新型聲學超材料梁帶隙特性分析

溫舒瑞,楊云峰,李鳳明,劉 琛

(1.哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院,哈爾濱 150001； 2.哈爾濱工業大學 機電工程學院,哈爾濱 150001； 3.哈爾濱工業大學 空間環境與物質科學研究院,哈爾濱 150001)

近年來，聲子晶體因其在結構減振降噪領域巨大的潛在應用價值而得到了科研人員的廣泛關注，其帶隙特性研究已成為工程振動控制領域的前沿基礎性問題之一[1].聲子晶體是由兩種或兩種以上介質組成的具有彈性波帶隙特性的周期性復合材料或結構[2].某些頻率范圍內的彈性波無法在其中傳播，相應的頻率范圍稱為帶隙，其他頻率范圍稱為通帶[3].帶隙的形成機理有兩種，即Bragg散射機理和局域共振機理，相應的帶隙稱為Bragg帶隙和局域共振帶隙[4].

Bragg帶隙具有寬度大、衰減能力強的優點.但受到Bragg條件的限制，只有當該型聲子晶體晶格尺寸與彈性波半波長相當時才會出現[5].若想獲得低頻帶隙，需要將晶格尺寸設計的很大.這限制了Bragg型聲子晶體在工程振動控制領域的應用，因為工程中往往對結構尺寸設計有嚴格要求.

2000年，Liu等首次發現并制備了局域共振型聲子晶體，該型聲子晶體表現出負等效質量、負等效剛度和負等效彈性模量等性質，這些與自然界中物質的物理性質迥然相異[6].類比于電磁學超材料的概念，科研人員將這種聲子晶體稱為聲學超材料[7].聲學超材料帶隙頻率對應的波長遠遠大于晶格尺寸，這一發現突破了Bragg條件的限制，為低頻減振降噪提供了新思路.但聲學超材料低頻帶隙較窄，若要將其應用于工程結構的振動控制，有待深入研究.

綜上所述，為了突破局域共振帶隙寬度窄的瓶頸，本文嘗試將剪切模式的磁流變彈性體(magnetorheological elastomer,MRE)引入局域共振單元，設計一種以單胞負等效質量為帶隙主要成因的新型聲學超材料梁并對其帶隙特性進行分析[6].相應研究成果將為聲學超材料的低頻寬頻帶隙設計提供理論支撐和有益參考.

1 問題描述

局域共振帶隙與聲學超材料局域共振單元的固有頻率息息相關，一般條件下，固有頻率決定了局域共振帶隙的位置.以往的相關研究中，超材料結構一經設計，局域共振單元的剛度也隨之確定，使得相應帶隙局限在這一確定的固有頻率附近，造成局域共振帶隙寬度遠小于Bragg帶隙寬度.本文便以此為突破口，研究變剛度局域共振單元對局域共振帶隙的影響，以求有效增大帶隙的寬度.

本文主要以圖1所示的超材料梁為研究對象.其中，L和L1分別為單胞總長與局域共振單元吊點左側梁段的長度，kM和m2分別為磁流變彈性體局域共振單元剛度和附加質量塊質量，Fex為外激勵.初始模型參數見表1，其中，m1為不計局域共振單元時單胞內梁段總質量，kM將在后文中給出.文中涉及到的材料參數見表2.

圖1 磁流變彈性體超材料梁

表1 初始模型參數

Tab.1 Parameters of the initial model

參數名稱/單位數值或關系參數名稱/單位數值或關系梁截面高度hl/m0.005吊點左側梁段長度L1/m0.05梁截面寬度bl/m0.003附加質量塊質量m2/kgm2=m1單胞長度L/m0.1單胞數nc10

表2 文中涉及的材料參數

2 建模方法與單元構建

譜元法是基于波動方程精確解并結合有限元法和動力學剛度法的思想發展而來的一種精確頻域方法.鑒于本文將要進行超材料梁的帶隙特性分析，頻域內計算結果的準確性至關重要，因此，本文將采用譜元法進行建模，下面構建譜單元.

2.1 譜梁單元

在譜梁單元的構建過程中，不考慮剪切變形的影響，即采用如圖2所示歐拉梁模型.圖中，Vb1，Θb1，Vb2和Θb2為譜梁單元的節點位移分量，Qb1，Mb1，Qb2和Mb2為其節點力分量.時域內梁的自由彎曲振動運動方程為

(1)

式中：I為抗彎截面慣性矩；A為梁的橫截面積；v(x,t) 為時域內的橫向位移.

依據離散傅里葉變換理論和奈奎斯特定理，v(x,t)可以寫為譜表達形式

(2)

式中：V(x,ω)為時域內橫向位移的譜分量；ω為第n階諧波頻率.

將式(2)代入式(1)可得

(3)

求解方程(3)，并結合位移連續邊界條件可得

V(x,ω)=NbVb.

(4)

式中：Vb為頻域內的節點位移向量；Nb是譜梁單元的動力學形函數，其具體表達式可參見參考文獻[8].

圖2 譜梁單元的節點力和節點位移

對式(3)應用加權積分法和分部積分可得

Sb(ω)Vb=fb.

(5)

式中：fb為譜梁單元的節點力向量；Sb(ω)為譜梁單元的單元剛度矩陣，具體表達式為

(6)

將Nb的表達式代入式(6)可得

(7)

式中

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：Lb為譜梁單元長度；kb為彎曲波數，具體表達式為

(14)

2.2 磁流變彈性體局域共振譜單元

圖3所示為磁流變彈性體局域共振譜單元，其中，UM1，UM2，fM1和fM2表示該單元的節點位移和節點力分量.磁流變彈性體在剪切模式下的剛度可寫為[9]

(15)

式中：AM為磁流變彈性體剪切面的面積；h為垂直于剪切面的磁流變彈性體厚度；G0為磁流變彈性體固化后未施加外磁場條件下的剪切模量；η為動力粘度；α為不同鐵粒子體積分數的磁流變彈性體對應的微分階數；G為外磁場作用下磁流變彈性體剪切模量的變化量，其具體表達式為

(16)

圖3 磁流變彈性體局域共振譜單元

式中：μ0和μ1分別為磁流變彈性體基體的真空磁導率和相對磁導率；χ為粒子的磁化率；H0為外加磁場強度；φ為鐵粒子的體積分數；Ac為由粒子極化數量決定的系數，當極化的粒子足夠多時，該系數為定值；k0為無縱向壓力條件下鐵粒子間距與半徑的比值；εmatrix為磁流變彈性體基體的正壓應變；γ為振蕩剪切應變的振幅.

利用力-位移關系，由文獻[10]的推導可得磁流變彈性體局域共振譜單元的運動方程為

SM(ω)UM=fM.

(17)

式中：UM和fM分別為磁流變彈性體局域共振譜單元的節點位移和節點力向量；SM(ω) 為該譜單元的單元剛度矩陣，具體表達式為

(18)

基于上述譜梁單元與磁流變彈性體局域共振譜單元，采用相應節點位移疊加的方式進行組裝即可完成對磁流變彈性體超材料梁的動力學建模，具體組裝過程可參見文獻[11].

制備磁流變彈性體一般選用粒徑為3～6 μm的鐵粒子，當鐵粒子的體積分數達到30%左右時，磁流變彈性體在外磁場作用下的剛度可調控性最佳[12-13].因此，本文選擇將鐵粒子體積分數為34%的磁流變彈性體應用于局域共振單元的設計，基于已有研究數據，初始參數見表3[9,14-15].

表3 初始模型磁流變彈性體局域共振單元參數

3 結果分析與討論

3.1 正確性檢驗

基于初始模型，梁的材料選用鋁.當局域共振單元剛度kM為固定值7×105N/m時，在圖1(b)A點沿Y方向施加外激勵Fex=10eiωt，邊界條件為兩端自由，分別采用譜元法和有限元法計算B點沿Y方向的頻響曲線，如圖4所示.圖中SEM1為采用譜元法建模過程中，單胞內吊點兩側的梁段僅用1個譜梁單元建模計算的結果；FEM2和FEM4表示有限元法分別用2個和4個單元進行建模的計算結果.由圖4可見，隨著網格的細化，有限元法的頻響曲線計算結果趨近于譜元法的結果，證明了本文方法的正確性.圖中1 710～2 800 Hz和3 180～3 880 Hz 2個頻段分別對應于Bragg帶隙(BBG)和局域共振帶隙(LRBG).

圖4 譜元法與有限元法計算的頻響曲線

Fig.4 Frequency response calculated by spectral element method and finite element method

3.2 帶隙特性分析

基于初始模型，改變外加磁場強度的大小，計算得到的頻響曲線如圖5所示，相應的磁流變彈性體局域共振單元剛度分別為0 kN/m、726.3 kN/m和1 028 kN/m.由圖可見，隨著外加磁場強度的增大，Bragg帶隙的衰減能力有所減弱，下界頻率增大，上界頻率不變，帶寬略有減小；局域共振帶隙向高頻移動，帶寬增大.

圖5 外加磁場強度對超材料梁帶隙特性的影響

Fig.5 Influence of intensity of applied magnetic field on the band-gap property of metamaterial beam

值得注意的是，圖5中的局域共振帶隙寬度已經超越了相鄰Bragg帶隙的寬度，這與已有局域共振帶隙的研究結論形成鮮明對比，突破了該型帶隙帶寬小的傳統印象和瓶頸.這一發現源于圖5計算結果所對應的局域共振單元剛度不同于正確性檢驗，它不是固定值，而是通過式(15)計算而來.該磁流變彈性體局域共振單元剛度是諧波頻率ω和外加磁場強度H0的函數，并且與兩者呈非線性關系[9].換言之，本文設計的磁流變彈性體局域共振單元可以有效增加相應超材料梁的局域共振帶隙寬度，從而提升該超材料梁的減隔振能力.

為獲得低頻帶隙，本文進一步增加磁流變彈性體局域共振單元的附加質量，相應頻響曲線如圖6所示.從圖中可以發現，隨著附加質量的增加，本文所設計超材料梁的Bragg帶隙下界頻率減小，上界頻率幾乎不變，導致其帶隙寬度增加.同時，局域共振帶隙受到相鄰Bragg帶隙上界頻率的限制，僅能在一定范圍內整體向低頻移動，帶寬減小.

在初始模型基礎上，將外加磁場強度調整為50 kA/m，改變圖1超材料梁的單胞數nc，計算得到的頻響曲線如圖7所示.隨著單胞數的增加，Bragg帶隙和局域共振帶隙的位置和寬度均保持不變，衰減能力明顯增強.

上述改進方式對獲得低頻寬頻帶隙而言作用有限，為此，本文在nc=10的圖7計算模型基礎上，依據表2給出的材料參數改變單胞中局域共振單元吊點左右兩側梁段的材料組合，計算結果如圖8所示.

圖6 局域共振單元質量對超材料梁帶隙特性的影響

Fig.6 Influence of local resonator mass on the band-gap property of metamaterial beam

圖7 單胞數對超材料梁帶隙特性的影響

Fig.7 Influence of cell number on the band-gap property of metamaterial beam

圖8 單胞材料組合對超材料梁帶隙特性影響

Fig.8 Influence of cell-material combination on the band-gap property of metamaterial beam

總體上，材料組合差異越大，低頻帶隙越多，總帶寬越大.具體而言，隨著材料組合中兩種材料差異的增大，所有帶隙衰減能力均明顯提高.Bragg帶隙數量明顯增多，帶寬增大；局域共振帶隙向低頻移動，帶寬有所減小.

4 結論

1)采用基于磁流變彈性體的局域共振單元設計超材料梁，使局域共振帶隙寬度達到與Bragg帶隙相當的水平，是突破局域共振帶隙寬度窄這一傳統瓶頸的有效方式.

2)增大磁流變彈性體局域共振單元附加質量，將減小超材料梁Bragg帶隙的下界頻率(本文50 Hz以上)并拓展其帶隙寬度，與此同時，局域共振帶隙向低頻移動，提高了相應超材料梁的低頻減振能力.

3)增加磁流變彈性體超材料梁單胞數是提高其Bragg帶隙和局域共振帶隙衰減能力的有效手段(本文每增加5個單胞，帶隙內的位移減小約2個量級)，并且這兩類帶隙的位置和帶寬不隨之發生改變.

4)通過對磁流變彈性體超材料梁進行材料周期性設計可大幅提升其低頻減振性能.材料組合中兩種材料的性質差異越大，低頻帶隙越多，總帶寬越大，衰減能力越強.