特大跨徑地錨式懸索橋靜力穩定性分析

黃 僑，單彧詩，宋曉東，李 林，李維珍

(1.東南大學 交通學院,南京 211189； 2.中鐵大橋勘測設計院集團有限公司,武漢 430050)

21世紀以來，伴隨著國民經濟的迅速發展，交通需求日益增長，高新材料不斷出現，設計理論不斷完善，施工技術不斷進步，特大跨徑纜索承重橋梁也得到了興起和發展，其中懸索橋以簡明的傳力路徑和高效的材料利用具有巨大的跨徑增長潛力.目前世界主跨排名前十的已建成的懸索橋中國占6座，包括主跨1 700 m的楊泗港長江大橋和主跨1 688 m的虎門二橋.通常懸索橋的合理矢跨比為1/9～1/11，因此跨徑的不斷增大將導致橋塔的高度不斷增加；同時跨徑越大，恒載所占的比重將越大，因此主塔即使在空載狀態下也承擔著巨大的軸向壓力；為減小橋塔自重而帶來的橋塔截面薄壁化趨勢也進一步降低了橋塔剛度.在上述情況下，大跨徑懸索橋橋塔的靜力穩定問題變得日益突出.

針對懸索橋穩定性的研究已有較多，主要集中為兩個方面.一方面為主纜對塔頂的約束剛度研究，如文獻[1]研究了主纜對塔頂的約束剛度確定問題，文獻[2]推導了多塔懸索橋的縱向剛度計算公式，文獻[3]通過虛功原理推導了主纜對多塔懸索橋中的中塔縱向彈簧約束剛度表達式，文獻[4]研究了雙纜相比于單纜對多塔懸索橋剛度的影響.另一方面為懸索橋穩定性全過程研究，如文獻[5]基于梁單元模型計算分析了施工階段和成橋階段的兩類穩定性，文獻[6]則對懸索橋索塔的穩定性全過程進行了分析，文獻[7]分析計算了自錨式懸索橋的整體穩定和局部穩定問題，文獻[8]對多塔懸索橋進行了中間鋼橋塔結構靜動力穩定性研究.然而，目前對懸索橋穩定性的研究主要為基于桿系單元的有限元模型計算分析，其僅能得出穩定系數，不能模擬非線性失穩時最終混凝土壓碎的破壞形態[9].隨著懸索橋跨度的增大，橋塔增高，恒載增加，結構靜力穩定性下降，結構穩定系數將逐漸減小并接近規范的安全系數或工程經驗限值.此時除計算結構的穩定系數之外，還應全面地分析整個失穩過程、最終失穩模態及破壞形態以提供更詳盡的結構失穩信息.因此，有必要采用實體單元模型對橋塔結構失穩或破壞的過程進行更深入的研究.

由于實體單元的計算代價較高，尤其大跨徑橋梁結構實體模型的計算非常耗時.考慮到懸索橋主塔通常是受壓為主的構件，橋塔失穩是懸索橋失穩的控制性條件，可建立全橋多尺度模型(其中僅主塔采用實體單元)和獨塔實體模型兩種模型進行分析.對于這兩種計算模型，顯然前者對于橋塔的邊界條件模擬更為精確，而后者的計算代價明顯減小，然而在穩定計算中兩種模型計算結果的具體差異尚未明確.因此，本文以在建南京仙新路長江大橋為工程背景，建立全橋多尺度模型及獨塔實體模型，以實體單元模擬主要受壓構件，即主塔，以桿單元或梁單元模擬其余構件，考慮恒載、活載和靜風荷載，分析比較兩種有限元模型所得到的穩定安全系數和失穩破壞模態，研究結果可為未來特大跨徑地錨式懸索橋的設計計算以及簡化模型的選取提供參考.

1 工程背景

在建南京仙新路長江大橋是一座跨徑580 m+1 760 m+580 m的門形塔鋼箱梁地錨式懸索橋，為目前國內已建和在建中最大跨徑的懸索橋，矢跨比1/9，主塔高263.8 m，其立面布置見圖1；加勁梁寬31.5 m，橋面雙向6車道，其標準橫斷面見圖2；橋塔結構設計圖見圖3.

南京仙新路長江大橋的加勁梁為鋼箱梁，采用Q345qD鋼材，主纜采用2 100 MPa高強鋼絲，吊索采用1 700 MPa高強鋼絲.塔柱為普通鋼筋混凝土結構，采用C60混凝土和HRB400普通鋼筋，塔柱橫橋向尺寸為7.5～10.5 m，縱橋向尺寸為11.0～14.0 m.上、中、下塔柱壁厚的變化范圍均為1.2～1.6 m.上下橫梁均為預應力混凝土結構，預應力筋采用1 860 MPa鋼絞線.

圖1 懸索橋立面布置(m)

圖2 加勁梁橫斷面(mm)

圖3 橋塔結構設計圖(cm)

2 有限元模型

本文基于大型通用軟件ABAQUS建立全橋多尺度模型并從其中隔離出來獨塔實體模型，如圖4所示，圖中X方向為縱向，Y方向為橫向，Z方向為豎向，坐標原點設在北岸兩主纜散索點的中點.全橋多尺度模型由獨塔實體模型及桿系單元模擬的纜索和加勁梁組成，如圖4(a)所示；獨塔實體模型可劃分為兩部分：一部分為根據塔柱倒角分段的混凝土部件，如圖4(b)所示；另一部分為根據塔柱配筋方式分段的縱向普通鋼筋部件和預應力鋼筋部件，如圖4(c)所示.

全橋多尺度模型中總計554 109個節點，495 500個單元(其中T3D2單元386 522個，C3D8R單元108 398個，B32單元580個)；獨塔實體模型中總計276 208個節點，247 195個單元(其中T3D2單元192 996個，C3D8R單元54 199個).

對于本構關系，C60混凝土采用塑性損傷模型(Concrete Damaged Plasticity)，1 860鋼絞線采用三折線彈塑性模型[10]，HRB400鋼筋和Q345qD鋼材采用三折線彈塑性模型[10]，2 100 MPa高強鋼絲和1 700 MPa高強鋼絲采用彈性脆性模型[11].材料強度均按照其強度標準值取值.

對于單元類型，主纜、吊索、普通鋼筋、預應力鋼筋采用3維2節點桁架單元(T3D2)，加勁梁采用3維3節點2次梁單元(B32)，橋塔混凝土采用3維8節點6面體線性減縮積分實體單元(C3D8R).

對于邊界條件，主纜端部(考慮錨跨)和塔底為固結，加勁梁與橋塔中橫梁之間以及主纜與塔頂(全橋多尺度模型)之間采用運動耦合約束(Kinematic Coupling)，加勁梁與吊索之間采用多點剛性約束(MPC-Beam)，鋼筋與混凝土采用埋入約束(Embeded).成橋階段的獨塔實體模型將主纜對塔頂的約束作用簡化為縱向彈簧約束，基于全橋多尺度模型，采用單位力作用得出的塔頂剛度減去主塔抗側剛度的方法[1]計算得到其縱向彈簧剛度為1.71×108N/m.

圖4 全橋多尺度模型及獨塔實體模型

對于計算荷載，考慮恒載、活載和風荷載.恒載包括自重和二期恒載；汽車荷載等級為城市-A級[12]，經過對比分析，軸力最大的工況比彎矩最大的工況對主塔的穩定性更為不利，因此活載采用滿載布載工況；風荷載考慮W1和W2風作用水平[13]，方向同坐標軸方向.成橋階段的獨塔實體模型中主纜和加勁梁傳遞到主塔上的作用力均采用全橋多尺度模型計算所得的內力結果.

有限元分析中考慮了兩個計算階段，即主塔裸塔階段和成橋階段，相應的荷載組合見表1.荷載組合中的計算荷載均作為穩定分析中的荷載變量，全橋多尺度模型所計算的荷載組合為組合3～7，獨塔實體模型所計算的荷載組合為組合1～7.

表1 荷載組合

本文首先進行線性穩定分析，采用了軟件中的屈曲分析(Buckle)，得到特征值和屈曲模態，即線性穩定系數和線性失穩模態；然后進行非線性穩定分析，采用了軟件中的靜態隱式分析(Static, General)，考慮包括材料非線性和幾何非線性的雙重非線性，以一階線性失穩模態作為初始缺陷形狀，在線性穩定系數的基礎上估計荷載施加倍數，同步逐級施加相應荷載組合下的計算荷載進行非線性計算，得到荷載位移曲線和破壞形態，并進一步得出極限承載力及相應的荷載系數[14].線性穩定系數及非線性荷載系數均可視為結構穩定的安全系數.

3 穩定性分析

3.1 穩定性分析理論

穩定問題可以分為兩類，第一類穩定問題和第二類穩定問題[15]，或稱為分支點失穩問題和極值點失穩問題.

分支點失穩問題將結構簡化為理想狀態，不考慮結構的初始缺陷，假定材料為線彈性，且不考慮變形的二階效應.結構平衡方程為

(K0+Kσ)U=P.

式中：K0、Kσ分別為結構彈性剛度矩陣和初應力剛度矩陣，U、P分別為節點位移矩陣和等效節點荷載矩陣.

分支點失穩問題實質為特征值λ的求解問題，其特征方程為

|K0+λKσ|=0.

極值點失穩問題則承認結構可能存在的初始缺陷，并考慮幾何非線性和材料非線性，材料采用彈塑性本構關系，變形過程中的二次效應也納入計算.結構平衡方程為

(K0+KL+Kσ)U=P.

式中K0、KL分別為結構彈塑性剛度矩陣和大位移剛度矩陣.

由于第二類穩定問題中位移逐步增加的每一步都對應不同的結構剛度矩陣，因此采用荷載增量法逐級增加荷載，所得荷載位移曲線的荷載上限即為失穩極限荷載.對于以受壓為主的橋塔結構，第二類穩定問題的實質就是極限承載力問題，即橋塔失效前承受外荷載的最大能力，失穩破壞反映的是橋塔結構剛度與強度耦合失效的現象[15].

3.2 穩定性計算結果及分析

在本文所涉及的非線性計算過程中，主纜、吊索和加勁梁的應力水平均未進入塑性階段，因此不考慮主纜、吊索和加勁梁的局部失效問題.計算得到全橋多尺度模型和獨塔實體模型在7種荷載組合下的線性穩定系數和雙重非線性荷載系數以及失穩模態結果見表2.表中加粗數字為各模型在對應階段的最小穩定系數或荷載系數，其所對應的荷載組合為最不利荷載組合.

表2給出了基于不同模型得到的橋塔穩定性計算結果.本文從5個方面分別對表中的計算結果進行分析和對比.

3.2.1 失穩模態

對比表2中裸塔階段和成橋階段的失穩模態可見，裸塔階段的主塔縱向相當于懸臂受力模式，主塔橫向相當于框架受力模式，相比于橫向剛度，主塔的縱向剛度偏小，因此失穩模態為縱向撓曲失穩；成橋階段的由于索鞍固定在塔頂且主纜與索鞍間具有足夠大的摩阻力，主塔在縱向受到主纜較強的約束作用，此時相比于橫向剛度，結構的縱向剛度更大，因此失穩模態為橫向撓曲失穩.

3.2.2 穩定系數

由表2中線性穩定計算結果可知，獨塔模型的線性穩定系數為12左右，多尺度模型的線性穩定系數為14左右，均超過了規范限值4.0，滿足規范[16]要求.由表2中非線性穩定計算結果可知，獨塔模型在各荷載組合下的非線性荷載系數均大于2.0，其最小值為2.18，而多尺度模型計算出來的非線性荷載系數在1.7左右，低于2.0，最小值為1.64.

表2 線性穩定系數、雙重非線性荷載系數及失穩模態結果

非線性(含材料非線性和幾何非線性)穩定的安全系數限值在現行《公路懸索橋設計規范》(JTG/T D65-05—2015)[16]中無明確規定.根據已有的文獻[17-18]，基于部分實橋計算得到的雙重非線性荷載系數也有低于2.0的情況.考慮到非線性穩定計算時所有荷載組合中的恒載均為變量，特大跨徑地錨式懸索橋主纜拉力中恒載所占的比重已超過90%[19]，本文計算的仙新橋塔底豎向反力中恒載所占的比重約為96%，而實際恒載變化的可能性很小，因此荷載系數達到1.64的可能性也非常有限.而且非線性穩定分析的實質是構件及其控制截面的承載力問題，采用MIDAS Civil對橋塔結構軸力最大和彎矩最大兩種設計工況進行軸向承載力驗算結果均可滿足要求.

3.2.3 不同荷載組合下的穩定系數的對比

對比表2中各種荷載組合下的穩定安全系數可知，無論是多尺度模型還是獨塔模型，無論是線性穩定還是非線性穩定，其穩定安全系數的計算結果都存在相同的趨勢.對于裸塔階段，結構發生縱向撓曲失穩，因此包含縱風的荷載組合穩定安全系數小于包含橫風的，最不利荷載組合為組合2，即“恒載+縱向施工風”；對于成橋階段，結構發生橫向撓曲失穩，因此包含橫風的荷載組合穩定安全系數小于包含縱風的，最不利荷載組合為組合6，即“恒載+活載+橫向W1風”，且穩定系數由小到大的荷載組合為“恒載+活載+W1風”，“恒載+活載”，“恒載+W2風”.

3.2.4 線性穩定系數與非線性荷載系數對比

對比線性和非線性穩定安全系數計算結果可知，對于裸塔階段，考慮雙重非線性的穩定安全系數相比于線性降低了2/3～3/4左右；對于成橋階段，考慮雙重非線性的穩定安全系數相比于線性降低了5/6～6/7左右.由非線性穩定安全系數相比于線性大幅降低可知，僅計算線性穩定對于大跨度懸索橋已不能滿足需求，未來隨著懸索橋的跨徑逐漸增大，進行基于全橋模型的非線性穩定分析將變得愈加必要.

3.2.5 全橋多尺度模型和獨塔實體模型的穩定系數對比

對比全橋多尺度模型和獨塔實體模型的成橋階段穩定計算結果可知，全橋多尺度模型的線性穩定系數略大于獨塔模型，而全橋多尺度模型的非線性荷載系數略小于獨塔模型.

可以認為，全橋多尺度模型相比之下更精細，邊界條件更接近于真實情況，而且非線性分析結果能夠反映出整體結構進入非線性階段后的內力重分布特點，因此更接近真實結果.但全橋多尺度模型非常龐大，節點和單元數均為獨塔實體模型的兩倍左右，這對于常規的32 G內存的臺式機，全橋多尺度模型的計算耗時約為72 h，而獨塔實體模型計算耗時約為24 h，顯然前者求解的時間代價更高.獨塔實體模型則以犧牲邊界條件的精確性為代價簡化了模型并明顯減小了計算耗時，其將塔頂的主纜約束以縱向彈簧約束代替，將非線性計算過程中塔頂主纜及加勁梁支座傳遞的內力不斷增加，并以各種荷載組合下多尺度模型的相應內力作為荷載進行線性增加.

對于線性穩定系數，由于成橋階段的結構失穩模態為橫向撓曲失穩，而獨塔模型僅將塔頂的主纜約束以縱向彈簧約束代替，忽略了主纜對塔頂的橫向約束剛度，故全橋多尺度模型的線性穩定系數略大于獨塔模型.

對于非線性荷載系數，為更深入地剖析獨塔模型對于塔頂的力邊界條件的簡化，以最不利荷載組合(組合6)為例，提取非線性計算過程中主塔柱的塔頂截面所有節點力的豎向合力，即該塔柱所承擔的豎向力.并將塔頂豎向力系數定義為非線性計算過程中該豎向力的增長系數，塔頂豎向力系數的基數為外荷載系數等于1時的塔頂豎向力；外荷載系數為結構所施加外荷載的增長系數，外荷載系數的基數為相應荷載組合的一倍荷載值.繪制塔頂豎向力系數及外荷載系數隨塔頂橫向位移的變化曲線見圖5.

圖5 塔頂豎向力系數及外荷載系數隨塔頂橫向位移的變化曲線

Fig.5 Variation of overhead vertical force coefficient and load coefficient with overhead transverse displacement

由圖5可知，隨著位移的增加，塔頂豎向力系數越來越大于外荷載系數，當外荷載系數增長到1.6～1.7時，塔頂作用的豎向力系數可達到1.8～1.9.這意味著在雙重非線性穩定計算的過程中，結構剛度不斷變化所造成的結構內力重分布使得主塔所承擔的荷載比重逐漸增加，而獨塔模型假定塔頂傳遞的豎向力系數等于外荷載系數則忽略了這種不利效應，故全橋多尺度模型的非線性荷載系數會小于獨塔模型.

因此，簡化的獨塔模型能夠在減小計算代價的同時在一定程度上代表全橋結構計算結果，但隨著懸索橋跨度逐漸增大，采用全橋模型所得到的靜力穩定性結果更具參考價值.

3.3 失穩模態和破壞形態分析

對于線性穩定，計算得到獨塔實體模型在裸塔階段和全橋多尺度模型在成橋階段的最不利荷載組合下(組合2和組合6)的線性失穩模態圖見圖6、7.

圖6 裸塔階段線性失穩模態

圖7 成橋階段線性失穩模態

由圖6和圖7可見，裸塔階段和成橋階段的失穩模態分別為縱向撓曲失穩和橫向撓曲失穩.

對于非線性穩定，由于懸索橋全橋結構壓力最大的部分為主塔下塔柱部分，提取多尺度模型中主塔下塔柱在最不利荷載組合(組合6)下混凝土達到材料標準值的混凝土峰值應力荷載步以及結構達到極限承載力的極限承載力荷載步的混凝土主壓應力和鋼筋應力見圖8.圖中X方向指向跨中，Y方向為橫向W1風作用方向.

由圖8可見，從混凝土峰值應力荷載步到極限承載力荷載步，下塔柱部分的混凝土最大主壓應力已達到C60混凝土抗壓強度標準值38.5 MPa，鋼筋應力已達到HRB400鋼筋抗壓強度標準值400 MPa，且材料屈服區域逐漸擴大.另外在極限承載力荷載步，混凝土應變已超過極限壓應變0.003，說明材料逐漸屈服直至最終混凝土被壓碎是導致結構發生非線性失穩的原因.由于塔底固結約束的存在，主塔在發生橫向撓曲失穩時最先發生屈服的部位為下塔柱部分，而非塔底處.另外，由跨中側塔柱表面壓力高于岸側塔柱表面壓力以及背風側塔柱壓力略高于迎風側塔柱壓力可知，塔柱結構的主要變形模式為縱向撓曲，并伴隨著橫向撓曲.

圖8 組合6混凝土主壓應力和鋼筋應力(Pa)

為更清晰地展示非線性計算中的破壞形態，提取多尺度模型中主塔下塔柱在最不利荷載組合(組合6)下的極限承載力荷載步至放寬收斂條件所得的最終荷載步的混凝土受壓損傷因子DAMAGEC(compressive damage)演變圖見圖9.

結合圖8和圖9可見，在橫向風荷載的作用下，塔柱結構的變形伴隨著橫向撓曲，因此圖8中主塔塔柱背風側混凝土和鋼筋達到相應抗壓強度標準值的部分比迎風側更大，這也導致圖9中塔柱背風側混凝土受壓損傷所帶來的剛度折減較為嚴重，且損傷發展更為迅速.且由圖9可見，主塔塔柱背風側主要承受豎向壓力和指向跨中側的剪力，其所受橫風荷載相對較小，因此最終發生塔底混凝土壓碎破壞時呈現出典型的壓彎破壞形態；而塔柱迎風側由于所受的橫風荷載較大，在豎向壓力、橫向剪力和縱向剪力的共同作用下有扭轉的趨勢，因此呈現出混凝土壓碎區交叉的壓彎扭復合受力破壞形態.在工程建設中，隨著材料強度的提高，結構呈現出薄壁化趨勢，高強度等級的材料能夠滿足薄壁化趨勢的強度要求，而與此同時應更關注結構的穩定性要求.

圖9 組合6混凝土受壓損傷因子演變圖

4 結 論

1)對特大跨徑地錨式懸索橋橋塔穩定性的進行計算分析，結果表明，裸塔階段考慮雙重非線性的穩定安全系數相比于線性降低了約2/3～3/4；成橋階段考慮雙重非線性的穩定安全系數相比于線性降低了約5/6～6/7.對于特大跨徑地錨式懸索橋，僅計算線性穩定性已難以滿足安全判斷的需求，對該類結構的非線性穩定分析應予以足夠的重視，并可以作為極限狀態下承載力復核的輔助手段.

2)全橋多尺度模型的線性穩定系數略大于獨塔模型，而全橋多尺度模型的非線性荷載系數略小于獨塔模型.簡化的獨塔實體模型能夠在減小計算代價的同時在一定程度上代表全橋結構計算結果，但隨著懸索橋跨度逐漸增大，全橋多尺度模型所得到的結果更具參考價值.

3)主塔達到極限承載力，發生非線性失穩破壞時，混凝土及鋼筋應力均已達到其抗壓強度標準值，材料的屈服導致了結構發生非線性失穩.

4)主塔塔柱失穩破壞時，背風側呈現出典型壓彎破壞，迎風側呈現出混凝土壓碎區交叉的壓彎扭復合受力破壞形態.隨著結構薄壁化趨勢的發展，在滿足承載力要求的同時亦應關注橋塔結構的非線性穩定問題.