中美高中“基本初等函數”內容比較研究
——以Franklin D. Demana版與人教社2019版教材為例

葉立軍 (杭州師范大學經亨頤教師教育學院 311121)

鄭淑雪 (杭州師范大學理學院 311121)

1 問題提出

教材是教學活動的主要載體，反應課程理念與目標．《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《課標》)指出“函數”是現代數學最基本的概念，在解決實際問題中發揮重要作用，是貫穿高中數學課程的主線．[1]本文選取高中函數的核心內容之一“基本初等函數”，從宏觀和微觀的角度對中美兩版教材進行定性、定量的比較分析，為我國的教材修訂和教師教學提供一些參考．

2 研究對象

“基本初等函數”內容分別選自我國2019年人民教育出版社出版的普通高中課程標準教科書A版(下稱“人教社2019版”)和美國Franklin D. Demana版的Precalculus Graphical, Numerical, Algebraic(8th edition)(下稱“美國Franklin D. Demana版”)．

3 宏觀比較

3.1 背景信息比較

將兩版教材中基本初等函數內容按背景信息進行比較[1]，得到表1．

由表1，兩版教材均把基本初等函數內容放在第一冊的兩章中，認為基本初等函數是高中數學學習的基礎內容．美國Franklin D. Demana版篇幅約為人教社2019版篇幅的2倍,且我國課程標準重視該部分數學運算與數學建模等素養的發展．

表1 基本初等函數背景信息比較

3.2 知識編排比較

選取兩版教材中基本初等函數的內容進行整體比較，得到表2．

表2 兩國教材編排方式比較表

續表

由表1，在編排順序上，兩版教材均為冪函數→指數函數→對數函數的編寫順序，思路清晰，層層遞進．人教社2019版在冪函數與對數函數兩小節之后均設計了函數應用部分．美國Franklin D. Demana版教材將應用內容放在最后方程與建模小節．在知識內容上，美國Franklin D. Demana版教材在冪函數前加入了十二種基礎函數、復合函數等內容，涉及知識內容較多．

3.3 欄目分布比較

對兩版教材中欄目分布概括，得到圖1和圖2所示的框架．

圖1 人教社2019版

圖2 美國Franklin D.Demana版

由圖1、2，章頭內容設計不同．人教社為生活背景，而美國Franklin D.Demana版設置What you will learn about…and why的環節(圖3)，明確地給出本章節的學習目標與學習必要性．

圖3 美國Franklin D. 圖4 美國Franklin D. Demana版學習目標 Demana版資料卡

在旁白設置上，人教社2019版教材的思考環節設置在正文下，是內容的補充．而美國Franklin D.Demana版的思考環節設置在探究活動之后，用于對探究活動和知識點整體掌握情況的反思．

4 微觀比較

4.1 知識呈現方式比較

高中的基本初等函數部分中指數函數是較為重要的內容，故將“指數概念的引入”和“指數性質的導出”兩部分從知識呈現方式、知識背景、例習題難度[3]的維度進行比較分析．

表3 兩版教材“指數概念引入”知識呈現方式比較表

注：括號中為習題數．

由表3，在知識導入與體驗上，人教社2019版回顧舊知導入，構建生活與科學情境間接得到指數的定義．美國FranklinD.Demana版則通過比較自變量的不同位置直接得出定義，區分冪函數與指數函數．

在知識講解與應用上，人教社2019版由淺入深，從兩個案例抽象出指數函數概念，通過數學運算與抽象的練習進行鞏固．美國FranklinD.Demana版只進行數學運算訓練．

在知識拓展上，美國FranklinD.Demana版運用信息技術中的算法編程，估算自然對數的底數e的大小．

表4 兩版教材“指數性質導出”知識呈現方式比較表

由表4，在知識導入與體驗上，人教社2019版通過圖象表征導入、體驗性質．美國FranklinD.Demana版計算函數值，歸納數值特點體驗性質，旨在培養學生的數字敏感度和數據分析能力．在知識拓展上，人教社2019版用幾何畫板驗證指數函數單調性，借助信息技術使函數性質更加直觀．美國FranklinD.Demana版給出人口數據說明，拓寬學生視野．

此外，兩版教材在問題情境構建上有較大差異．

表5 兩版教材“指數概念引入”“指數性質導出”問題情境比較表

人教社2019版設置情境如游客數預測等，已將其抽象成數學問題且數據較理想化．而美國FranklinD.Demana版情境數較多，運用大量的現實素材，注重情境的真實性、可信性與趣味性，同時運用信息技術進行數據分析與預測．美國FranklinD.Demana版設置了校園謠言的數學實驗，使學生體會數學的趣味性與生活中的數學現象．真實的數學情境會使問題更具有復雜性，考查綜合能力，實現數學建模、數據分析等核心素養的全面發展．

4.2 知識背景比較

將“指數概念的引入”和“指數性質的導出”兩部分涉及背景分成生活背景、文化背景、科學背景、數學背景四個方面進行比較，得到圖5．

圖5 知識背景比較

由圖5，兩版教材的知識背景分布總體差異不大，數學背景占比最高，科學占比均為4%，且兩版教材知識點中較少涉及到文化背景．人教社2019版教材生活背景占比較少，更多的是數學背景，人教社2019版傾向于在數學抽象中的運用，把基本初等函數作為工具解決其他數學問題．而美國FranklinD.Demana版生活背景占比近四分之一，傾向于基本初等函數在生活中的運用．

4.3 例習題綜合難度比較

人教社2019版將習題分為復習鞏固、綜合應用、拓廣探索三部分．美國FranklinD.Demana版習題分為兩大部分：復習鞏固與拓展提高．其中在每個知識點后均有對應復習鞏固部分習題的索引，以達到及時鞏固的目的(圖6)．

圖6 復習鞏固習題的索引

根據鮑建生教授建立的綜合難度模型[4]，對兩版教材中“指數概念的引入”和“指數性質的導出”兩部分的例題與課后習題進行綜合難度分析．其中，美國FranklinD.Demana版練習量為95題,遠大于人教社2019版的40題(圖7)．

圖7 兩版教材例習題綜合難度比較圖

在數學認知、知識綜合、運算方面，人教社2019版領會和探究兩個層次數值較高，“多個知識點”層面與簡單符號運算占比較多．而美國FranklinD.Demana版操作題與“兩個知識點”層面占比較多，且多為數值運算，注重基礎鞏固，對綜合應用的要求較低．在推理因素上，人教社2019版復雜推理稍多，美國FranklinD.Demana版多為簡單推理．在背景方面，人教社2019版無背景占比較高，美國FranklinD.Demana版生活背景較多，重視數學與生活的聯系，培養數學應用于生活的能力．

在綜合難度上，人教社2019版數學認知層面難度較高，美國FranklinD.Demana版更強調數學運算．為進一步分析數學運算的例習題，對數學運算習題類型的個數進行統計．

表6 兩版教材運算題類型個數統計

由表6，美國FranklinD.Demana版在運算題類型上較多，旨在培養學生在面對不同運算題時，能夠高效地、有效地選擇合適算法的能力．同時，美國FranklinD.Demana版在運算例題旁附有代碼運算結果，把算法訓練與信息技術結合起來．

5 幾點啟示

5.1 合理設置反思欄目，有效促進深度學習

美國FranklinD.Demana版在探究活動之后設置反思欄目，強調在基本活動后對探究內容、行為、運用的數學思想等進行自我反思．反思是深度學習中重要的一環，是對知識內容理解程度的自我評價．因此，適當設置反思欄目，構建數學核心素養的反思支架，引導學生積極思考已學知識，梳理學習策略，自我評估掌握知識情況，有效促進學生深度學習．

5.2 合理運用信息技術，有效發展數學運算素養

數學運算不是機械的程序化操作，應當對運算的正確性、敏捷性以及算法的有效性和高效性都要有所要求[5]．美國FranklinD.Demana版教材習題中數學運算題類型多，并將數學運算與信息技術相結合．《課標》提出在基本初等函數部分發展數學運算．適當增加運算題的類型，將數學算法與信息技術結合，合理運用信息技術加深數學算法的理解．注重培養在面對不同題型時，快速選擇合適算法的能力，拓寬解題思路，有效發展數學運算素養．

5.3 注重知識多元化表征，滿足個性化發展需要

人教社2019版由圖象與符號表征直觀地理解、體驗核心知識，建立函數與圖象之間的聯系．美國FranklinD.Demana版由圖象表征和數值特點理解知識，并利用索引聯結習題．知識的表征是信息在大腦中的構建與再認的過程．對同一核心內容給出多元化的知識表征，滿足學生思維多樣性需求，促進個性化發展，提高學生的主動性與創造力．[6]且通過核心內容不同外在表征之間的轉換，幫助學生優化函數內容的理解．