因式分解教學中,如何提升學生的解題能力

張文鼎

摘 要：因式分解是初中數學代數運算的基礎部分，它在整個初中階段數學知識體系中具有“承上啟下”的重要作用，可以為學生進入高中后學習數學奠定良好的基礎。在“解題”的應用方面，因式分解涉及了一元二次及高次方程（降次）、分式運算（通分及約分）、函數及根式運算（簡便運算）等知識，在部分幾何知識教學中也發揮著不可或缺的“工具”價值。

關鍵詞：初中數學;因式分解;常見誤區;解題能力

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫作多項式的因式分解。換言之，初中階段有關“因式分解”的教學內容，等同于“整式乘法”的逆過程。據此來說，要在因式分解教學中實現提升學生解題能力的目標，就需要加強學生對“整式乘法”和“因式分解”關系的認知，而“公因式”是兩者之間的重要連接點。

一、初中因式分解教學中常見的誤區分析

（一）知識理解誤區分析

“知識理解誤區”是學生在初中因式分解學習中對概念認知不透徹、公式混淆不清造成的，由于公因式的利用不恰當、不正確，從而導致因式分解的不徹底。以下列三道代數式判斷題為例。

在對以上三個代數式正確與否的判斷上，學生出現“判斷錯誤”的原因是相對一致的，主要包括：忽視公因式的提取、分解不徹底、沒有化簡。例如，在題（1）中，很顯然學生混淆了“因式分解”的概念和“多項式”的概念，因為因式分解的“對象”必須是多項式，而本題中的12x3y2明顯不符合要求;而題（2）中，多數學生認為答案應該“正確”，原因是左側為多項式、右側為“乘積”的形式，但他們明顯忽略了因式分解中“整式”這一限定條件，因此正確答案是“錯誤”;在題（3）中，學生主要是忽略了“等式左邊和等式右邊相等”這一基本條件，驗證方法也非常簡單，只需要讓學生細心地將“等式右邊”還原成多項式，再與“等式左邊”對比即可。

（三）策略理解誤區分析

在初中因式分解教學中，“策略理解誤區”可視為學生在具體做題時的失誤表現，較為常見的“悖論”表現為，原本有相對簡單的解法，而學生受限于理解能力和慣性思維，偏偏選擇了更加復雜的解法。如果學生長期困于這一誤區，不僅會降低學習效率，在做作業、考試時也會消耗大量的時間。這一誤區的表現主要是整體思想的缺失，但本質上仍然是對公因式提取操作的不當性。例如，在“3an+4-15an+2b2-108anb4”這一題中，學生雖然知道應該利用“十字相乘法”進行因式分解，但往往第一步就把an作為公因式提取出來，而在解題中忽略了“3”“15”“108”。此外，還有一些題在解題過程中涉及“先計算，再因式分解”，從整體思想出發，可以先將規模較大的代數式視為一個“整體”（如用字母A或B代替），再利用十字相乘法解答出來，在恢復代數式的表達形式后，進行下一步化簡。但在具體操作過程中，一些學生還是會選擇最簡單的“公因式”作為切入點，例如，在“（3x-y）2-（x+3y）2”一題中，學生通過簡單計算就會得到“8x2-12xy-8y2”，計算到這一步之后，唯一可做的就是提取公因式，將“4”提出來之后，變成“4（2x2-3xy-2y2）”，這一結果并沒有分解徹底，如果分別用A和B代替“（3x-y）”和“（x+3y）”，以整體的形式計算、代入、簡化，不僅步驟清晰而且分解徹底。

二、初中因式分解教學中提升解題能力的對策

（一）加強概念本質理解

“概念”是數學語言的高度濃縮。對初中生而言，“數學語言”往往比較抽象，人教版初中數學教材中對因式分解“概念”的闡述，也是采取書面語言形式，對一些數學理解能力較弱的學生而言，難以抓住重點。因此在概念理解教學方面，教師需要采用一系列的“問題”，通過“解題”過程引導，讓學生準確地抓住因式分解的本質，包括因式分解的對象、結果形式，以及“恒等變形”“互逆過程”等關系。較為系統的教學方法可借鑒杜賓斯基提出的“APOS”理論。該理論包括“活動（Action）→過程（Process）→對象（Object）→圖式（Scheme）”四個步驟。其中，在“活動”步驟中，教師可以基于課堂空間構建問題情境，為學生呈現出因式分解的實用價值所在。

例如，學校要建一塊操場，已知條件為操場面積“a2-2ab+b2”，那么它的長和寬各為多少呢？教師通過這種情境創設的方式，讓學生意識到“因式分解”是有價值的，并非針對數學公式的簡單推論，而這一過程中也將學生的“抽象認知”轉化成“具象認知”。在“過程”步驟中，重點要放到“概念提煉及形成”上，數學知識本質上是從生活實踐經驗中提取的，相對于直接給出的概念，結合生活實踐問題層層推導、轉化得來的更容易理解。比如，情境創設中提出的“已知條件”，“2ab”中a，b的常數值是不固定的（即長和寬不固定），哪一種最合理呢？可以通過代入不同數值進行檢驗，而這一過程中不變的是“完全平方公式”。在“對象”步驟中，抽象化任務已經完成，研究對象為“代數式”或“多項式”，進而在“圖式”步驟中分析因式分解與整式乘法的聯系、區別。

（二）加強公式特征理解

“公式”是初中階段應用數學知識解決具體問題的重要手段，圍繞著因式分解教學中的解題方法分析，主要涉及“平方差公式”和“完全平方公式”，而這兩個公式在學習因式分解之前就已經出現了，為進一步學習因式分解中的“平方差公式法”和“完全平方公式法”提供了必備條件。無論是將這兩個公式作為“解題思維”，還是“解題手段”，教學中都要強調這兩個公式在“整式乘法”和“因式分解”中處于相互逆轉的形態，這也是學生理解公式的最大障礙。諸如前文中分析的那樣，從“正向思維”向“逆向思維”的轉化過程中，容易出現公式混淆、亂用的現象——基于此，在解題過程中，學生可以采用“結構法”或“換元法”來進行轉化，加深對公式特征的理解。

例如，平方差公式可以表達為“○2-●2=（○+●）（○-●）”，完全平方公式可表達為“□2±2□■+■2=（□±■）2”，以上按照結構規律，通過換元形式，能夠加深學生的記憶，符合“從特殊到一般”的思維訓練規律，學生在進行因式分解解題時，只需要按照“元”的對應性進行取代，就能夠便捷、準確地得到正確答案。例如，在“（2a-b）2-（a+2b）2”這一道題中，學生如果理解了平方差公式的結構特征，則可把（2a-b）可視為○，把（a+2b）視為●，直接通過換元的形式即可展開計算，而不需要先進行“分解多項式”再計算。

（三）加強解題技巧實踐

理解概念、掌握公式只是因式分解教學中“解題能力”的準備階段，要達到熟練、快速、準確的解題效果，還需要一定強度的訓練，這一過程中的技巧總結就顯得尤為重要。從教學角度來說，解題技巧可以通過“歸納法”呈現給學生，實現“特殊性”和“普遍性”的統一。例如，從“公因式”角度出發，解答一道題可以按照如下流程展開：①判斷多項式，如果首項符號為負，則通過調整位置轉化成正，進而提取公因式;②提取公因式后，再判斷多項式，如果為兩項式，可考慮利用“平方差公式法”，如果為三項式則考慮“完全平方公式法”和“十字相乘法”;③提取公因式后，如果多項式為四項及以上的情況，則考慮“分組分解法”。

三、結語

綜上所述，本文圍繞著“公因式”解讀了初中數學因式分解教學中學生常見的理解誤區，為走出誤區，一方面，學生需要加深對公式、概念的理解，避免對“提公因式法”的濫用;另一方面，學生要加強解題技巧的實踐，通過強化練習，全面掌握因式分解的方法。

參考文獻：

[1]王玲玲.重視初中數學概念的生成過程——以“因式分解”的教學為例[J].中學數學，2019（12）：13-14.

[2]常 成.初中數學因式分解技巧研究[J].數學學習與研究，2019（1）：137.

[3]張雅琴.另辟蹊徑巧解題——因式分解的妙用[J].甘肅教育，2017（15）：124.