遵循歷史發(fā)展 感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)
——“弧度制”教學(xué)實錄與感悟*

李 萍 (江蘇省梁豐高級中學(xué) 215600)

1 基本情況

2019年10月在江蘇省高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評比活動中，筆者執(zhí)教了“弧度制”一課，得到了評委的認(rèn)可與好評，榮獲一等獎．現(xiàn)將本課整理如下，與大家分享.

1.1 學(xué)情分析

本節(jié)課授課對象為江蘇省常州高級中學(xué)高一(6)班，該班學(xué)生基礎(chǔ)較好，理解力強(qiáng)，有一定的自主探究能力．學(xué)生已經(jīng)學(xué)過角度制以及圓的有關(guān)知識，掌握了任意角的概念及扇形的弧長和面積公式．

1.2 教材分析

本節(jié)課是蘇教版必修4教材第1章第2課時，本節(jié)內(nèi)容起著承上啟下的作用.教材首先引進(jìn)任意角的概念，然后介紹角的另一種度量制度——弧度制，這樣就可以把三角函數(shù)看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，為學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)等知識做了準(zhǔn)備．弧度制的引入使三角函數(shù)具有更廣泛的意義和應(yīng)用．

教學(xué)目標(biāo) (1)理解弧度制的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算，熟記特殊角的弧度數(shù)；(2)了解角的集合與實數(shù)集R之間可以建立起一一對應(yīng)的關(guān)系；(3)掌握弧度制下的弧長公式，會利用弧度制解決某些簡單的實際問題；(4)經(jīng)歷構(gòu)建弧度制的探究過程，領(lǐng)會弧度制定義的合理性和優(yōu)越性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理能力．

教學(xué)重點 理解弧度的定義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算．

教學(xué)難點 弧度制概念的生成．

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，激趣導(dǎo)入

日常生活中有非常多的量，例如，長度、溫度、重量,等等，度量不同的量要用不同的單位．對于同一種量，也可以有不同的度量單位．例如，在測量長度時，我們可以用米，也可以用尺．但是在不同的場合我們要選擇合適的單位，否則會讓人感覺很不舒服．

問題130°+sin 30°等于多少？

生：我認(rèn)為它們不能相加．

師：為什么？

師：很好．我們在必修1里學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，一起來回顧一下．(投影展示函數(shù)的定義)

函數(shù)是集合A與集合B之間的對應(yīng)，這里的集合A,B是兩個非空的數(shù)集．如果我們把角度當(dāng)作三角函數(shù)的自變量合適嗎？

生：不合適，因為角度不是實數(shù)，不符合函數(shù)的定義．

設(shè)計說明由問題30°+sin 30°等于多少，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生意識到角度不是實數(shù)．高中函數(shù)強(qiáng)調(diào)實數(shù)集與實數(shù)集之間的對應(yīng)，如果把角度當(dāng)作三角函數(shù)的自變量，不符合對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義．事實上，初中學(xué)習(xí)三角函數(shù)是為了解直角三角形，若要進(jìn)一步討論三角函數(shù)的基本性質(zhì)，就得用實數(shù)作為自變量表示三角函數(shù)．

2.2 自主探究，動手實驗

問題2能否給出角的另一種度量方式，即用實數(shù)來度量角的大小？

師：初中我們已經(jīng)學(xué)過了角的一種度量制度——角度制，大家還記得1度的角是如何定義的嗎？

生：將一個圓周分成360等份，每一份圓弧所對的圓心角叫做1度的角．

師：很好！大家知道為何分成360份嗎？

(學(xué)生沒有準(zhǔn)備，充滿了好奇)

據(jù)說古巴比倫人觀察到地球的公轉(zhuǎn)周期大約是360天，于是創(chuàng)設(shè)性地把圓周分為360份．事實上，角度制帶有一定的主觀性，劃分成其他份數(shù)也是可以的．

初中我們還學(xué)習(xí)了扇形的弧長和面積公式，是什么呢？

師：如果當(dāng)時古巴比倫人不是把圓周分成360份，例如分成了60份，那么扇形的弧長和面積公式有變化嗎？

生：有變化，分母變成了60．對圓周的劃分不同，公式也隨之改變．

問題3能否在改變度量方式的同時簡化公式？

生1：可以，讓分母為1就行了．

生2：我認(rèn)為分母為2更簡單．

師：以弧長公式為例，分母為1或2都可以簡化公式，但從效果上看，2比1更好，它使得系數(shù)變得更簡單了．分母為2，就是把圓周分成2等份，與古巴比倫人把圓周分成360等份本質(zhì)是一樣的，既然角度不是實數(shù)，那么用這樣的方式定義角也不能滿足用實數(shù)來度量角的大小．

(學(xué)生受到啟發(fā)，繼續(xù)思考)

生：可以試一下讓分母為2π．

師：如果分母為2π，由于π是無理數(shù)，所以不能看成把圓周2π等分，這和角度制就有本質(zhì)區(qū)別．那么以這樣的方式定義角，有沒有可能用實數(shù)來度量角的大小呢？我們繼續(xù)研究下去．

設(shè)計說明引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在改變度量方式的同時，扇形的弧長與面積公式會隨之改變，那么改變度量方式的同時又簡化公式成了學(xué)生的心理需求．學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)令圓周角為2π個單位可以簡化公式，但是否可以用實數(shù)來表示角的大小仍需進(jìn)一步研究．

問題4如果令圓周角為2π個單位，那么如何作出 1個單位的角？

動手操作：準(zhǔn)備圓形彩紙和細(xì)繩，讓學(xué)生動手嘗試作出一個單位的角．

師：很好!如何找到長度等于半徑長的圓弧呢？

生：在圓形彩紙上任意畫一條半徑，在繩子上截取和半徑等長的一段，將繩子沿著圓周截取一段等長的弧．畫出這段弧所對的圓心角，這個角就是1個單位的角．

師：角的大小與圓的半徑有關(guān)嗎？

設(shè)計說明讓學(xué)生在自己動手操作的過程中感受1個單位角的大小.教師展示學(xué)生在半徑不同的圓中作出的同樣大小的角，說明角的大小不會受到半徑的影響，并且利用弧長公式嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，進(jìn)一步驗證這種度量方式的合理性．在不斷的提出問題、解決問題的過程中，學(xué)生自主探索作出1個單位的角，這既是一種自然的順應(yīng)，又是科學(xué)的跨越．

2.3 形成概念，構(gòu)建新知

問題5長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角是1個單位的角，那么如何度量其他角呢？

給出定義：將長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度(radian)的角，記作1 rad．用弧度作為角的單位來度量角的單位制稱為弧度制(radian measure)．

1873年，詹姆斯·湯姆森(James Thomson)教授在其編著的一本考試問題集中創(chuàng)造性地首先使用了“弧度”一詞．當(dāng)時，他將“半徑”(radius)的前四個字母與“角”(angle)的前兩個字母合在一起，構(gòu)成radian，并被人們廣泛接受和引用．

早在18世紀(jì)，偉大的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(1707-1783)在他的名著《無窮小分析引論》中倡導(dǎo)用弧度制，即以半徑為單位來量弧長，統(tǒng)一了角和長度的單位．

師：很好!也就是l=|α|r，這就是弧度制下的扇形弧長公式，比角度制下具有更簡單的形式．同學(xué)們認(rèn)為還有什么公式可以簡化？

師：在弧度制下，扇形的弧長和面積公式得以簡化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔美．角的概念推廣后，角的集合與實數(shù)集R之間就建立起一一對應(yīng)的關(guān)系，三角函數(shù)看成是以實數(shù)為自變量的函數(shù)，統(tǒng)一了自變量與因變量的進(jìn)位制．在直角三角形中，弧度作為三角函數(shù)的自變量，等于弧長與半徑的比值，而對應(yīng)的因變量是三角形的邊長的比，自變量和因變量的形式統(tǒng)一了.弧度制的引入還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之韻、對稱之美．

問題6弧度制與角度制之間如何換算呢？

生：角度制下圓周角為360°，弧度制下圓周角為 2π rad，它們既然表示同一個角，二者肯定是相等的，也就是360°=2π rad．

注：用弧度表示角的大小時，只要不引起誤解，“弧度”二字或“rad”可以省略不寫．但是“度”(°)為單位不能省．

2.4 學(xué)以致用，深化理解

師：我們先來練習(xí)一些特殊角的角度與弧度的換算(圖1)．

圖1

注：用弧度為單位表示角時，一般不將π化成小數(shù)．

例2把下列各角從度化成弧度：(1)252°；(2)11°15′．

例3已知扇形的周長為8 cm，圓心角為 2 rad，求該扇形的面積．

2.5 歸納小結(jié)，提煉升華

角的度量有很多進(jìn)制，如百分度制，它常用于建筑或土木工程的角度測量；毫弧度，一般用作空間分辨率單位；密位制，它被廣泛用于航海和軍事上．在日常生活中常用角度制，因為它直觀方便，便于測量．在數(shù)學(xué)研究中，我們常用弧度制，它使得我們對三角函數(shù)的研究大為簡化．從歷史過程來看，數(shù)學(xué)家歐拉之所以引入弧度制，主要原因是為了適應(yīng)微積分創(chuàng)立之后的科學(xué)計算上的需要，它使得微積分中關(guān)于三角函數(shù)的公式大大地簡化．

在角度制下，30°與sin 30°作為三角函數(shù)的自變量與函數(shù)值不能相加．弧度制統(tǒng)一了三角函數(shù)自變量與應(yīng)變量的單位，于是三角函數(shù)就可以通過運算法則形成其他初等函數(shù)，使得三角函數(shù)有了更廣泛的應(yīng)用性．

3 教學(xué)感悟

3.1 揭示概念背景，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)和意義

弧度制一直是高中數(shù)學(xué)中的一個難點，但教材對弧度制的介紹十分簡單．大部分教師把教學(xué)重點放在弧度制與角度制的相互轉(zhuǎn)化上，忽視了弧度制這一概念本身的意義，導(dǎo)致學(xué)生并不清楚引入弧度制的必要性．事實上，弧度制在高中數(shù)學(xué)中扮演著十分重要的角色，弧度制的引入為我們研究三角函數(shù)的性質(zhì)提供了極大的便利．

3.2 遵循歷史發(fā)展，體驗概念的形成過程

在同一個內(nèi)容的探究或者接受過程中，不論是學(xué)生還是歷史上的數(shù)學(xué)家，都可能存在認(rèn)知上的障礙，數(shù)學(xué)家遇到的困難之處，也是學(xué)生可能遇到的困難所在．在解決問題的過程中，他們具有的能力或者使用的方式具有相似之處．因此在弧度制概念的教學(xué)過程中，筆者從歷史的足跡中尋找啟迪，引導(dǎo)學(xué)生“像數(shù)學(xué)家一樣思考”．

3.3 滲透數(shù)學(xué)文化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點以及它們的形成和發(fā)展，它是經(jīng)過長久的積淀而形成的，是人們發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認(rèn)識規(guī)律、探究規(guī)律、總結(jié)規(guī)律的成果．?dāng)?shù)學(xué)文化的存在，使數(shù)學(xué)不再是單調(diào)的數(shù)字與公式，教師在課堂上時常向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化知識，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)科學(xué)與人類社會發(fā)展之間的相互作用，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的魅力，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識．

本節(jié)課的教學(xué)過程中，筆者向?qū)W生介紹了弧度制及其名稱符號的發(fā)展歷史，以及弧度制彰顯的簡潔美、對稱美，讓學(xué)生了解弧度制的引入經(jīng)歷了一段漫長而曲折的過程，了解數(shù)學(xué)家歐拉、湯姆森教授等為弧度制的建立所做的貢獻(xiàn)，陶冶了學(xué)生的情操，培養(yǎng)了學(xué)生堅忍不拔的意志、實事求是的科學(xué)態(tài)度和勇于創(chuàng)新的精神．之后又介紹了其他量角制度，如百分度制、毫弧度、密位制等，進(jìn)一步展示弧度制下的一些有關(guān)三角函數(shù)的公式，如正弦函數(shù)的泰勒展開式、歐拉公式等，讓學(xué)生感受引入弧度制的合理性、必要性以及優(yōu)越性，體會弧度制的意義所在．在課堂結(jié)尾處筆者再現(xiàn)了課堂引入部分的問題“30°與sin 30°能否相加？”，首尾呼應(yīng)，揭示弧度制的數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓學(xué)生了解弧度制的引入是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要，是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物．這樣的設(shè)計開拓了學(xué)生的眼界和思路，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)．

本節(jié)課筆者利用弧度制的歷史及意義進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生沿著數(shù)學(xué)家歐拉的步伐去探尋弧度制這一概念的產(chǎn)生、發(fā)展的歷程．通過有趣的數(shù)學(xué)實驗，把看似枯燥、抽象的數(shù)學(xué)概念變得生動形象，使學(xué)生在掌握、理解概念的同時提升了自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力．