外差激光干涉儀周期非線性誤差形成機理與補償方法

王 越,胡鵬程,付海金,楊宏興,楊睿韜,譚久彬

(1.哈爾濱工業大學 超精密光電儀器工程研究所，哈爾濱 150080；2.精密儀器技術及智能化工業和信息化部重點實驗室(哈爾濱工業大學)，哈爾濱 150080)

外差激光干涉測量儀具有測量精度高、測量速度快、非接觸、可直接溯源至長度基準等優點，是高精度位移測量的代表性精密儀器[1-4].隨著超精密加工制造、精密計量、引力波探測等科學研究與工業技術領域的發展，對位移測量精度的需求逐漸由納米量級過渡為亞納米甚至皮米量級.在以光刻機為代表的超精密加工制造領域，為實現集成電路特征線寬達到5 nm甚至1 nm，外差激光干涉儀對硅片臺和掩膜臺位置的測量精度需要達到0.1 nm甚至數十皮米量級[5-6].在質量量子化基準裝置中，外差激光干涉儀負責對能量/功率線圈的位移的精密測量，若要實現10-8量級以上的溯源精度，外差激光干涉儀的測量精度需要突破0.1 nm[7-11].在引力波探測裝置LISA中，為了能夠在數千至百萬千米的等效臂長下實現不同頻段引力波的探測，外差激光干涉儀需要精確識別出皮米量級的位移[12-15].

面臨著上述亞納米/皮米量級超精密位移測量精度需求的挑戰，周期非線性誤差的問題逐漸成為外差激光干涉儀測量精度進一步提升的障礙.周期非線性誤差是外差激光干涉儀的一種原理性誤差，其隨著位移的變化表現為周期性的變化規律，當目標每運動半個波長時，該誤差至少出現一次數納米至數十納米的峰值.外差激光干涉測量技術誕生后不久，Quenelle就發現了周期非線性誤差的存在[16].隨后，Sutton通過實驗進一步驗證了非線性誤差隨測量位移周期性變化的規律[17].此后，國內外研究人員對周期非線性誤差的理論模型和抑制方法進行了廣泛的理論與實驗研究[18-24].針對外差激光干涉儀中的周期非線性誤差問題，本文重點分析外差激光干涉儀中的兩類周期非線性誤差的形成機理，對具有代表性的周期非線性誤差優化補償方法進行了研究.本文旨在為抑制外差激光干涉測量技術中非線性誤差，進一步提高外差激光干涉儀測量精度提供有益的參考.

1 外差激光干涉儀中的周期非線性誤差形成機理

在外差激光干涉儀中，根據誤差來源不同，周期非線性誤差可以分為兩類：第1類周期非線性誤差來源于共光路的測量光、參考光無法完全分離引起的“雙頻激光交叉混疊”，第2類周期非線性誤差來源于主要測量光束引起的部分虛反射光束的“多階多普勒頻移虛反射光束自混疊”.下面詳細分析兩類周期非線性誤差的形成機理.

1.1 外差激光干涉儀中的第1類周期非線性誤差

在理想外差激光干涉儀中，偏振分光鏡PBS將共軸傳輸的兩個頻率光f1、f2完全分離.但是實際中，如圖1所示，由于雙頻激光器存在橢偏化、安裝誤差、偏振分光鏡不理想等原因[25-30]，導致在測量光路或者參考光路中存在著另一頻率的泄漏光，這種現象就是雙頻激光交叉混疊.

圖1 外差激光干涉儀中雙頻激光交叉混疊示意圖

由于雙頻激光交叉混疊，實際外差激光干涉儀中的測量與參考光束表示為

(1)

式中：A、B分別為主要測量和參考光束的幅值，α、β分別為參考和測量光路中泄漏光的幅值;Γ1=α/A,Γ2=β/B稱為泄漏系數;Δφ=2πfd為測量位相，fd為目標運動所引入的多普勒頻移;ω1=2πf1,ω2=2πf2.如圖2(a)所示，含有泄漏光的測量光束與參考光束干涉后形成測量信號為

Im∝ABcos(Δωt+Δφ)+(Aβ+Bα)cos(Δωt)+αβcos(Δωt-Δφ).

(2)

式中：Δω=ω1-ω2；第1項為主要測量信號(main measurement signal, MMS)，后兩項分別為0階和-1階寄生干涉信號(parasite interference signal,PIS)，對其進行仿真可以得到測量信號頻譜如圖2(b)所示,其中設置雙頻激光頻差Δf=5 MHz，多普勒頻移fd=1 MHz，泄漏系數Γ1=Γ2=0.1.可見受到雙頻激光交叉混疊影響的信號中，除了主要測量信號外，還包含有一階和二階寄生干涉信號.

圖2 雙頻激光交叉混疊誤差形成機理和測量信號頻譜分布

對式(2)進行變形，可得

Im∝ABcos(Δωt+Δφ+Δφnonlin).

(3)

式中Δφnonlin1為非線性誤差項，可以表示為

(4)

對于一般的外差激光干涉儀，Γ1?1，Γ2?1，則式(4)可近似為

(5)

根據外差激光干涉儀測量位移與位相的關系，可計算得外差激光干涉儀第1類周期非線性誤差為

(6)

由式(6)可見，第1類周期非線性誤差中包含有兩項，其中第1項與第2項分別為一階和二階周期非線性誤差.設定主要參考和測量光束幅值A=B=1，對式(6)進行仿真如圖3所示.圖3(a)為不同泄漏系數下的非線性誤差曲線，從圖中可以看出，隨著泄漏系數的增大，非線性誤差也隨之增大.圖3(b)為泄漏系數為0.1的情況下，一階和二階非線性誤差曲線，從圖中可以看出，一階非線性誤差要遠大于二階非線性誤差，這也說明了非線性誤差大小主要取決于一階非線性誤差的大小，同時一階和二階寄生干涉信號引入的非線性誤差都具有明顯的周期性，且周期分別為2π和π.

圖3 雙頻激光交叉混疊導致的非線性誤差曲線

1.2 外差激光干涉儀中的第2類周期非線性誤差

伴隨著位移測量精度要求逐漸過渡到亞納米至皮米量級，哈爾濱工業大學胡鵬程等[23-24]發現外差激光干涉儀中存在著一種來源與表現形式都不同于第1類周期非線性誤差的新型周期非線性誤差——第2類周期非線性誤差.研究表明第2類周期非線性誤差來源于外差激光干涉儀中測量光束在光學界面處所產生的部分虛反射光引入的多階多普勒頻移虛反射光束自混疊.外差激光干涉儀的干涉光路由多個光學元件構成，存在著大量的光學界面.理論上主要測量光經過的每個光學界面上都會產生虛反射光束.圖4為多階多普勒頻移(Doppler frequency shift,DFS)光束形成的示意圖.圖4(a)為主要測量光束的傳播路徑，光束在目標反射鏡上反射1次，因此具有一階多普勒頻移；圖4(b)中，主要測量光束穿過PBS，在1/4波片(QWP)外表面發生反射，產生零階多普勒頻移虛反射光束；圖4(c)、4(d)分別表示具有二階和三階多普勒頻移的虛反射光束產生過程.

圖4 多階多普勒頻移形成過程示意圖[23]

在外差激光干涉儀中，主要測量光束表示為

Em=Acos(ω1t+Δφ).

(7)

根據圖4分析，包含多階多普勒頻移分量的虛反射光束可表示為

Egh=γ0cos(ω1t)+γ1cos(ω1t+Δφ)+

γ2cos(ω1t+2Δφ)+γkcos(ω1t+kΔφ).

(8)

式中γk=AR|k-1|/2為各階虛反射光束幅值，R為虛反射率.

參考鏡固定不動，在參考光路中沒有多階多普勒頻移產生，因此，參考光束可表示為

Er=Bcos(ω2t).

(9)

如圖5(a)所示，虛反射光束、測量光束與參考光束發生干涉后，得到測量信號為

Im∝(Em+Er+Egh)·(Em+Er+Egh)*.

(10)

式(10)經過化簡，得到

Im∝Γ0cos(Δωt)+Γ1cos(Δωt+Δφ)+

Γ2cos(Δωt+2Δφ)+…+Γkcos(Δωt+kΔφ).

(11)

式中：Γ0-Γk為各干涉分量的幅值，Γk=Bγk=ABR|k-1|/2；Γ1cos(Δωt+Δφ)為主要測量信號；Γkcos(Δωt+kΔφ)為k階寄生干涉信號.

設置雙頻激光頻差Δf=5 MHz，多普勒頻移fd=1 MHz，虛反射率R=1%，對式(11)進行仿真可以得到測量信號頻譜如圖5(b)所示.相比于雙頻激光交叉混疊模型，在多階多普勒頻移虛反射光束自混疊模型中，沒有-1階寄生干涉信號，并且信號中含有大量高階寄生干涉信號.

對各階寄生干涉信號的影響進行獨立分析，k階寄生干涉信號引入的非線性誤差可表示為

(12)

由于Γk?Γ1，對式(12)進行一階泰勒展開后，可得由k階寄生干涉信號引入的周期非線性誤差為

(13)

根據外差激光干涉儀測量位移與位相的關系，可計算得外差激光干涉儀第2類周期非線性誤差為

(14)

由式(14)可以看出，各階非線性誤差隨虛反射率的增大而增大，且階數越大，誤差越小.對式(14)進行仿真得到不同階次非線性誤差曲線如圖6所示，可見多階多普勒頻移虛反射引入的非線性誤差隨著測量位相呈現周期性變化，且多普勒頻移的階次越高，變化周期越小；非線性誤差的大小隨著多普勒頻移階次的增大而減小，隨著虛反射率的增大而增大.

圖5 多階多普勒頻移虛反射光束自混疊模型非線性誤差形成機理與測量信號頻譜分布

綜上分析，第1類與第2類周期非線性誤差形成機理和表現形式均有所不同.第1類周期非線性誤差來源于雙頻激光交叉混疊，非線性誤差中僅包含有一階和二階非線性誤差，誤差大小主要與外差激光干涉儀中的光學泄漏系數相關.第2類周期非線性誤差來源于多階多普勒頻移虛反射光束自混疊，誤差中包含有高階非線性誤差，誤差大小主要與外差激光干涉儀中光學界面的虛反射率相關.一般來說，在外差激光干涉儀中，第1類周期非線性誤差大于第2類周期非線性誤差，并且二者同時存在.

2 周期非線性誤差補償方法

非線性誤差補償方法是抑制周期非線性誤差影響，提高外差激光干涉儀測量精度的重要措施.根據第1節的分析，第1類和第2類周期非線性誤差的來源與形成原理互不相同，因此針對兩者的非線性誤差補償措施也有所不同，下面分別介紹.

2.1 第1類周期非線性誤差補償方法

針對第1類周期非線性誤差的補償，研究人員已經進行了廣泛而深入的研究，并提出了多種補償方法.這些非線性誤差補償方法大體上可以分為3種：第1種補償方法主要通過調整光路來減小非線性誤差[31-35]，德國聯邦物理技術研究院提出了基于正交測量的外差激光干涉儀周期非線性誤差補償方法[33]，如圖7(a)所示，該方法利用PBS將測量信號分為兩個偏振方向正交的信號同時進行探測，得到兩個測量結果并相加，測量的周期非線性誤差項由于符號相反相消而減小，從而達到補償周期非線性誤差的目的，這種方法能將外差激光干涉儀周期非線性誤差補償至幾納米.第2種補償方法一般通過信號處理算法的改進來對包含有非線性誤差的信號進行補償[36-40].韓國標準與科學研究院提出了基于橢圓擬合的外差激光干涉儀周期非線性誤差補償方法[36]，如圖7(b)所示，該方法通過橢圓擬合法提取橢圓參數對非線性誤差進行補償從而去除非線性誤差，這種方法實際中可以將非線性誤差補償至亞納米量級.可見現有的周期非線性誤差補償方法普遍比較復雜，而且難以將周期非線性誤差抑制到0.1 nm以下.第3種非線性誤差補償方法為空間分離式外差激光干涉結構[41]，如圖8所示，該方法采用獨立產生的不共光路雙頻光源，其測量/參考光束在進行外差干涉之前從不共光路，避免了雙頻激光無法完全分離的問題.該方法可以從源頭上消除雙頻激光交叉混疊引入的第1類周期非線性誤差.為此，美國NIST[42-43]、美國Rochester大學[44]、德國PTB[45]、荷蘭Delft理工大學[46]、我國清華大學[47]和哈爾濱工業大學[48]等設計了多種空間分離式外差激光干涉儀.這些空間分離式外差激光干涉儀原理上可完全消除第1類周期非線性誤差，實驗表明剩余非線性誤差為數十皮米到一納米，并且剩余非線性誤差均為多階多普勒頻移虛反射光束自混疊引起的第2類周期非線性誤差[23-24].

圖7 第1類周期非線性誤差補償方法

圖8 空間分離式外差激光干涉結構[23]

2.2 第2類周期非線性誤差補償方法

根據第2.1節的分析，空間分離式外差激光干涉結構可以從原理上去除第1類周期非線性誤差.在此基礎上，研究人員提出了多種第2類周期非線性誤差的補償方法.根據第1.2節的分析，第2類周期非線性誤差與虛反射率的大小成正相關的關系.因此，鍍增透膜以降低光學元件表面反射率來減弱虛反射光束的強度的方法被提出來[49].該方法基于薄膜干涉原理，在光學元件表面鍍適當厚度的薄膜，使在薄膜兩個面反射光的光程差恰好等于半個波長，從而相互抵消.在此基礎上，為了進一步減低反射率，又提出了多層增透膜設計[50].普通寬帶增透膜反射率為0.25%，而針對單一波長的窄帶增透膜反射率可達0.1%.根據第1.2節中式(14)可以計算出不同反射率下周期非線性誤差大小,見表1，可見僅僅通過降低反射率無法使周期非線性誤差降至皮米量級.

此外，根據虛反射光束方向與產生該光束的光學界面角度相關的特點，可以通過調節虛反射面角度與空間濾波的方法來減小虛反射光束對外差激光干涉測量的影響[51-52].該方法通過調節虛反射面角度使虛反射光束與主要測量光束之間產生失配角，同時在接收器前加裝透鏡，利用透鏡的聚焦作用濾除與主要測量光束失配角過大的虛反射光束，從而消除虛反射光束引起的第2類周期非線性誤差.如圖9所示，空間濾波透鏡焦距為100 mm，光纖接收器直徑為10 μm，所有器件均鍍有增透膜，反射率約為0.1%.當失配角大于200 μrad時，該虛反射面產生的虛反射光束引入的周期非線性誤差基本被去除.德國聯邦物理研究院的Weichert-type空間分離式外差激光干涉結構中采用了這些措施，該干涉結構的周期非線性誤差能夠達到±10 pm[45].然而，由于外差激光干涉儀中若干光學界面之間虛反射行為復雜，存在著單次、多次虛反射情況，簡單調節部分虛反射面角度不能保證所有虛反射光束完全逸出主要測量光路.因此，亟需研發能夠精確調整虛反射光束傳輸路徑的優化和分析技術來消除虛反射光束引入的周期非線性誤差.

表1 不同反射率下各階多普勒頻移虛反射光束引入的周期非線性誤差

Tab.1 Nonlinear errors induced by DFS ghost beam of each order with different reflectivity

類型界面反射率/%各階虛反射引入的非線性誤差/nm1階2階3階未鍍膜4.0010.1002.0000.400寬帶增透膜0.252.5000.1300.006窄帶增透膜0.101.6000.0500.001

圖9 調節虛反射角度與空間濾波去除第2類周期非線性誤差原理與誤差曲線

綜上所述，第1類周期非線性誤差與第2類周期非線性誤差的補償方法各不相同.針對第1類周期非線性誤差，現有的補償方法可將誤差抑制至0.1 nm量級，近年來的空間分離式外差激光干涉結構可以從原理上消除第1類周期非線性誤差.針對第2類周期非線性誤差，通過降低虛反射率以及調節虛反射面角度和空間濾波的方法，可以將非線性誤差減小至數十皮米.然而由于外差激光干涉儀中虛反射情況復雜，目前尚無針對性的優化和分析技術，不能完全滿足皮米測量的需求.

3 結 論

1)為提高外差激光干涉儀測量精度，對外差激光干涉儀中周期非線性誤差的形成機理和補償方法進行研究，對比分析了外差激光干涉儀中的兩類周期非線性誤差，即雙頻激光交叉混疊引起的第1類周期非線性誤差和多階多普勒頻移虛反射光束自混疊引起的第2類周期非線性誤差.前者周期非線性誤差中只包含一階和二階非線性誤差，后者除一階和二階非線性誤差外，還包含有高階非線性誤差.此外，前者幅值可達數納米到數十納米，后者幅值為數納米到數皮米.

2)現有第1類周期非線性誤差補償方法，可將誤差抑制至0.1 nm量級,特別是空間分離式外差激光干涉儀,從原理上完全消除了這一類誤差；對于第2類周期非線性誤差，現有方法可以將其減小到數十皮米.

3)隨著外差激光干涉測量精度需求逐漸由納米量級到皮米量級，現有非線性誤差補償方法尚不能完全滿足皮米測量的需求，亟需研發新的第2類周期非線性誤差優化補償技術.