智慧卻在預設與生成的碰撞處

阮玉英

【摘要】一次函數是函數教學中最基本的一類函數，是數形結合的典型之一。在初三復習過程中，教師如何預設才能與學生的生成碰撞出智慧的火花，通過預設開放性問題、預設動態問題、預設變式問題、預設知識網絡絡建構等途徑精彩設計。但可貴的是在課堂中的生產碰撞，這一復習課生成的智慧之花超越了預設的精彩。

【關鍵詞】一次函數;預設;智慧

《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出，數學教學活動，特別是課堂教學應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維。因此在教學中，教師除了要注重課前精心的預設，更要關注課堂絕妙生成這一動態過程。教師在備課時要預設一些能啟發學生思維的問題或問題串，讓學生積極參與，達到探究的開放性，并進一步拓展延伸。下面以“一次函數的圖象和性質”復習課為例，談談在初三復習過程中，教師應如何精心預設才能與學生的生成碰撞出智慧的火花。

一、預設開放性問題

（一）知識的回顧

一次函數是函數教學中最基本的一類函數，是數形結合的典型之一。我所教的學生是所在學校初三走班分層教學中的基礎班同學，學生已復習完函數的概念和反比例函數，因此在這一環節中預設引導學生類比反比例等函數，舉出幾個一次函數的例子和畫一次函數示意圖來幫助學生思考它們的異同點，更容易理解。

【問題呈現】問題3.若將一次函數上下平移，它的解析式會有什么變化？兩條直線平行，k和b各有何變化？

（二）典型例題

在典型例題的探究環節，教師同樣也是預設開放性的問題，學生的生成非常精彩，有些還是在預設時沒想到的。

【問題的呈現】例1.請你在坐標系中畫出過點4（-2，-1），B（1，2）的直線，并求出直線AB與x軸的交點C是____，與y軸的交點D是____，由圖中的交點、交點，我們還可以求些什么相關的量？還可以作哪些設問？我們一起來探究一下。

【預設與生成】學生1（運算技能）：用待定系數法求出的AB的解析式y=x+2中，令y=0時，可以求出C（-2，0）;令x=0時，可以求出C（O，2）.（如圖1）

學生2：由CD的坐標，可以求出線段OC、OD、CD的長。學生3：還可以求出三角形OCD的面積和周。學生4：可以求三角形OCD中CD邊上的高OQ，恰好也是中線。

學生5（與相似疊加）：可以運用相似求CD邊上的中點Q的坐標。（中點我在預設時沒考慮到，學生的生成很棒，剛好可以與相似疊加）

學生6（與三角函數疊加）：可以運用三角函數求出OCD=45°。學生7：不用三角函數也可以求出。教師：怎么求？根據是什么？學生7：由以上OC、OD長，可知OC=OD，因此三角形OCD是等腰直角三角形，所以可以得出OCD=45°。教師：學生7的方法很不錯，提醒我們解題時要注意是不是特殊三角形，要關注30°、45°、60°，思考能不能用三角函數解決問題。

【問題的呈現】追問1：在求點C和點D時，利用了一次函數與方程的關系來解決。同學們想一想，一次函數還與哪個知識有關系？

【預設與生成】學生8（與不等式疊加）：可以利用圖象，求當戈為何值時，y>0、y=0、y<0。

二、預設動態問題

（一）動點

【問題的呈現】追問2（與等腰三角形疊加）：若x軸上有一點P，使得APCD是等腰三角形，則點P的坐標為多少？

【預設與生成】學生9：根據三角形是等腰三角形，我認為應分為三類：①CP=DP→P1（0，0）;②CD=DP→P2（2，0）;③CD=CP→P3（2/2-2，0）.

教師：學生9你真棒，能想到等腰三角形的分類標準，大家要懂得做類似的題時用數形結合的方法來幫助我們解題。請問就這三種答案嗎？通過剛才的幾何畫板展示，同學們還有其他不同的想法嗎？

學生10：教師，我認為總共有四種情況，還有一種情況：當CD=CP時，點P還可以在點C的左側，因此得出第四種情況P4（-2/2-2，0）。

教師：沒錯，學生10補充得很完整，綜上所述：

解答（分類討論）：

在課后拓展環節中，也設計了一個動態的問題。

（二）動直線

【問題的呈現】問題4.已知：直線y1=kx+b與直線y1=2x+4相交于點4（1，a），且與y軸交于點B（0，7）

（1）求k，b的值以及4點的坐標;（2）已知直線y=m（m>0）與直線y1=kx+b相交于點M，與直線y2=2x+4相交于點N，若MN=4，求m的值。

【預設與生成】在兩條相交直線的基礎上，再加入一條動直線，通過動直線的運動，滲透分類討論思想。講解時注意訓練學生的畫圖，識圖技能及推理技能，有些同學可能會畫錯直線y=m（m>0），與直線y=x混淆;大部分學生想不到這題需要分類討論。通過作圖，找出基本圖形，運用所學知識，發現圖形的變化，定好分類標準，進行分類討論。通過幾何面板的演示，讓學生掌握數形結合思想，使動態的情況更直觀。能培養學生幾何直觀，訓練學生的識圖畫圖技能、推理技能及綜合運用的能力。

小結：通過學生的動手作圖，找出基本圖形，運用所學知識，發現圖形的變化，定好分類標準，進行分類討論;在課堂中整合信息技術——幾何畫板，讓學生掌握數形結合思想，使動態的情況更直觀。達到培養學生幾何直觀，訓練學生的識圖畫圖技能、推理技能及綜合運用的能力。

三、預設變式問題

教學典型例題2時，教師設計的是兩條相交的直線，接下來在這基礎上進行一定的變式，展示豐富多彩的函數和圖形世界，也可以更進一步地拓展學生的思維。

【問題的呈現】若增加一條直線y=-x-4與直線AB相交于點E，與y軸交于點G，這里有相等關系和不等關系嗎？

【變式】追問：可將直線y=-x-4變式為其他函數或圖形呢？同學們馬上按合作的小組展開積極的討論：有的小組說變式為反比例函數;還有小組說變式為二次函數也可以;有一個同學甚至說到了，變式為圓就可以討論直線與圓的位置關系了;師生還一起說與三角形，四邊形這樣的幾何圖形相交也是可以的。最后引導學生作小結：兩線相交，可以是兩條直線相交，也可以是一直一曲相交，直線還可以和其他幾何圖形相交。

四、預設知識網絡建構

一節課的學習和討論結束后，組織學生進行了歸納和小結：一次函數是一條直線，不僅兩點確定一條直線，直線上還有無數個點，因此我們先從最基本的圖形點開始研究。有與坐標軸的交點，有一條線段的中點，有兩個函數的交點，有運動的點;點運動成線，可以是直線、線段、射線，還可以是雙曲線、拋物線、網;線再圍成三角形、四邊形等，可以求周長、面積，還可以構造不等關系、構造全等、構造相似;還可以讓線動起來……因此在初中階段，尤其是初三總復習階段，教師應認真研讀教材，從學生的最近發展區人手，用心設計各個技能的疊加，整合信息技術，構建知識網絡，引導學生積極開展探究活動。

參考文獻：

[1]蘇熙臏.數學教學中的提問技巧——以“一次函數的圖象與應用”復習課為例[J].初中數學教與學，2018（12）.

（責任編輯 范娛艷）