動中寓靜，尋求突破—例說中考數學壓軸題中求面積最值問題的解法分析

江蘇省徐州市第十三中學 王 寧

中考數學試卷中的壓軸題一直備受關注，壓軸題在中考試卷中凸顯選拔功能，位于試卷的最后部分，屬于跨領域問題，思維層次較高，區分度大，綜合運用多方面知識解決，對考生的數學素養提出了較高的要求，需要考生抓住變化中的不變量，注重對考生動手能力和自主探索能力的考查。而考生要想達到此能力狀態，不僅需要平時的積累，更需要能看透出題人設置的啟發引導、逐層遞進的問題串，極大地考查了考生的考場學習力。壓軸題一般由三問組成，第一問容易上手，得分率在0.8 以上，第二問稍難，得分率在0.6～0.7 之間，第三問難度較大，得分率在0.3～0.4 之間。要想多得分，必須要有科學的分析問題的方法，善于總結壓軸題中蘊含的思想方法，比如數形結合思想、分類討論思想、方程思想、轉化思想等等，尋求解題思路時切忌套用機械的模式，而應從不同的角度識別題目中的條件和隱含信息、圖形的幾何特征，發現數量之間的關系，計算時要有耐心，不能急于求成，調整好心態去爭取更多的得分。常見的壓軸題類型很多，有動態幾何問題、多種函數交叉問題、幾何圖形歸納猜想問題、閱讀理解問題、最值問題、定值問題、存在性問題等等。下面筆者選取了一道求面積最值的壓軸題，結合教學中學生的多種思路進行分析，希望可以給學生在解這類題型時提供一些幫助。

【題目】如圖，矩形ABCD的邊AB=3cm，AD=4cm， 點E從點A出發，沿射線AD移動。以CE為直徑作⊙O，點F為⊙O與射線BD的公共點，連接EF、CF，過點E作EG⊥EF，EG與⊙O相交于點G，連接CG。

（1）試說明四邊形EFCG是矩形。

（2）①當⊙O與射線BD相切時，點E停止移動。在點E的移動過程中，矩形EFCG的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個最大值或最小值；若不存在，說明理由。

② 求點G移動路線的長。

【分析】這道壓軸題考查了矩形背景下動圓的運動變化，需要運用函數思想解決面積的最值問題。本題有效考查了學生對圓的有關性質、矩形的性質與判定、相似三角形的性質與判定、銳角三角函數的概念、勾股定理、垂線段最短等知識的掌握情況，同時也關注到了初高中知識的有效銜接。

【第一問解析】∵CE是⊙O的直徑，點F、G在⊙O上，

∴∠EFG=∠EGC=90°。

又∵EG⊥EF，即∠FEG=90°，

∴四邊形EFCG是矩形。

【分析】第一問比較簡單，要求證明在已知一個直角且以圓的直徑為一條對角線的四邊形是矩形，也為第二問探索矩形面積的最值問題作了鋪墊。需要用到“直徑所對的圓周角是直角”“有三個角是直角的四邊形是矩形”這兩個定理，多數學生可以順利完成。

【第二問解析】①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∴∠BAD=∠FEG=90°。

又∵∠ADB=∠FCE，∴△ABD∽△FEC，∴EF∶CF∶CE=3∶4∶5。

當點F與點B重合時，CF=BC=4；

當⊙O與射線BD相切時，點F與點D重合，CF=CD=3；

【分析】第二問難度較大，分為兩個小問。第一小問是在變化的過程中求面積的最值問題。題目設置了由一個動點E引起了線段CE的變化，導致以CE為直徑的圓的面積變化，從而帶動了圓的內接矩形面積的變化。問題的設置引導學生探究隱藏在“伸縮的圓”和“變化的矩形”中“不變”的數學結論和“變化”的數學規律，讓學生在探究的過程中充分感受數學是研究數量關系和空間形式的一門科學。因此，解決這個問題要運用函數的思想，先設置一個自變量，然后用這個自變量表示矩形的面積，根據函數關系式觀察有沒有最值，這里要先求出自變量的取值范圍，再求出最值。而實際上，許多學生都能判斷出矩形面積的最大值和最小值在什么位置，并求出最值，但是他們沒有說明出現最值的理由，只屬于合情推理的范疇，沒有上升到用函數來分析解決問題的層面，因此失分較多。由于題目沒有像常規的動點題那樣給出動點的運動時間和速度，導致學生不知道如何設置自變量，不過這也是命題者高明的地方，給學生自由發揮的空間，讓他們自己去發現、去探索。

基于以上分析，第一步可設置的自變量有許多種，筆者在教學中發現學生的解法較多，整理下來可分為以下幾類：①設AE=x或DE=x；②設EF=x，或CF=x；③設CE=x；④設BF=x。第二步用自變量表示矩形的面積，S矩形EFCG=EF·CF，這里需要用含x的式子表示EF 和CF，而發現EF 和CF 的關系是關鍵，也是突破口，需要用到△ABD ∽△FEC 或運用等角的三角函數比值相等，找到EF ∶CF ∶CE=3 ∶4 ∶5，然后用一個變量來表示矩形面積，。

第二小問是求點G移動路線的長，只要知道點G的運動軌跡就可以了，由于∠CDG=∠CEG，而∠CEG是不變的，所以∠CDG也是固定的，當⊙O與射線BD相切時，點F與點D重合，此時∠DCG=90°，而此時的DG就是點G移動路線的長，利用勾股定理即可求出。

【教學反思】本題以“矩形EFCG的變化”為核心問題，以問題串的形式圍繞核心問題進行設問，層次遞進，環環相扣，在學生對核心問題步步深入的過程中，較好地體現了對基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗的考查，同時滲透了分類、數形結合、函數、轉化和特殊化等數學思想和方法，在學生經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證的過程中，突出考查了學生的數學思維品質和綜合運用所學知識發現和提出問題、分析和解決問題的能力。另外，本題解決方法的多樣性充分尊重了學生思維的個性差異，這樣的設計充分體現了課標倡導的“不同的人在數學上得到不同的發展”這一基本理念，使得本題具有了良好的效度和區分度，毫無疑問，這道求面積最值的壓軸題極具代表性，分析透徹這道題可以幫助學生掌握這一類題型的解法。