Schwarz Christoffel 變換在曲流河地質建模中的應用

王玉風，陳昭衡

（1.隴東學院能源工程學院，甘肅慶陽 745100；2.中國石油天然氣股份有限公司長慶油田分公司第八采油廠，陜西西安 710021）

曲流河致密砂巖儲層物性非均質強，物性分布復雜，如何精確模擬曲流河沉積相致密砂巖儲層是油藏開發階段研究的一個核心內容，但模擬要基于地質靜態的地質模型，地質模型是對油氣藏的類型、幾何形態、規模大小、油藏內部結構、儲層參數及流體分布的高度概括，同時也是油藏綜合評價的地質基礎、油藏數值模擬的必要參數以及油藏開發調整方案的直接依據。國內對于曲流河的地質建模方法，一般都是基于常規的地質統計學方法進行建模研究[1-5]?；诘刭|統計學的屬性數據模擬，這些屬性數據分布的趨勢與變差函數有著密切的關系。在曲流河沉積的區域，河道多次變遷、改向使得很難用變差函數來控制約束屬性數據的方向。為此提出了Schwarz Christoffel 映射變換模型，將曲流河沿著河道映射到矩形區域，在矩形區域中按照常規地質統計學方法進行模型建立并預測屬性參數。Schwarz Christoffel 變換能夠把一個二維空間上復雜邊界幾何體映射到另一個二維空間上形狀簡單的幾何體，從而可以簡化工程中復雜邊界問題的處理。因此借助Schwarz Christoffel 變換方法，把曲流河沿著河道方向映射到矩形區域，映射后的模型保證河道方向唯一性。在Schwarz Christoffel 變換方面，諸多學者做了大量的研究。從多邊形帶狀區域到矩形區域的Schwarz Christoffel 變換映射，需要借助帶狀過度區域輔助完成映射。先將多邊形帶狀區域映射到上半平面的兩端開口的帶狀過度區域，帶狀過度區域的高度為1，然后借助雅克比橢圓函數與對數函數的復合關系，將帶狀過度區域邊界映射到矩形區域邊界[7]。在Schwarz Christoffel 映射變數值計算時，多邊形帶狀區域形狀與矩形區域的形狀差異大，或映射點選擇不當，將導致計算速度慢，計算結果精度低[8，9]。多邊形帶狀區域到帶狀過度區域的Schwarz Christoffel 變換數值計算時，存在奇異積分方程的計算。對于奇異積分方程處理時，需要借助高斯雅克比積分方法進行求解。高斯雅克比積分求解時的難點在于如何選擇積分節點數量及積分的路徑長度，Tobin A 和Eugenio Costamagna 提出了解決辦法[9，10]。Schwarz Christoffel 邊界映射計算都要受到邊界映射點位的約束，要遵循黎曼原理。王玉風等根據文獻[11，12]對實參數的變換方法，結合文獻[7]變換思想，建立復參數與實參數的變換關系，解決了邊界映射參數的約束問題。

借鑒這些學者的研究成果，根據曲流河的特點，將帶狀不規則曲流河邊界進行離散，形成封閉的多邊形帶狀區域。根據Schwarz Christoffel 變換的基本思想及曲流河形狀與矩形區域形狀的相似關系，將曲流河邊界沿著河流的流向映射到矩形規則區域，曲流河中的井位等相關參數映射到規則矩形區域進行地質模型的建立與分析。經過映射之后，規則區域中河流的流向與矩形邊界平行或垂直，因此對于映射后的矩形區域油藏而言，儲層物性沿著河道的分布方向基本統一。通過上述映射變換的模擬，使得模擬的結果更加符合實際的沉積情況。

1 基本數學原理

在復平面w（封閉多邊形區域）上有N（N≥4）邊形，它的頂點與內角分別為wb（k）和παk（k=1，2，…N）。將帶狀區域z 邊界上的點映射到復平面w 多邊形區域頂點的Schwarz Christoffel 映射公式為：

式中：A-伸縮系數；C-映射中心，m；wb（k）-多邊形區域邊界點，m；zb（k）-帶狀過度區域邊界點，m；fj（ξ）-分段函數，具體表達式如下：

式中：i-虛數單位；M-帶狀區域下邊界點的總個數；N-復平面w 多邊形區域頂點的總個數；θ+-帶狀區域左邊的無限遠點的角度，rad，則θ+=π；θ--帶狀區域右邊的無限遠點的角度，rad，則θ-=-π。

若已知矩形基本參數，即映射模量，則矩形區域邊界到帶狀區域邊界的Schwarz Christoffel 映射可由（3）式表示：

式中：ub（k）-矩形區域邊界點位，m；l-第一類橢圓函數的映射模量，由選擇映射的矩形頂點決定。關于（2）式與（3）式邊界映射的計算方法在文獻[6]中已有詳細論述。

2 實例分析

2.1 X 油藏基本情況

X 油田2000 年發現，位于鄂爾多斯盆地，其勘探開發主要經歷了三個階段，第一階段15×104t 方案編制實施、第二階段全油田20×104t 方案編制實施滾動增儲上產、第三階段全油田50×104t 產能方案編制及實施。到2017 年7 月，X 油田砂巖油藏共鉆井78 口，其中直井50 口，水平井28 口，目前采油井70 口，累積采油24.48×104m3。2006 年8 月開始注水，目前注水井8 口，累積注水6.68×104m3。

X 砂巖油藏屬于河流相沉積，屬于小型的地層加背斜構造復合圈閉，油藏整體無統一的油水界面，含油面積79.6 km2。含油范圍既受巖性尖滅線限制，也受構造控制。針對X 砂巖油藏，采用測井曲線組合對比的方法，首先從取心井的骨架剖面出發，確定全區閉合的精細地層劃分對比方案，進而擴展到全區78 口直井，建立X 砂巖油藏精細的地層格架。研究區內X 砂巖油藏厚度為8 m～26 m，總體上具有由西向東、由南向北逐漸減薄的趨勢。X 砂巖油藏地層自下而上劃分為5個砂層。X 砂巖油藏共計有78 口井，其中部分直井與斜井位于同一個位置，因此在建模過程中，選出本區域具有代表性的38 口井進行建模。

根據X 砂巖油藏沉積相分布情況，確定油藏的邊界，并將油藏的邊界進行離散。X 砂巖油藏邊界及井位分布（見圖1）。根據圖1 油藏邊界的形狀，按照第1 部分的方法確定矩形油藏邊界四個頂點，第一頂點為37號點，第二頂點為16 號點，第三頂點為17 號點，第四頂點為36 號點。

2.2 矩形區中地質模型建立及物性參數的建立與分析

為了使映射后建立的矩形區域的模型與原地質模型在尺度上具有一致性，對矩形區域中的地質模型進行縮放。由于矩形邊界的第一點（37 點）位于坐標原點，不存在平移，因此只需對帶狀區域邊界及帶狀區域中的井位乘以相應的伸縮系數即可。根據映射伸縮系數的計算方法，計算得到x 方向的伸縮系數為2 462.986，y 方向的伸縮系數為22 230.606。因此在建立矩形區域的地質模型時，對映射后矩形區域的井位及邊界點數據，分別乘以x 方向和y 方向對應的伸縮系數，同時分別除以矩形寬度和矩形的高度。在構造、地層模型的控制下，通過不同模擬方法比較，最終選用了砂層厚度控制的序貫高斯模擬方法，模擬了X 砂巖油藏在映射后矩形區域油藏中的孔隙度參數場的分布（見圖2），孔隙度沿著矩形區域油藏的高度方向呈現條帶狀的分布。

圖1 油藏邊界映射為矩形區域的頂點選擇結果

圖2 矩形區域中X 砂巖油藏孔隙度分布模擬結果圖

2.3 矩形區域地質模型與原區域模型的比較

針對原始油藏的數據，在構造、地層模型的控制下，采用序貫高斯模擬方法，模擬了X 砂巖油藏映射前的孔隙度參數場的分布模型（見圖3）。從圖3 四個圖采用序貫高斯模擬孔隙度的方向與變差函數分析的方向基本一致，在河流改向后有一段與孔隙度的變化方向與河流流向垂直，造成這種結果的主要原因是由于變差函數的方向性引起的。在第2 小層、第3 小層和第5 小層的模擬中，孔隙度都呈現出明顯的方向性，而且這個方向由變差函數的方向決定。

圖3 X 砂巖油藏映射變換前的孔隙度分布圖

圖4 從矩陣區域還原到實際油藏邊界的X 砂巖油藏孔隙度分布圖

將區域的地質模型通過Schwarz Christoffel 逆變換，將屬性參數還原到原油藏的實際邊界區域中，還原后的孔隙度分布情況（見圖4）。通過圖4 可以看出，進行映射變換處理，孔隙度變化方向基本沿著河道方向，符合基本的地質規律。矩形油藏的規則正交網格也被映射到實際油藏的模型中，也保持了一定的正交性。

3 結論及建議

根據Schwarz Christoffel 變換基本原理，建立曲流河邊界映射到矩形區域邊界的積分方程的數學模型。以鄂爾多斯盆地曲流河沉積的X 砂巖油藏為例，選擇了研究區域的38 口直井進行分析，得出直接采用變差函數分析，原地質模型物性分布依賴于變差函數，而通過Schwarz Christoffel 映射變換，可以減弱變差函數對物性依賴性。通過適當選擇的變換點位，使得曲流河中物性分布更加符合地質規律。