欠驅(qū)動(dòng)船舶運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型精度及應(yīng)用問(wèn)題分析

于鵬 王興龍 浙江富興海運(yùn)有限公司

1.引言

航運(yùn)在促進(jìn)全球貿(mào)易方面發(fā)揮著重要作用。在船舶領(lǐng)域，船舶數(shù)學(xué)模型是船舶技術(shù)與仿真的核心。在過(guò)去的十年中，基于一系列的物理考慮，船舶的建模理論在耐波性和操縱操作方面得到了發(fā)展。它有兩個(gè)特點(diǎn)：泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)（如Abkowitz模型、Norrbin模型）和模塊化處理（如MMG模型、Fossen模型）。在某種程度上，模塊化方法適用于特定船舶。此外，船舶數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化工作也在進(jìn)行中。

然而，任何模型與實(shí)船之間都存在偏差。在研究不同問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意模型的選擇。在船舶控制領(lǐng)域中，船舶的航向保持控制、跟蹤保持控制、船舶橫搖阻尼控制和避碰控制等問(wèn)題在很大程度上依賴(lài)于仿真。選擇合適的模型作為仿真的核心是非常重要的。本文給出了三種欠驅(qū)動(dòng)船舶的數(shù)學(xué)模型，分析了它們之間的區(qū)別，以及它們適合作為仿真核心的問(wèn)題。

本文章節(jié)設(shè)置如下，第一節(jié)介紹了本文研究的意義和主要內(nèi)容，第二節(jié)給出了船舶的三種數(shù)學(xué)模型，分別是Nomoto模型、非線性響應(yīng)模型和MMG模型。第三節(jié)以上述模型為基礎(chǔ)進(jìn)行了Z型仿真實(shí)驗(yàn)和旋回實(shí)驗(yàn)，并對(duì)其精度和適用問(wèn)題進(jìn)行了分析。第四節(jié)討論了一些結(jié)論。

2.船舶模型

2.1 坐標(biāo)軸以及船舶運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

船舶在海上航行時(shí)有六個(gè)自由度，即縱搖、首搖、橫搖、縱蕩、橫蕩和垂蕩。

如圖1所示，沿船長(zhǎng)方向的前后運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為縱蕩，沿船寬方向的左右運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為橫蕩，沿吃水方向的上下運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為垂蕩。橫搖是繞x軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，首搖是繞z軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，縱搖是繞y軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。

實(shí)際上，很難建立六自由度的船船舶運(yùn)動(dòng)模型。因此，不同自由度的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型得到了廣泛的應(yīng)用。但是，不同的數(shù)學(xué)模型精度不同。本文建立了Nomoto模型、非線性響應(yīng)模型、MMG模型，分析了它們的差異性。

2.2 Nomoto 模型

Nomoto模型是描述三自由度運(yùn)動(dòng)的線性模型。同時(shí)，二階Nomoto模型在船舶控制領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，其數(shù)學(xué)原理如式（1）。

式（1）中,ψ表示船舶航向,K和T表示船舶操縱性指數(shù)，δ表示舵角。

在實(shí)際應(yīng)用中，式（1）經(jīng)常會(huì)以式（2）的傳遞函數(shù)的形勢(shì)出現(xiàn)：

式（2）中，s 表示拉普拉斯算子。式（2）通常用于設(shè)計(jì)自動(dòng)舵的控制器，并評(píng)估船舶的操縱性。但與其他非線性數(shù)學(xué)模型相比，其精度較低。

圖1 船舶六自由度運(yùn)動(dòng)

2.3 非線性響應(yīng)性數(shù)學(xué)模型

非線性響應(yīng)性數(shù)學(xué)模型主要針對(duì)δ→→ψ的關(guān)系，而略去了其他自由度對(duì)航向的影響,得到的微分方程仍然保留了非線性因素。

式（3）中,ψ表示船舶航向,K和T 表示船舶操縱性指數(shù),δ表示舵角,式（4）中，α,β 表示船舶非線性系數(shù)。

非線性響應(yīng)模型主要用于船舶避碰、自動(dòng)舵設(shè)計(jì)。但它比Nomoto模型具有更高的精度。非線性響應(yīng)模型的仿真圖如圖2所示。

2.4 MMG 模型

本文中的M MG 模型描述了船舶的四自由度運(yùn)動(dòng)，忽略了垂蕩運(yùn)動(dòng)和縱搖運(yùn)動(dòng)。在研究航向保持、航跡保持控制、避碰等常見(jiàn)問(wèn)題時(shí)，其精度是足夠的。其數(shù)學(xué)描述為式（5）和式（6）。

式（5）和式（6）中，u表示船舶前進(jìn)速度，v表示橫漂速度，r 表示首搖速度，p表示橫搖加速度，m表示船舶質(zhì)量，mx，my為船舶附加質(zhì)量，Ixx，Izz表示船舶慣性矩。Jxx,Jzz表示船舶附加慣性矩。XH，PR，YH，PR，KH，P，R，NH，PR表示船舶受到的力和力矩。（x，y）表示船舶位置，ψ，φ分別表示船舶航向和橫搖角。

（1）船舶水動(dòng)力和水動(dòng)力距（XH,YH,KH,NH）

（2）推力和推力距(XP，YP，KP，NP)

式（8）和式（9）中,tp為螺旋槳推力減額系數(shù)，ρ 表示海水密度，n表示螺旋槳轉(zhuǎn)速，Dp表示螺旋槳直徑。

式（10）中，a0,a1,a2為常系數(shù),Jp=(1-wp)u/nDP，wp表示伴流系數(shù)。

（3）舵力和舵力矩 （XR，YR，KR，NR）

式（11），（12）和（13）中，VR表示有效流速，AR表示舵葉面積λR為展弦比,αR表示流的有效攻角。其他參數(shù)如式（14）。

式（14）中,Cb表示方形系數(shù),L表示船長(zhǎng),d表示船舶吃水。

MMG模型通常應(yīng)用于自動(dòng)舵設(shè)計(jì)、船舶橫搖阻尼控制、船舶避碰、船舶動(dòng)態(tài)定位等控制器的設(shè)計(jì)。

3.仿真

仿真是驗(yàn)證理論設(shè)計(jì)的重要手段。在海洋研究領(lǐng)域，船舶數(shù)學(xué)模型的精度在很大程度上影響著算法的有效性。因此，有必要建立和使用一個(gè)具有較高精度的仿真模型。本文以不同模型為核心，進(jìn)行了Z-型實(shí)驗(yàn)和旋回實(shí)驗(yàn)，并將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與“育鯤”輪的實(shí)船試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較。圖3所示的為舵機(jī)模型，包含限幅模塊和飽和模塊，為了保證實(shí)驗(yàn)的對(duì)比性，本文在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中保持舵機(jī)模型不變。

仿真中，最大舵角取35度，舵機(jī)最大回轉(zhuǎn)率取5度/秒。

3.1 Z-型實(shí)驗(yàn)

從船舶的實(shí)際操作來(lái)看，像旋回實(shí)驗(yàn)這樣長(zhǎng)時(shí)間保持一定的舵角是很少見(jiàn)的。通常情況下，方向舵是以不同的舵角從左到右連續(xù)操縱的。Z-型實(shí)驗(yàn)就是對(duì)這種控制方式進(jìn)行仿真，通過(guò)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的分析可以得到比旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)更多的實(shí)際數(shù)據(jù)。此外，Z-型實(shí)驗(yàn)是獲得船舶K，T指標(biāo)的重要方法。

圖2 非線性響應(yīng)模型的仿真圖

如圖5所示，Nomoto模型在曲折試驗(yàn)中的性能較差。更難控制航向。這就是為什么常采用Nomoto模型設(shè)計(jì)航向控制器的原因（閉合增益形狀控制器）。與M MG 和Nomoto模型相比，非線性響應(yīng)模型具有較小的慣性。

3.2 旋回實(shí)驗(yàn)

旋回實(shí)驗(yàn)的目的是得到船舶一次回轉(zhuǎn)的軌跡。它用于評(píng)估船舶的操縱性。目前，研究人員利用船舶對(duì)某一舵角的響應(yīng)來(lái)解決避碰問(wèn)題。模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性對(duì)避碰算法的正確驗(yàn)證有很大影響。在本節(jié)中，進(jìn)行了兩次旋回實(shí)驗(yàn)，其中舵角分別取-20度和35度

圖7顯示了模擬和船舶試驗(yàn)結(jié)果的轉(zhuǎn)向試驗(yàn)。Nomoto模型精度很低。MMG模型具有較高的精度。雖然非線性響應(yīng)模型的精度低于MMG模型，但在不同情況下，當(dāng)避讓策略取一定角度時(shí)，碰撞問(wèn)題的求解是可以接受的。為了獲得更具體的結(jié)果，用式（15）評(píng)估不同模型的精度值。

式（15）中,SDδ仿真旋回圈直徑,TDδ表示船舶實(shí)船試驗(yàn)旋回圈直徑。表2給出了實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果。

由以上分析可知，Nomoto模型可用于航向保持控制器的設(shè)計(jì)；非線性響應(yīng)型模型適用于航跡保持控制和避碰；而MMG 模型具有較高的精度，可用于各種研究。

4.結(jié)論

本文闡述了模型選擇在海洋研究中的重要性。建立并仿真了三種類(lèi)型的船舶模型，分析了它們的特點(diǎn)。此外，還給出了一個(gè)更加精確的數(shù)學(xué)模型及其具體參數(shù)，可以作為其他研究人員和工程師的標(biāo)準(zhǔn)模型。最后，對(duì)其適用的問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)，為避免不當(dāng)使用提供參考。

圖3 舵機(jī)伺服系統(tǒng)仿真框圖

圖4 Z-型實(shí)驗(yàn)仿真框圖

圖5 Z-型實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

表1 育鯤輪主要參數(shù)

圖6 旋回實(shí)驗(yàn)仿真框圖

圖7 旋回實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

表2 旋回圈直徑對(duì)比