本質。

二、構建函數圖象模型

小學生的邏輯思維能力比較弱，他們對抽象概念的理解基本上要借助感性的直觀材料，沒有直觀基礎的數學概念對于學生來說只是空中樓閣。所以，教學時要注意直觀先行，應該將抽象的數學問題轉化成易于學生理解的方式呈現出來。

因此，我們在學生建立反比例概念模型后，將反比例的圖象也放入教學環節中，借助幾何畫板，在幾何畫板的動態演示中，數形結合，促進學生進一步感知反比例的意義。

1.出示表格：誰能快速判斷表中的兩個量成反比例關系嗎？

2.成反比例的兩個量的圖象是什么形狀呢？用手勢表示出來。

3.教師利用幾何畫板動態演示反比例的圖象。

借助幾何畫板課件，感受：（1）所需的時間越來越長，速度就會越來越小；（2）時間如果擴大兩倍，速度就縮小二分之一；（3）有一個量即路程，大小始終保持不變，從而充分感受反比例的圖象。數形結合的實質就是將反比例的數量關系和直觀的反比例函數圖象相聯系，將抽象思維和形象思維有機結合，在坐標系中實現“數”與“形”的統一。

另外，結合正反比例的表格、圖象、數量關系式，從不同的層次在速度、時間、路程這個具體情境中讓學生更深入地去思考正、反比例的區別和聯系。學生在對比辨析的過程中進一步明晰反比例的意義。

反比例的教學都是從具體的問題情境中入手的，也就是從特殊到一般學習反比例問題，但問題情境千差萬別，容易干擾學生的注意力，而反比例的圖象表征卻始終保持了一致性，對學生理解反比例的本質起著“直擊要害”的作用。表征是新知識與頭腦中已有知識的映射和對應，“數”表征比“形”表征更抽象，“形”表征更加具體和直觀，圖形更貼近于客觀世界，傳遞的信息更易被學生所認知。

三、構建練習推進模型

在小學數學課堂教學中，教師通過提出“大問題”，可以在一定程度上給學生留下獨立思考以及主動探究的空間，使得學生在解決“大問題”的過程中逐漸學會思考、分析并解決問題，促進學生思維能力的發展。

因此，我們在設計練習“判斷下面兩個量是否成反比例關系，并說明理由”時，向學生拋出這樣一個問題：房間的面積一定，正方形地磚邊長和塊數是否成反比例關系。這個問題具有挑戰性，有一定的難度，但是難度并未超出學生的最近發展區，學生跳一跳可以夠到。學優生的思維活躍，可以直接將文字轉化成數量關系，進而做出判斷。但是對于學習能力弱一些的學生來說，這時候他們就需要跳一跳了，因此我們給學生出示一個“跳板”，根據學生的思維特點向學生提供了半直觀半抽象的表格，借助表格，學生進而理解當房間的面積一定時，正方形的地磚的邊長和塊數不成比例，正方形地磚面積和塊數成反比例關系。

在課堂練習時拋出“大問題”，不局限學生的思維，通過思維的逐層推進，再現學生的思維路徑，從而提升學生的思維水平。

四、構建課堂教學模型

在最后課堂回顧時，著重突出對學習方法的滲透。對比分類——對比判斷——對比歸納——對比辨析，讓學生感受到在整堂課的學習中，始終貫穿著對比分析的研究方法。

1.對比分類。

引導學生對《前測學習單》中的表格進行分類，在對比分類的過程中讓學生初步探索并感悟成反比例的兩個量的特征。

2.對比判斷。

采用先自學再判斷的方法。判斷A、B、C 三張表格時，學生經歷“立——破——立”這樣一個思維碰撞的過程，在對比中明確成反比例關系的兩個量之間的本質關系。

3.對比歸納。

學生在表A、C 呈現的兩個具體情境中通過類比發現成反比例關系的兩個量的本質屬性，然后用自己的話進行歸納總結，從具體情境到抽象概括，構建反比例的數學模型。

4.對比辨析。

結合正、反比例的表格、圖象、數量關系式，在速度、時間、路程這個具體情境中讓學生更深入地去思考正、反比例的區別和聯系，在對比辨析的過程中進一步明晰反比例的意義。

將對比分析的學習方法從這一課的學習推向一類課的學習，它既是數學課堂教學的一種模型，也是學生學習的一種模型。構建課堂教學模型，在教學中根據學生的思維特點逐步滲透模型思想，引導學生不斷地感悟模型思想。